最新初二数学八上第十一章三角形知识点总结复习和常考题型练习

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新编：人教版八年级上册数学第十一章《三角形》小结与复习

【例4】如图在Δ ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2,∠3=∠4, ∠BAC=63°,求∠DAC的度数。 ∵∠3=∠1+∠2,∠1=∠2 解：解法二：设∠1= ∠2=x, 则∠4=∠3=2x ∴∠3=2∠1=2∠2 ∵∠3=°,∠2+∠4+∠BAC=180° ∠4 ∵∠BAC=63 ∴∠ 3=∠4=2∠1=2∠2 ∴∠2+∠ 4=117 °
∵∠2+∠4+ 即x+2x=117 ° ∠BAC=180°,∠BAC=63° ∴∠2+2∠2+63° =180° ∴x=39 ° ∴∠ 2=39 ∴∠3=∠ 4=78 °° ∴∠3=∠4=78° ∵∠3+∠4+∠DAC=180° ∵∠3+∠4+∠DAC=180° ∴∠DAC=24 ° ∴∠DAC=180° -78°-78° =24°
; 3、等腰三角形一边的长是5 ,另一边的长是8，则它的周长
2cm＜x＜12cm
是 18或21 。 4、若 (a 1)2 b 2 0 ，则以 a , b 为边长的等腰三角形的周长为 5 。
归纳
等腰三角形的底边长不ห้องสมุดไป่ตู้定时，要分两种情况
讨论，还要注意三边是否构成三角形。
考点二：三角形中的重要线段
直角三角形
钝角三角形
3.三角形的高、中线与角平分线：高：顶点与对边垂足间的线段；三条高或其延长线相交于一点。如图① 中线：顶点与对边中点间的线段；三条中线相交于一点（重心）。如图②
角平分线：顶点与角平分线与对边交点之间
的线段；三条角平分线相交于一点。如图③
图①
图②
图③
4.三角形的内角和与外角：
求∠A,∠B,∠C中未知角的度数。

八年级数学上册第十一章三角形知识点归纳超级精简版(带答案)

八年级数学上册第十一章三角形知识点归纳超级精简版单选题1、如图，直线m//n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1=60°，则下列结论错误的是（）A．∠2=75°B．∠3=45°C．∠4=105°D．∠5=130°答案：D分析：根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．首先根据三角尺的直角被直线m平分，∴∠6=∠7=45°；A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D．小提示：本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．2、如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°答案：A分析：设AB与EF交于点M，根据AB//DE，得到∠AMF=∠E=45°，再根据三角形的内角和定理求出结果．解：设AB与EF交于点M，∵AB//DE，∴∠AMF=∠E=45°，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∴∠AFM=180°−30°−45°=105°,∵∠EFD=90°,∴∠AFD=15°，故选：A．．小提示：此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．3、如图，已知AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=55°，则∠ABE的度数为（）A．155°B．125°C．135°D．145°答案：B分析：根据三角形外角的性质得出∠CBE=∠A+∠E=∠A+∠C=55°，再求∠ABE即可．解：∵∠CDE=55°，∴∠A+∠C=55°，∵∠C=∠E，∴∠CBE=∠A+∠E=55°，∴∠ABE=180°−∠CBE=125°；故选：B．小提示：本题考查了三角形外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系．4、如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形答案：B分析：根据三角形按照边的分类方法解答．解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B．小提示：本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．5、用一根小木棒与两根长分别为3cm,6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm答案：D分析：设第三根木棒的长为x cm，再根据三角形的三边关系得出x取值范围即可．解：设第三根木棒的长为x cm，则6−3＜x＜6＋3，即3＜x＜9．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．小提示：本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．6、如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（）A．AE＝CE B．∠ADC＝90°C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF答案：C分析：根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．故选：C．小提示：本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．7、如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°答案：B分析：利用两个三角形的内角和都为180°，结合相等的角即可求解．∵AB⊥BD，AC⊥CD，∴∠B＝∠C＝90°，又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°，∴∠D＝∠A＝50°，故选：B．小提示：本题考查了三角形的内角和等于180°，熟记三角形的内角和公式是解题的关键．8、下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2答案：D分析：若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．小提示：本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．9、如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．80°答案：B分析：连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代换得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．解：连接AC并延长交EF于点M．∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，∵∠FCE=180°−∠E−∠F=180°−80°−50°=50°，∴∠BAD=∠FCE=50°，故选B．小提示：本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．10、如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（）A．220°B．240°C．260°D．280°答案：D分析：连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．小提示：本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．填空题11、如图，在△ABC中，∠F=16°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A=_______．答案：52°分析：根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出∠5+∠6+∠1，得到∠MBC+∠NCB，从而求出∠DBC+∠DCB，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．解：∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E=32°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=12(∠MBC+∠NCB)，∵∠E=180°−(∠5+∠6+∠1)=32°，∴∠5+∠6+∠1=148°，∴∠MBC+∠NCB=2(∠5+∠6+∠1)=296°，∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=180°−∠MBC+180°−∠NCB=360°−(∠MBC+∠NCB)=64°，∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−2(∠DBC+∠DCB)=52°，所以答案是：52°．小提示：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．12、如图，BE 是△ABC 的中线，点D 是BC 边上一点，BD ＝2CD ，BE 、AD 交于点F ，若△ABC 的面积为24，则S △BDF ﹣S △AEF 等于_____．答案：4分析：由△ABC 的面积为24，得S △ABC =12BC •hBC =12AC •hAC =24，根据AE =CE =12AC ，得S △AEB =12AE •hAC ，S △BCE =12EC •hAC ，即S △AEF +S △ABF =12①，同理可得S △BDF +S △ABF =16②，②-①即可求得．解：∵S △ABC =12BC •hBC =12AC •hAC =24，∴S △ABC =12（BD +CD ）•hBC =12（AE +CE ）•hAC =24，∵AE =CE =12AC ，S △AEB =12AE •hAC ，S △BCE =12EC •hAC ，∴S △AEB =S △CEB =12S △ABC =12×24=12，即S △AEF +S △ABF =12①，同理：∵BD =2CD ，BD +CD =BC ，∴BD =23BC ，S △ABD =12BD •hBC ，∴S △ABD =23S △ABC =23×24=16，即S △BDF +S △ABF =16②，②-①得：S △BDF -SAEF =（S △BDF +S △ABF ）-（S △AEF +S △ABF ）=16-12=4，所以答案是：4．小提示：本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．13、如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，……，∠A 2008BC 的平分线与∠A 2008CD 的平分线交于点A 2009，得∠A 2009，则∠A 2009=_________．答案：122009α分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD ＝∠A +∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，根据角平分线的定义可得∠A 1CD ＝12∠ACD ，∠A 1BC ＝12∠ABC ，然后整理即可得到∠A 1＝12∠A ；同理可发现规律，按照规律求出∠A 2009即可．解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACE ＝∠A +∠ABC ，∠DCE ＝∠DBC +∠D ，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∵∠ABC 的角平分线与∠ACE 的外角平分线交于D ，∴2∠A 1CD ＝∠ACD ，2∠A 1BC ＝∠ABC ，∴∠A ＝2∠A 1CD ﹣2∠A 1BC ＝2（∠A 1CD ﹣∠A 1BC ）＝2∠A 1；∴∠A 1＝α2，同理可得：∠A 2＝12∠A 1＝α22；∠A 3＝12∠A 2＝α23；∠A 4＝12∠A 3＝α24；…∴∠A2009=1α．22009α．所以答案是：122009小提示：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．14、已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．答案：7分析：根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，∴a﹣7=0，b﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴6<c<8，又∵c为奇数，∴c=7，所以答案是：7．小提示：本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．15、如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC于点H．若∠B=30°，∠C=50°，则∠EDH=____________．答案：10°分析：在△EFD 中，由三角形的外角性质知：∠HED =∠AEC =∠B +12∠BAC ，所以∠B +12∠BAC +∠EDH =90°；联立△ABC 中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EDH =12（∠C -∠B ）．解：由三角形的外角性质知：∠HED =∠AEC =∠B +12∠BAC ，故∠B +12∠BAC +∠EDH =90° ①， △ABC 中，由三角形内角和定理得：∠B +∠BAC +∠C =180°，即：12∠C +12∠B +12∠BAC =90° ②， ②-①，得：∠EDH =12（∠C -∠B ）=12×（50°-30°）=10°．所以答案是：10°．小提示：本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是证明∠EFD =12（∠C -∠B ）．解答题16、如图，CE 平分∠ACD ，F 为CA 延长线上一点，FG//CE 交AB 于点G ，∠ACD =140°，∠B =45°，求∠AGF 的度数．答案：25°分析：根据角平分线的定义求出∠ACE ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG =∠ACE ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠GAF ，根据三角形的内角和定理即可得到结论．解：∵CE 平分∠ACD ，∠ACD =140°∴∠ACE=12∠ACD=12×140°=70°，∠ACB=180°−∠ACD=40°，∵FG//CE，∴∠AFG=∠ACE=70°，∵∠FAG=∠B+∠ACB=85°，∴∠AGF=180°−∠AFG−∠FAG=25°，故∠AGF的度数是25°．小提示：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．17、用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角．求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360(1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：(2)根据第二种思路，完成证明．答案：(1)①∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°；②∠BAC；③∠ACB；④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)见解析分析：（1）根据三角形内角和以及外角性质填写即可；（2）过B作BM∥AC，即可利用平行线把三个外角集中到一点，最后利用周角360°证明．（1）①根据后面推论是根据三角形内角和，所以答案是：∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°；根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质填写，∠FBC=∠BAC+∠ACB，所以答案是：②∠BAC；③∠ACB，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和（2）过B作BM∥AC，∴∠EAB=∠MBF,∠ECD=∠MBC∵∠FBC+∠MBF+∠MBC=360°∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°小提示：本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18、已知：如图，点E在AC上，点F在AB上，BE、CF交于点O，且∠C−∠B=20°，∠EOF−∠A=70°，求∠C的度数．答案：45°分析：先根据三角形外角的性质得到∠BFC=∠A+∠C，∠EOF=∠B+∠BFC，从而推出∠EOF-∠A=∠C+∠B，再由∠EOF-∠A=70°，即可得到∠C=70°-∠B，再根据∠C-∠B=20°，进行求解即可．解：∵∠BFC=∠A+∠C，∠EOF=∠B+∠BFC，∴∠EOF=∠A+∠C+∠B，即∠EOF-∠A=∠C+∠B∵∠EOF-∠A=70°，∴∠C+∠B=70°，即∠C=70°-∠B，∵∠C-∠B=20°，∴70°-2∠B=20°，∴∠B=25°，∴∠C=45°．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握三角形外角的性质．。

