静电场中的高斯定理

目录1前言 (1)2静电场中的高斯定理的定义 (1)3高斯定理的推导过程 (2)3.1电场线 (2)3.2电场强度通量 (3)3.3高斯定理的推导 (4)4高斯定理的应用 (6)参考文献： (8)静电场的高斯定理X慧君（学号：20111104295）（物理与电子信息学院11级电子信息工程1班，某呼和浩特010022）指导教师：X淑琴摘要：本文意在论述静电场中的高斯定理的定义、推导过程以及其在静电场中的应用方法。

方法是通过讨论电通量与场源电荷之间的关系得出高斯定理，应用高斯定理求解几种情况下的场强大小及其分布情况，然后根据例题总结出高斯定理在静电场中应用的方法。

关键词：静电场；高斯定理；定义；推导过程；应用方法中图分类号：O44 文献标识码：A1前言电磁学是研究电磁相互作用和电磁运动基本规律的一门学科，是经典物理学的一个重要分支，也是近代物理学不可缺少的基础。

而静电场中的高斯定理就是电磁学的一部分，同时静电场中的高斯定理是电磁学中的重要定理之一。

以前我们学习了匀场电场中有关场强的解答方法，但如果是在场强分布不均匀的电场中，我们又该怎样解出场强来呢？或许你想到了运用高等数学里所学习的积分来解答，积分对于大多数人来讲它过于复杂了。

还有没有更加简单快速的方法呢？学习了静电场中的高斯定理之后，你会发现：原来一切都是那么简单。

是的，运用静电场中的高斯定理你无需在使用复杂的积分，你只需要做一个简单的高斯面就可以快速解答一切有关求场强的问题了。

无论它有多么复杂，只要你熟练掌握了静电场中高斯定理的应用方法。

2静电场中的高斯定理的定义静电场中的高斯定理是电磁学中的重要定理之一，表述为：在静电场中，通过任意，而与闭合曲面外闭合曲面S的电通量等于该面所包围的所有电荷电量的代数和除以的电荷无关；数学公式表示为⎰⎰∑=SqS dEε式中⎰⎰s表示沿一个闭合曲面S的积分，该闭合曲面S通常称为高斯面。

由上式可以看出闭合曲面的电通量只与闭合面内的电荷有关，闭合面外的电荷对闭合曲面的电通量没有贡献。

3高斯定理的推导过程3.1电场线引入电场线可形象地描绘电场在空间的分布。

电场线是按下述规定的一系列假想曲线：曲线上任意一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线在某处的疏密程度表示该处的场强的大小。

电场线可以用实验演示出来，图1中实线所示的是几种电荷的电场线分布。

(a)正点电荷(b)负点电荷(c)等量异号点电荷(d)等量同号点电荷(e)等量异号带电平行板图1 几种特殊情况下电场线的分布从图1可以看出，静电场中的电场线具有如下一些普遍性质：（1）电场线起始于正点电荷（或来自无穷远），终止于负点电荷（或伸向无穷远），不会在没有电荷的地方中断；（2）电场线不会形成闭合线； （3） 任何两条电场线电场线都不会相交。

注意：引入电场线是为了形象地表示电场的分布，并不是电场中真的有电场线存在，特别是，电场线一般都不是电荷在电场中的运动轨迹。

3.2电场强度通量规定通过垂直于电场中某点场强方向的单位面积上的电场线数目，等于该点场强的大小。

穿过电场中某一面积的电场线总数称为穿过这个面的电场强度通量，简称电通量，用符号e Φ表示。

则穿过电场中垂直于某点场强方向的某一面积S d '的电通量e d Φ为S Ed d e '=Φ。

对于电场中的任意面元dS ,定义面元矢量0n dS S d =，0n 为法向单位矢量。

设该处场强E 与0n 的夹角为θ，如图2所示，穿过dS 的电场线数目也就是穿过垂直于E的投影面元⊥dS (即S d