八年级数学上册第十一章三角形知识总结例题(带答案)

八年级数学上册第十一章三角形知识总结例题单选题1、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B分析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．2、在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰答案：B分析：根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°解得：x=30°∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B．小提示：本题主要考查的是三角形的基本概念．3、如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）A．BC=2CD B．∠BAE=1∠BAC2C．∠AFB=90°D．AE=CE答案：D分析：根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；解：A．∵AD是△ABC的中线∴BC=2CD，故选项正确，不符合题意；B．∵AE是△ABC的角平分线∴∠BAE=1∠BAC2故选项正确，不符合题意；C．∵AF分别是△ABC的高，∴∠AFB=90°故选项正确，不符合题意；D．AE=CE不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．4、将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（）A．95°B．100°C．105°D．110°答案：C分析：根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．由题意得，∠2=45°，∠4=90°−30°=60°，∴∠3=∠2=45°，由三角形的外角性质可知，∠1=∠3+∠4=105°，故选C．小提示：本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5、下列图形具有稳定性的是（）A．①②B．③④C．②③D．①②③答案：C分析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，故选C．小提示：此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．6、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是( )A．DE是△ACE的高B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高D．DE是△BCD的高答案：D分析：根据三角形高的定义求解即可．三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．解：A、DE不是△ACE的高，选项错误，不符合题意；B、BD不是△ADE的高，选项错误，不符合题意；C、AB不是△BCD的高，选项错误，不符合题意；D、DE是△BCD的高，选项正确，符合题意．故选：D．小提示：此题考查了三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形高的定义．三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．7、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1=25°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°答案：C分析：由∠BAC=∠DAE可证得∠BAD=∠CAE，继而证明△BAD≅△CAE(SAS)，由全等三角形对应角相等得到∠2=∠CAE,∠ABD=∠1，最后由三角形的外角性质解答即可．解：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠2=∠CAE,∠ABD=∠1∵∠1=25°，∠2=35°∴∠3=∠2+∠ABD=∠2+∠1=60°故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8、若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8答案：C分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．根据三角形的三边关系得5−3<a<5+3，即2<a<8，则选项中4符合题意，故选：C．小提示：本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．9、若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6答案：D分析：根据多边形的外角和等于360°计算即可．解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．小提示：本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．10、下列说法中正确的是（）A．三角形的三条中线必交于一点B．直角三角形只有一条高C．三角形的中线可能在三角形的外部D．三角形的高线都在三角形的内部答案：A分析：根据三角形中线及高线的定义逐一判断即可得答案．A.三角形的三条中线必交于一点，故该选项正确，B.直角三角形有三条高，故该选项错误，C.三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误，D.三角形的高线不一定都在三角形的内部，故该选项错误，故选：A．小提示：本题考查三角形的中线及高线，熟练掌握定义是解题关键．填空题11、如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC ＝70°，则∠D＝______．答案：34°##34度分析：根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，所以答案是：34°．小提示：本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．12、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC 上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝______．答案：230°分析：依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．解：∵∠A＝50°，∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，所以答案是：230°．小提示：本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和及角之间的等量关系是解题的关键．13、如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．答案：72021分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所以，S△A1B1C1=7S△ABC,同理S△A2B2C2=7S△A1B1C1=72S△ABC，依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．所以答案是：72021．小提示：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．14、在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是___________度．答案：40或80##80或40分析：根据题意，由于△ABC类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．解：根据题意，分三种情况讨论：①高在三角形内部，如图所示：∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；②高在三角形边上，如图所示：可知∠CAD=0°，∵∠CAD=20°，故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°−20°=40°；综上所述：∠BAC=80°或40°，所以答案是：40或80．小提示：本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．15、如图，∠1，∠2，∠3是多边形的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果∠1+∠2+∠3=225°，那么∠DFE的度数是______.答案：45°分析：利用多边形的外角和为360°以及三角形内角和为180°，然后通过计算即可求解.解：∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，又∵∠1+∠2+∠3=225°，∴∠DEF+∠EDF=135°，∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°-135°=45°．故答案是为45°.小提示：本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)，(1)过点B作DB∥CA，且点D在格点上，则点D的坐标为______ ．(2)将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；(3)直接写出直线AC与y轴的交点坐标______ ．答案：(1)(-4，-2)，(2，2)，(5，4)(2)见解析(3)(0，17)3分析：（1）可以把AC平移使A点或C点为对应点，从而确定D点位置；（2）利用平移规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）延长CA交y轴于点T，设点T的坐标为（0，m），利用△AOC的面积列出关于m的方程，解方程即可．（1）解：如图所示：则点D的坐标是：(-4，-2)，(2，2)，(5，4)．所以答案是： (-4，-2)，(2，2)，(5，4) ．（2）解：将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度后，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：（3）解：延长CA交y轴于点T，如图所示：SΔAOC=4×5−12×3×4−12×2×3−12×1×5=172，设点T的坐标为（0，m），则SΔAOC=SΔOCT−SΔOAT=12×4m−12×m=32m，∴172=32m，解得：m=173，∴直线AC与y轴的交点坐标为(0，173)．所以答案是：(0，173)．小提示：本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的的关键是掌握平移变换的性质，学会利用面积法构建方程求解，属于中考常考题型．17、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？答案：（1）365cm，365cm，185cm；（2）能，理由见解析分析：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．解：（1）设底边长为xcm，∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，∴2x+2x+x=18，解得，x=185cm，∴2x=2×185=365cm，∴各边长为：365cm，365cm，185cm．（2）①当4cm为底时，腰长=18−42=7cm；②当4cm为腰时，底边=18−4−4=10cm，∵4+4<10，∴不能构成三角形，故舍去；∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．小提示：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．18、如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将如表的表格补充完整：)°；（2）存在，n=9答案：（1）60°，45°，36°，30°，(180n分析：（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=(180)°；n)°，可得答案．（2）根据正n边形中的∠α=(180n解：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：)°；所以答案是：60°，45°，36°，30°，(n（2）存在，理由如下：∵设存在正n边形使得∠α=20°，)°．得∠α=20°=(180n解得：n=9，∴存在正n边形使得∠α=20°．，三角形的内角和定理，等小提示：本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：(n−2)⋅180°n腰三角形的两底角相等．。

人教版八年级数学上册第十一章三角形知识归纳与题型突破(10类题型清单)

第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是.4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是因为三角形具有．题型二判断三边是否能构成三角形例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成三角形的是（）A．4，5，10B．5，5，10C．5，8，10D．5，10，15巩固训练1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（）A．1，3，5B．2，4，6C．1，2，3D．3，4，52．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（）A．B．C．D．3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左-”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的端对应数轴上的“8“5-”处，则第二刀可以剪在（）A．“4-”处B．“3-”处C．“1-”处D．“2”处题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知ABC最大值为．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为．（请写出一个符合条件的答案）2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为．3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x 为最长边且为整数，则此三角形的周长为．题型四判断是否三角形的高线例题：下列各图中，正确画出AC 边上的高的是（）A ．B ．C ．D ．巩固训练1．下面四个图形中，线段BD 是ABC 的高的图形是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，A ∠是钝角，下列图中作BC 边上的高线，正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，AD BC ⊥，EC BC ⊥，CF AB ⊥，点D ，C ，F 是垂足，下列说法错误的是（）A ．ABD △中，AD 是BD 边上的高B ．ABD △中，EC 是BD 边上的高C ．CEB 中，EC 是BC 边上的高D ．CEB 中，FC 是BE 边上的高题型五根据三角形的中线求面积例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，ABC 的面积为20，点D ，E ，F 分别为BC AD CE，，的中点，则阴影部分BFC △的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．10巩固训练1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，AD BE 、是ABC 的中线，则下列结论中，正确的个数有（）（1）AOE COE S S = ；（2）AOB EODC S S = 四边形；（3）2BOC COE S S = ；（4）4ABC BOC S S = ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD CE 、的中点，若AEF △的面积为22cm ，则ABC 的面积是________2cm ．3．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，且满足13AE AD =，13AF AC =题型六与平行线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知AB ED ∥，80EDC ∠=︒，53ECD ∠=︒，105B ∠=︒，那么ACB =∠．巩固训练1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC 中，点D ，H ，E 分别是边AB ，BC ，CA 上的点，连接DE ，DH ，F 为DH 上一点，连接EF ，若12180∠+∠=︒，365B ∠=∠=︒，52C ∠=︒．则FEC ∠的度数为︒．2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，AN 平分BAM ∠，BM 平分ABN ∠，AN BM ⊥于点C ，25MBN ∠=︒，则下列说法：①90BCN ∠=︒；②AM BN ；③50DAM ∠=︒；④60MAN ∠=︒，其中正确的是．（填序号）3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中3045OMN OCD ∠=︒∠=︒，．将三角尺OCD 绕点O 以每秒10︒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t 秒．在旋转的过程中，边CD 恰好与边MN 平行，t 的值为．题型七与角平分线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，过点A 作EF BC ∥．若40EAB ∠=︒，80C ∠=︒，则ADC ∠=．巩固训练1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在ABC 中，125BDC ∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么A ∠=度．2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在ABC 中，BD CD 、分别平分,ABC ACB BG CG ∠∠、、分别平分三角形的两个外角,48EBC FCB G ∠∠∠=︒、，则D ∠=︒．3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，70C ∠=︒，AE 平分BAC ∠，AD BC ⊥于点D ．(1)求BAE ∠的度数．(2)求EAD ∠的度数．题型八三角形的外角的定义及性质例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在ABC 中，点D 在BC 的延长线上，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B ∠=︒．巩固训练1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线12l l ∥，154∠=︒，2100∠=︒，则A ∠=度．2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，ABC 的两个外角的平分线交于点P ．若64BPC ∠=︒，则A ∠=．3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线12l l ∥，将含30︒角的直角三角板按如图所示摆放．若2140∠=︒，则1∠=．题型九多边形的内角和与外角和例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的ABC ∠=．巩固训练1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，3∠和4∠是四边形ABCD 的外角，若1120∠=︒，275∠=︒，则34∠+∠=．2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为．3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知59MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则NED ∠的度数为．题型十在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为79⨯的网格，每一小格均为正方形，已知ABC ．(1)画出ABC 中BC 边上的中线AD ；(2)画出ABC 中AB 边上的高CE ．(3)直接写出ABC 的面积为_________．巩固训练1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 在小正方形的顶点上．(1)画出ABC 中边BC 上的高AD ；(2)画出ABC 中边AB 上的中线CE ；(3)直接写出ACE △的面积为______．2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将ABC 水平向右平移4个单位得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)若连接AA '，BB '，则这两条线段之间的关系是_________；(3)画出AB 边上的中线CD ；（利用网格点和直尺画图）(4)图中能使ABC PBC S S ＝△△的格点P 有_________个（点P 异于点A ）．3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将ABC 的点C 平移至点C '得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)线段AC 和A C ''的关系是_______．(3)借助方格画出AB 边上的中线CD 和高CE ；(4)四边形ACC A ''面积为_______．第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性【答案】C【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，故选；C．巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性；根据三角形的稳定性进行解答即可．。

初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段一、学习任务1. 理解三角形及其有关的概念．2. 掌握三角形三边关系，并能够熟练运用这个三角形的三边关系判定已知的三条线段能否构成三角形．3. 知道三角形具有稳定性，并且能够运用到实际问题中去．二、知识清单三角形的相关概念三角形的三边关系三角形的稳定性三、知识讲解1.三角形的相关概念三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（triangle ）．按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude ）．三角形的中线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线（median ）．三角形的角平分线三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（angular bisector ）．三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心．三角形的内心三角形三条内角平分线的交点叫做三角形内心．三角形的垂心三角形三边上的三条高所在直线交于一点叫做三角形垂心．三角形的外心三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形外心．三角形的旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点叫做三角形的旁心．一个三角形的三个内角的度数之比为，这个三角形是（）2:3:7中阴影部分的面积是_______．1∠DAE线，则的度数为______．描述：例题：3.三角形的稳定性三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）（1），，；（2），，；（3），，（）；（4），，（）．解：（1）不能；（2）不能；（3）能；（4）不能．（1）与的和小于，所以不能组成三角形；（2）与的和等于，所以不能组成三角形；（3），均小于，而，因为，所以，所以，它们可以组成三角形；（4）最大，而，因此不能组成三角形．3610358+3a 2+4a 2+7a 2a ≠03a 5a 8a a >03610358+3a 2+4a 2+7a 2(+3)+(+4)=2+7=(+7)+a 2a 2a 2a 2a 2a ≠0>0a 2(+3)+(+4)>+7a 2a 2a 28a 3a +5a =8a 一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是，这样的三角形共有多少？分析：已知中的数较少，只知道周长为，应该抓住不等边三角形的边长都是整数这一个条件，依据三角形三边关系先确定出最大边的取值范围，则问题迎刃而解．解：设，则，即，所以．因为，，都是正整数，所以若，则其他两边必然为，．由于，即，故线段，，不能组成三角形．当然更不可能是或，因而有．当时，，，不符合条件；当时，，，符合条件．所以符合条件的三角形只有个．1212a <b <c a +b +c >2c 2c <12c <6a b c c =3a =1b =21+2=3a +b =c a b c c 124⩽c <6c =4a =2b =3c =5a =3b =41下列图形中具有稳定性的是（）A. 正方形B. 长方形C. 直角三角形D. 平行四边形解：C．答案： 1. 如图，在中，的对边是A ．B ．C ．D ．C △ABF ∠B ()ADAE AF AC2. 如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是 A ．B ．C ．D ．24()2468高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

人教版八年级上册数学各章知识点及测试题、总复习题

第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：2．全等三角形的判定：3．角平分线的性质： 4．角平分线推论：例 1已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE2 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23 如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 4．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：OEDCBA第十二章轴对称1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3．角平分线上的点到角两边距离相等。

4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

8.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

10．等腰三角形的判定：等角对等边。

11．等边三角形的三个内角相等，等于60°，12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。

13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

新人教版八年级上册第十一章《三角形》中考知识点归纳总结和配套练习(无答案)

新人教版八年级上册第十一章《三角形》中考知识点归纳总结及配套练习.doc与三角形有关的线段(1)三角形的定义(2) ①⎪⎩⎪⎨⎩⎨⎧等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形三角形按边)( ②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角 (3)三角形的主要线段①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心②三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫内心③三角形的高:过三角形的一个顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部（图形讲解）。

(4)三角形三边间的关系.①三角形任意两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,,②任意两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,,(5)三角形的稳定性:三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.三角形的分类例1：具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）。

A.∠A+∠B=∠CB.∠A=∠B= ∠CC.∠A=90°-∠B例2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°三角形三边的关系例3:现有两根木棒，它们的长分别是40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取长为（ C ）A.100cm 的木棒B.90cm 的木棒C.40cm 的木棒D.10cm 的木棒例4：三角形的最长边为10,另两边的长分别为x 和4,周长为c,求x 和c 的取值范围.解:已知三角形的两边为10和4.那么第三边x 的范围应满足:410410+<<-x 即6<x <14.2420,41010641010610≤<++≤<++∴≤<∴c c c x 即的范围满足周长是最长边Θ练习下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A 、 3，4，8B 、 5，6，11C 、 1，2，3D 、 5，6，10与三角形有关的角（1）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°。

八年级数学上册第十一章三角形重点知识归纳(带答案)

八年级数学上册第十一章三角形重点知识归纳单选题1、如图，BP、CP是ΔABC的外角角平分线，若∠P=60°，则∠A的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B分析：首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.∵∠P=60°∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°∵BP、CP是ΔABC的外角角平分线∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°∴∠A=60°故选：B.小提示：此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.2、如图，数轴上-6，-3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（）A．-1B．0C．2.5D．3答案：C分析：设B 代表的数为x ，则AC =3，AB 和BC 可以用x 表示出来，然后根据三角形的三边关系求出x 的取值范围即可得到解答．解：设B 代表的数为x ，则由题意可得：AC=AM =3，AB=x -（-3）=x +3，BC=BN=NA-AB =9-(x +3)=6-x ，∴由三角形的三边关系可得：{3+6−x >x +33+x +3>6−x解之可得：0<x <3，故选C ．小提示：本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等式组的求法是解题关键．3、如图，已知AB ∥CD ，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°答案：C分析：根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；解：∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D=30°，故选：C ．小提示：本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．4、下列条件中，能构成钝角△ABC的是（）．A．∠A=∠B=∠C B．∠A+∠C=∠BC．∠B=∠C=14∠A D．∠A=12∠B=13∠C答案：C分析：根据三角形内角和及选项中各角之间的关系，解出最大角的度数即可确定三角形形状，得出答案．解：A选项中，∠A=∠B=∠C=60°，锐角三角形；B选项中，∠A+∠C=∠B，则∠B=90°，直角三角形；C选项中，∠B=∠C=14∠A，则∠A+14∠A+14∠A=180°，∠A=120°，钝角三角形；D选项中，∠A=12∠B=13∠C，则13∠C+23∠C+∠C=180°，∠C=90°，直角三角形；故选：C．小提示：题目主要考查三角形内角和及通过各角之间的关系确定角的度数，通过各角关系确定最大角的度数，从而确定三角形形状是解题关键．5、平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）A．1B．2C．7D．8答案：C分析：如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，先在△ABC和△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6，0<b<2，从而可得4<a+b<8，2<a−b<6，再在△ACE中，根据三角形的三边关系定理可得a−b<d<a+b，从而可得2<d<8，由此即可得出答案．解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，在△ABC中，5−1<a<1+5，即4<a<6，在△CDE中，1−1<b<1+1，即0<b<2，所以4<a+b<8，2<a−b<6，在△ACE中，a−b<d<a+b，所以2<d<8，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．小提示：本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．6、一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的3倍，则这个正多边形是（）A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形答案：B分析：设这个正多边形的外角为x°，根据“它的一个内角恰好是一个外角的3倍”可列出方程，即可求出外角的度数，即可求解．解：设这个正多边形的外角为x°，由题意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和外角及一元一次方程的应用，解题的关键是计算出外角的度数，进而得到边数．7、如图，以AB为边的三角形的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个答案：D分析：根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．故选：D．小提示：本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．8、如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，则∠M为( )A．52°B．42°C．10°D．40°答案：B分析：由AB∥CD，∠C=80°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠MEB的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠M的度数．解：∵AB∥CD，∠C=80°，∴∠MEB=∠C=80°，∵∠MEB=∠A+∠M，∠A=38°，∴∠M=42°．故选：B．小提示：此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等定理的应用．9、如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α−β=0B．α−β<0C．α−β>0D．无法比较α与β的大小答案：A分析：多边形的外角和为360°，△ABC与四边形BCDE的外角和均为360°，作出选择即可．解：∵多边形的外角和为360°，∴△ABC与四边形BCDE的外角和α与β均为360°，∴α−β=0，故选：A．小提示：本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360°是解答本题的关键．10、用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形答案：C分析：进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是360°，因此我们只需要验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．解：A、等边三角形每个内角的度数为60°，360°÷60°=6，故该项不符合题意；B、正方形的每个内角的度数为90°，360°÷90°=4，故该项不符合题意；C、正五边形的每个内角的度数为108°，360°÷108°=31，故该项符合题意；3D、正六边形的每个内角的度数为120°，360°÷120°=3，故该项不符合题意；故选：C．小提示：此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．填空题11、在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2√3，则AB=_____．答案：4分析：由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD，进而可得出∠ACE=∠DCE，由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB，结合∠ACB=90°可求出∠ACE、∠A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度．∵CE所在直线垂直平分线段AD，∴CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．∵CD平分∠BCE，∴∠DCE=∠DCB．∵∠ACB=90°，∴∠ACE=13∠ACB=30°，∴∠A=60°，∴AB=BCsin60°=√3√32=4．故答案为4．小提示：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．12、如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为_______．答案：140°##140度分析：如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解∠ADC，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．解：如图，标注字母，由题意得：∠ACB=90°−65°=25°,∵∠A=60°,∴∠BDE=∠ADC=180°−60°−25°=95°,∵∠B=45°,∴α=∠B+∠BDE=45°+95°=140°.所以答案是：140°小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．13、从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．k边形没有对角线，则m+n+k的值为______．答案：10分析：从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2，三角形没有对角线，依此求出m 、n 、k 的值，再代入计算即可求解．解：对角线的数量m =6-3=3条；分成的三角形的数量为n =6-2=4个；k =3时，多边形没有对角线；m +n +k =3+4+3=10．所以答案是：10．小提示：本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n -3，分成的三角形数是n -2．14、三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 _____．答案：130°分析：由三角形的外角性质可得∠BAC +∠ABC ＝100°，再由角平分线的定义得∠1=12∠BAC ，∠3=12∠ABC ，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．解：∵∠ACQ 是△ABC 的外角，且∠ACQ ＝100°，∴∠BAC +∠ABC ＝100°，∵AD 平分∠BAC ，BD 平分∠ABC ，∴∠1=12∠BAC ，∠3=12∠ABC ，∴∠1+∠3=12（∠BAC +∠ABC ）＝50°，∴∠D ＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．所以答案是：130°．小提示：本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．15、如图，如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．答案：540°分析：连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．解：如图，连接BC、AD．在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．所以答案是：540°．小提示：本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．解答题16、如图，AB CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．(1)如图 1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；(2)如图 2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时,将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．答案：(1)①45°；②∠PHE是一个定值，∠PHE=45°，理由见解析(2)∠PFE′+∠QGE′=90°，理由见解析分析：（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ=90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分线的定义分别求出∠EQP=60°，∠HPQ=15°，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可；（2）如图所示，连接EE′，先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分线的定义求出∠EPQ+∠EQP=135°，则∠PEQ=45°，由折叠的性质可知∠GE′F=∠PEQ=45°，进而推出∠EFE′+∠EFE′=270°即可得到答案．（1）解：①∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∵∠PQB=60°，∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴∠EQP=12∠AQP=60°，∠HPQ=12∠QPO=15°，∴∠H=∠EQP−∠HPQ=45°，所以答案是：45；②∠PHE是一个定值，∠PHE=45°，理由如下：∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴∠EQP=12∠AQP=90°−12∠PQO，∠HPQ=12∠QPO=45°−12∠PQO，∴∠H=∠EQP−∠HPQ=45°；（2）解：∠PFE′+∠QGE′=90°，理由如下：如图所示，连接EE′，∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，∴∠CPQ+∠PQA=270°，∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，∴∠EPQ=12∠CPQ，∠EQP=12∠PQA，∴∠EPQ+∠EQP=12∠CPQ+12∠PQA=135°，∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，由折叠的性质可知∠GE′F=∠PEQ=45°，∵∠FEE′+∠EFE′+∠EE′F=180°=∠GEE′+∠EGE′+∠EE′G，∴∠FEG+∠FE′G+∠EFE′+∠EGE′=360°，∴∠EFE′+∠EFE′=270°，∵∠EFE′+∠PFE′=180°=∠EGE′+∠QGE′，∴∠PFE′+∠QGE′=360°−∠EFE′−∠EFE′=90°．小提示：本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．17、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A′的位置且A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C=90°，∠A=30°．（1）求∠1−∠2的度数；（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．答案：（1）60°；（2）45°或30°分析：（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD=∠A′FE和∠A′的度数可求出答案．（2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA=90°，再根据折叠可得出∠ADE=45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC=60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数．解：（1）由折叠可知，∠A′=∠A=30°在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE=180°∴∠2=180°−∠A′−∠AFE=150°−∠A′FE在△ABC中，∠B=180°−∠C−∠A=60°在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD=360°∴∠1=360°−∠C−∠B−∠BFD=210°−∠BFD因为∠BFD=∠A′FE∴∠1−∠2=210°−150°=60°（2）①当DA′//BC时，∠ADA′=∠ACB=90°△ADE沿DE折叠△A′DE∴∠ADE=∠A′DE=12∠ADA′=45°②当EA′//BC时，∠2=∠ABC=60°由（1）知，∠1−∠2=60°，∴∠1=∠2+60°=120°，△ADE沿DE折叠△A′DE∴∠ADE=∠A′DE=12∠ADA′=(180°−∠1)=30°综上，∠ADE的度数为：45°或30°．小提示：本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．18、如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．答案：（1）见解析；（2）∠BAC＝2∠ACD；理由见解析.分析：（1）利用直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理、以及角的和差即可得；（2）先根据直角三角形的两锐角互余可得∠BAC=90°−(∠BCD−∠ACD)，再由题（1）的结论和∠ADC=∠BCD推出∠BCD=90°−∠ACD，联立化简求解即可得.（1）∵在ΔABC中，∠ABC=90°∴∠ACB+∠BAC=90°在ΔABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°∵∠ABD+∠ADB=∠ACB∴∠ACB+∠BAD=180°，即∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°∴∠CAD=90°∴AD⊥AC；（2）∠BAC=2∠ACD，理由如下：∵∠ABC=90°∴∠BAC=90°−∠ACB=90°−(∠BCD−∠ACD)由题（1）知，∠DAC=90°∴∠ADC=90°−∠ACD∵∠ADC=∠BCD∴∠BCD=90°−∠ACD∴∠BAC=90°−(90°−∠ACD−∠ACD)=2∠ACD.小提示：本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理、以及角的和差，熟记三角形的内角和定理、直角三角形的性质是解题关键.。

初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.2知识点总结含同步练习及答案

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十一章三角形 11.2 与三角形有关的角一、学习任务1. 掌握三角形的内角和和外角和定理，并会熟练运用内外角和定理解决相关的角的问题．2. 会证明三角形内角和和外角和定理．3. 掌握直角三角形中角的性质和判定．二、知识清单三角形的内外角和三、知识讲解1.三角形的内外角和三角形内角与外角在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形的一边与其邻边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于．三角形外角和定理三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理的推论直角三角形两个锐角互余．两锐角互余的三角形是直角三角形．飞镖模型及“8”字模型三角形角平分线与内角和180∘例题：在，，则 ______．解：．△ABC ∠A :∠B :∠C =2:1:3∠A =60∘一个三角形三个外角之比为，三个内角的度数分别是______．解：，，．三角形外角和是，再根据比例分别求出三个外角，即可求出对应的内角．2:3:4100∘60∘20∘360∘如图，三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数是______．解：．l ∠1=40∘∠250∘如图所示，已知，，，求的度数．解：方法一：延长交于，所以．∠A =70∘∠B =40∘∠C =20∘∠BOC BO AC D ∠BOC =∠1+∠C =∠A +∠B +∠C=130∘方法二：连接，因为，所以．因为，所以．方法三：连接并延长到点，因为，，所以．BC ∠1+∠2+∠A +∠B +∠C =180∘∠1+∠2=50∘∠1+∠2+∠BOC =180∘∠BOC =130∘AO D ∠3+∠B =∠1∠4+∠C =∠2∠3+∠B +∠4+∠C =∠1+∠2=130∘已知如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：__________________；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；（3）在图2中，若，，试求的度数．分析：（1）根据三角形内角和定理即可得出；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有个；（3）现根据“8字形”中的角的规律，可得，，再根据角平分线的定义，得出，，可得，进而求出的度数．解：（1）；（2）① 线段，相交于点，形成“8字形”；② 线段，相交于点，形成“8字形”；③ 线段，相交于点，形成“8字形”；④ 线段，相交于点，形成“8字形”；⑤ 线段，相交于点，形成“8字形”；AB CD O AD CB ∠DAB ∠BCD AP CP P CD AB M N ∠A ∠B ∠C ∠D ∠D =40∘∠B =36∘∠P ∠A +∠D =∠C +∠B 6∠DAP +∠D =∠P +∠DCP ∠P CB +∠B =∠P AB +∠P ∠DAP =∠P AB ∠DCP =∠P CB 2∠P =∠D +∠B ∠P ∠A +∠D =∠C +∠B AB CD O AN CM O AB CP N AB CM O APCD M AN∠E=30高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

新人教版八年级上数学第十一章-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)

第十一章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案

要点三、三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和：三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数；（2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2

八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版(带答案)

八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版单选题1、下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2答案：D分析：若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．小提示：本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．2、要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行答案：C分析：用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误方案Ⅰ：如下图，∠BPD即为所要测量的角∵∠HEN=∠CFG∴MN∥PD∴∠AEM=∠BPD故方案Ⅰ可行方案Ⅱ：如下图，∠BPD即为所要测量的角在△EPF中：∠BPD+∠PEF+∠PFE=180°则：∠BPD=180°−∠AEH−∠CFG故方案Ⅱ可行故选：C小提示：本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明3、刘零想做一个三角形的框架，她有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（）A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行答案：B分析：利用三角形的三边关系可得答案．解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．故选：B．小提示：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．4、如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10B．9C．8D．7答案：D分析：先根据多边形的内角和公式（n−2)·180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．解：∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,∴正五边形的每一个外角为180°−108°=72°,如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=180°−2×72°=36°,360°÷36°=10,∵已经有3个五边形，∴10−3=7,即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．小提示：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．5、已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE、BE、DC，下列各式中正确的是（）．A．S△ADES△ABC =ADABB．S△ADES△ABC=AEACC．S△ADCS△ABC =ADABD．S△ADES△EDC=AEAC答案：C分析：A选项，设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，根据三角形面积公式进行判断即可；B选项设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，根据三角形面积公式进行判断即可；C选项，设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，根据三角形面积公式进行判断即可；D选项，设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，根据三角形面积公式进行判断即可A选项：设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，S△ADE=12AD⋅ℎ1，S△ABC=12AB⋅ℎ2，∴S△ADES△ABC =12AD⋅ℎ112AB⋅ℎ2=AD⋅ℎ1AB⋅ℎ2≠ADAB，故A错误；B选项：设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，S△ADE=12AE⋅x，S△ABC=12AC⋅y，S△ADES△ABC=12AE⋅x12AC⋅y=AE⋅xAC⋅y≠AEAC，故B错误；C选项：设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =12AD⋅ℎ12AB⋅ℎ=ADAB，故C正确；D选项：设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，∴S△ADES△EDC =12AE⋅ℎ312CE⋅ℎ3=AECE=AEAC−AE≠AEAC，故D错误.故选C．小提示：本题考查了与三角形的高有关的计算，掌握三角形的高的定义，根据三角形的面积计算是解题的关键．6、一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（）A．15或16或17B．15或17C．16或17D．16或17或18答案：A分析：分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，故选：A.小提示：本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.7、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B分析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．8、在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰答案：B分析：根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°解得：x=30°∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B．小提示：本题主要考查的是三角形的基本概念．9、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )A．35°B．95°C．85°D．75°答案：C分析：根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°∴∠ACD=2∠ACE=120°∵∠ACD=∠B+∠A∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°故选:C.小提示：本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.10、能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（）．A．B．C．D．答案：C分析：先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B、如图2，∠2是锐角，且∠2=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C、如图3，∠3是钝角，且∠3=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D、如图4，∠4是锐角，且∠4=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．填空题11、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______．答案：180度##180°分析：如图，连接BC,记CD,BE的交点为G,先证明∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,再利用三角形的内角和定理可得答案.解：如图，连接BC,记CD,BE的交点为G,∵∠D+∠E=180°−∠DGE,∠GBC+∠GCB=180°−∠BGC,∠DGE=∠BGC,∴∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,∴∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG=180°,∴∠A+∠ABG+∠ACG+∠D+∠E=180°,所以答案是：180°小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键.12、如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC=3∠B=117°，∠C=∠D，则∠BED=________．答案：102°分析：首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．所以答案是：102°．小提示：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．13、已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若BD=2，CD=1，则DE的长为______．答案：0.5或1.5分析：根据题意作出草图，分类讨论即可求解．解：AD、AE分别是△ABC的高和中线，BD=2，CD=1，如图，当△ABC是钝角三角形时，∴BC=BD−CD=1∴DE=BD−BE=BD−12BC=2−12=32当△ABC是锐角三角形时，∵BC=BD+DC=2+1=3∴BE=12BC=32∴DE=BD−BE=2−32=12当△ABC是直角三角形时，CD=0，不合题意，所以答案是：12或32 小提示：本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．14、一个多边形外角和是内角和的29，则这个多边形的边数为________．答案：11分析：多边形的内角和定理为(n −2)×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值．解：根据题意可得：29×(n −2)×180°=360°，解得：n =11 ，所以答案是：11．小提示：本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．15、如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝40°，DE ∥BC ，则∠AED 的度数是______．答案：80°分析：根据三角形内角和定理可得∠C =80°，根据平行线的性质即可得答案．∵∠A ＝60°，∠B ＝40°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B =80°，∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠C ＝80°，所以答案是：80°小提示：本题考查三角形内角和定理及平行线的性质，任意三角形的内角和等于180°；两直线平行，同位角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．解答题16、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11(1)求AB、AC的长；(2)求BC边的取值范围．答案：(1)AB=6，AC=5(2)1＜BC＜11分析：（1）根据三角形中线的定义，BD=CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．（1）解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=1，即AB−AC=1①，又AB+AC=11②，①+②得：2AB=12，解得AB=6，②−①得：2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=6，AC=5；（2）∵AB=6，AC=5；∴1＜BC＜11．小提示：本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．17、如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，E为CD延长线上一点，EF⊥AB于点F，已知∠ACB=70°，∠E= 30°．求∠A的度数．答案：25°分析：利用垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF，利用对顶角的性质求出∠CDB，再利用角平分线的定义求出∠DCB，进而利用三角形内角和定理求出∠B，∠A．解：∵EF⊥AB，∴∠EFD=90°，又∵∠E=30°，∴∠EDF=180°−∠E−∠EFD=60°，∴∠CDB=∠EDF=60°．∵CD平分∠BCA，∠ACB=70°，∴∠DCB=12∠ACB=12×70°=35°．∴∠B=180°−∠CDB−∠DCB=180°−60°−35°=85°，∴∠A=180°−∠B−∠ACB=180°−85°−70°=25°，即∠A的度数为25°．小提示：本题考查角平分线、对顶角、三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质和三角形内角和定理．18、如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α,∠B=β(α>β)．(1)若α=70°,β=40°，求∠DCE的度数；(2)试用α、β的代数式表示∠DCE的度数_________．答案：(1)∠DCE=15°(2)α−β2分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．（1）解：∵∠BAC=70°，∠B=40°∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(70°+40°)=70°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠BAC=20°，∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=35°−20°=15°．（2）解：∵∠BAC=α，∠B=β∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(α+β)，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠ACB=12×[180°−(α+β)]=90°−α+β2．∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠BAC=90°−α，∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=90°−α+β2−90°+α=α−β2．小提示：本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．。

八年级数学第十一章三角形知识点

第十一章三角形知识点及常见题型知识点一：三角形1、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做＿＿＿＿＿.组成三角形的线段叫做＿＿＿＿＿＿，相邻两边的公共端点叫做_____________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________.如图以A、B、C为顶点的三角形ABC，可以记作＿＿＿＿＿＿＿，读作_____________.△ABC的三边，有时也用_____________表示，顶点A所对的边BC用____表示，顶点B所对的边CA用____表示，顶点C所对的边AB用____表示.2、三角形的分类三角形按角分类如下:三角形直角三角形斜三角形锐角三角形＿＿＿＿＿.三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不等的等腰三角形＿＿＿＿＿＿＿.3、在等腰三角形中，相等的两边都叫做，另一边叫做，两腰的夹角叫做＿＿＿，腰和底的夹角叫做＿＿＿＿.如右图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么腰是＿＿＿底是＿＿＿＿，顶角是＿＿＿＿，底角是＿＿＿＿＿.4、三角形的三边关系：_________________________________________.5、三角形的高从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的_____ .如图⑴，AD是△ABC的高，则AD⊥_____.三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的_____ .如图⑵，AD是△ABC的中线，则BD＝______=三角形的角平分线∠BAC的平分线AD，交∠BAC的对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的___________.如图⑶，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠_______.6、三角形是具有__________的图形，而四边形没有__________ .7、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于_______.8、三角形的外角：（1）三角形的一个外角与相邻的内角。

人教版八年级上册第十一章三角形知识点复习及习题练习

第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。

2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。

边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。

夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。

练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。

（2）写出△ABD的三个内角。

（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。

八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳(带答案)

八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳单选题1、两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（）A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°答案：C分析：根据BC//EF，可得∠FDB=∠F=45°，再根据三角形内角和即可得出答案．由图可得∠B=60°，∠F=45°，∵BC//EF，∴∠FDB=∠F=45°，∴∠BMD=180°−∠FDB−∠B=180°−45°−60°=75°，故选：C．小提示：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．2、如图，图中直角三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：有一个角是直角的三角形是直角三角形.解：如图，直角三角形有：△ABC、△ABD、△ACD.故选C.小提示：本题考查直角三角形的定义.掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏.3、如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（）条对角线．A．20B．27C．35D．44答案：C分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解，多边形对角线的条数可以表．示成n(n−3)2解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=4×360°，解得n=10．10×（10-3）÷2=35（条）．故选：C．小提示：本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．4、如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为（）A．41°B．51°C．42°D．49°答案：A分析：先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光线是平行的，∴∠2=∠ABD=41°，故选A小提示：本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．5、将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( )A．145°B．155°C．165°D．170°答案：C分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=∠DEF -∠2计算出∠CEF，即可求出∠AEF．解：∵∠A=60°，∠F=45°，∴∠1=90°-60°=30°，∠DEF=90°-45°=45°，∵ED∥BC，∴∠2=∠1=30°，∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°，∴∠AEF=180°-15°=165°.故选C.小提示：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．6、如图，在△ABC中，AB=20，AC=18，AD为中线．则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．∵在△ABC中，AD为中线,∴BD=CD．∵C△ABD=AB+BD+AD，C△ACD=AC+CD+AD，∴C△ABD−C△ACD=AB−AC=20−18=2．故选：B．小提示：本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．7、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1＝∠5答案：A分析：根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项说法正确；B、∵AD与AB不平行，∴∠2≠∠3，本选项说法错误；C、∵AD与CB不一定平行，∴∠3≠∠4，本选项说法错误；D、∵CD与CB不平行，∴∠1≠∠5，本选项说法错误；故选：A．小提示：本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．8、在△ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）A．必有一个角等于30°B．必有一个角等于45°C．必有一个角等于60°D．必有一个角等于90°答案：D分析：先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：①x=|y−(180°−x−y)|⇒y=90∘或x+y=90∘②y=|x−(180∘−x−y)|⇒x=90∘或x+y=90∘③(180∘−x−y)=|x−y|⇒x=90∘或y=90∘综上所述，必有一个角等于90°故选D.小提示：本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.9、下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．答案：D分析：利用三角形具有稳定性直接得出答案．解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．小提示：本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．10、如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图△ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是（）A．25B．26C．30D．39答案：B分析：正ΔABC中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正ΔABC全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：13×6=78（个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：26×4=104（个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：5×6=30（个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为：78+104+30+13=225（个），∴图中阴影部分面积为：75×78=26，225故选：B．小提示：题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．填空题11、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB=3，AC=4，BC=5，则AD=______．答案：2.4分析：根据面积相等可列式12AB·AC=12BC·AD，代入相关数据求解即可．解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴12AB·AC=12BC·AD∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AD=AB·ACBC =125=2.4故答案諀：2.4小提示：此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．12、如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将△PFC沿PF折叠，使点C落在点E处．若∠DCF=62°，当点E到点A的距离最大时，∠CFP=_____．答案：59°##59度分析：利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用AB∥CD且∠DCF=62°，得到∠CFA=62°，再根据折叠性质可知：∠EFP=∠CFP，利用补角可知∠EFP+∠CFP=118°，进一步可求出∠EFP=∠CFP=59°．解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：∵AB∥CD且∠DCF=62°，∴∠CFA=62°，∵△PCF折叠得到△PEF，∴∠EFP=∠CFP，∵∠EFP+∠CFP=118°，∴∠EFP=∠CFP=59°．所以答案是：59°小提示：本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．13、三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的_________心．答案：重分析：根据三角形的重心的定义即可求解．三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心；所以答案是：重．小提示：本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．14、如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，BC＝3cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多_____．答案：2cm分析：根据三角形的中线的概念得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=DC，∴△ABD的周长-△CBD的周长=（AB+AD+BD）-（BC+DC+BD）=AB-BC=5-3=2（cm），∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，所以答案是：2cm．小提示：本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．15、如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C 处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 __．答案：1600米##1600m分析：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可．解：根据题意得：360°÷45°=8，则他走回点A时共走的路程是8×200=1600（米)．故回到A点共走了1600米．所以答案是：1600米．小提示：本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°．解答题16、如图，已知在△ABC中，∠B=30°,∠C=50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．答案：10°分析：先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1∠BAC=50°，2∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．小提示：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．17、如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．(1)若2∠1+∠EAB=180°，求证：EF∥BC；(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．答案：(1)见解析；(2)24°分析：（1）先根据AD是△ABE的角平分线得出∠EAB=2∠GAF，，再由2∠1+∠EAB=180°得出∠AGF+∠GAF=90°，进而可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及外角的性质求解即可．（1）证明：∵AD是△ABE的角平分线，∴∠EAB=2∠GAF，∵2∠1+∠EAB=180°，∴2∠1+2∠GAF=180°，∵∠1=∠AGF，∴2∠AGF+2∠GAF=180°，∴∠AGF+∠GAF=90°，∴∠AFG=90°，∵BC⊥AB，∴∠AFG=∠ABC==90°，∴EF∥BC；（2）解：∵∠C＝72°，∠ABC==90°，∴∠CAB==90°-∠C==90°-72°==18°，∴∠EAB=2∠CAB=36°，∵∠AEB＝78°，∴∠ABE==180°-（∠AEB+∠EAB）==90°-（78°+36°）==66°，∴∠CBE=90°-∠ABE==90°-66°==24°．小提示：此题考查了平行线的判定及三角形的内外角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．18、在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°．（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？答案：（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．分析：（1）设多边形的一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，根据内角与其相邻的外角的和；是180°列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°x（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．解：（1）设每一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，∴180°−x=3x+20°，∴x=40°，即多边形的每个外角为40°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数为：360°=9，40°∴这个多边形的边数为9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，①若剪去一角后边数减少1条，即变成8边形，∴内角和为(8−2)×180°=1080°，②若剪去一角后边数不变，即变成9边形，∴内角和为(9−2)×180°=1260°，③若剪去一角后边数增加1，即变成10边形，∴内角和为(10−2)×180°=1440°，∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为1080°或1260°或1440°．小提示：本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

初二数学上册考试重点及练习题(含答案)

初二数学上册考试重点及练习题（含答案）第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

人教版八年级数学上册第十一章三角形小结与复习课件

例11 如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
51 °
20 ° D B
C
解：连接AD并延长于点E.
A
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
D
20 °
因为∠BDC=∠3+∠4，
B
∠BAC=∠1+∠2，
E
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°， ∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
例9 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝ 50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ 1∠ACB＝30°.
n边形的外角和等于360°.
正多边形的每个内角的度数是 (n 2)180 , n
正多边形的每个外角的度数是 360 .
n
考点讲练
考点一三角形的三边关系
例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于 5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数.
解：设∠C=x °,则∠ABC=x°,

《常考题》初中八年级数学上册第十一章《三角形》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．小李同学将10,12,16,22cm cm cm cm 的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（）A ．25cmB ．27cmC ．28cmD ．31cm 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，不能用它们搭成三角形的是（） A ．1cm ，2cm ，3cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．5cm ，6cm ，7cm 3．如图，ABC 中，55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点，且130ACD ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．50︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒4．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（）A ．8B ．9C ．10D ．115．下列命题是真命题的个数为（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形的内角和是180°．③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．A ．2B ．3C ．4D ．5 6．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（）A ．18B ．19C ．20D ．21 7．如图，D 是ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD CE 、的中点，且ABC 的面积为220cm ，则BEF 的面积是（）2cmA ．5B ．6C ．7D ．88．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（） A ．3cm B ．10cm C ．4cm D ．6cm9．如图，已知,,90,//AD BC FG BC BAC DE AC ⊥⊥∠=︒．则结论①//FG AD ；②DE 平分ADB ；③B ADE ∠=∠；④CFG BDE ∠+∠90=︒．正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 10．如图，小明从点A 出发沿直线前进9米到达点,B 向左转45后又沿直线前进9米到达点C ，再向左转45后沿直线前进9米到达点D ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为（）A ．72米B ．80米C ．100米D ．64米 11．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（）． A ．a b = B ．180a b =+° C ．180b a =+︒ D ．360b a =+︒ 12．如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是（）A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BD D ．线段DA 13．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．7D ．8 14．如图，在ABC 中，48BAC ∠=︒，点 I 是ABC ∠、ACB ∠的平分线的交点．点D 是ABC ∠、 ACB ∠的两条外角平分线的交点，点E 是内角ABC ∠、外角ACG ∠的平分线的交点，则下列结论不正确．．．的是（）A ．180BDC BIC ∠+∠=︒B ．85ICE ∠=︒C ．24E ∠=︒D ．90DBE ∠=︒ 15．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题16．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．17．2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出武警部队探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的,A B 两处，用仪器探测生命迹象C ，已知探测线与地面的夹角分别是30︒和60︒（如图)，则C ∠的度数是_________．18．如果三角形的三边长分别为5，8，a ，那么a 的取值范围为__．19．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是________20．如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．21．如图，若∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．22．如图所示，△ABC 中，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的四等分线相交于D 、E 、F （其中∠CAD ＝3∠BAD ，∠ABE ＝3∠CBE ，∠BCF ＝3∠ACF ），且△DFE 的三个内角分别为∠DFE ＝60°、∠FDE ＝53°、∠FED ＝67°，则∠BAC 的度数为_________°．23．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则CDP ∠=___________度．24．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．（填写度数）．25．如图，若//AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，90BED ∠=，则BFD ∠=______．26．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．三、解答题27．如图，∠CBF ，∠ACG 是△ABC 的外角，∠ACG 的平分线所在的直线分别与∠ABC ，∠CBF 的平分线BD ，BE 交于点D ，E ．（1）若∠A=70°，求∠D 的度数；（2）若∠A=a ，求∠E ；（3）连接AD ，若∠ACB=β，则∠ADB= ．28．（问题引入）（1）如图1，△ABC ，点O 是∠ABC 和∠ACB 相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC 的度数．（深入探究）（2）如图2，在四边形ABDC 中，点O 是∠BAC 和∠ACD 的角平分线的交点，若∠B+∠D=110°，请求出∠AOC 的度数．（类比猜想）（3）如图3，在△ABC 中，∠CBO=13∠DBC ，∠BCO= 13∠ECB ，∠A=α，则∠BOC=___（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．（4）如果BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO=∠1n DBC ∠BCO=1n∠ECB ，则∠BOC=___（用n 、a 的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）． 29．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒．求EAD ∠和∠BOE 的度数．30．阅读材料在平面中，我们把大于180︒且小于360︒的角称为优角．如果两个角相加等于360︒，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若1∠，2∠互为组角，且1135∠=︒，则2∠=______．习惯上，我们把有一个内角大于180︒的四边形俗称为镖形．（2）如图，在镖形ABCD 中，优角BCD ∠与钝角BCD ∠互为组角，试探索内角A ∠，B ，D ∠与钝角BCD ∠之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．。

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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。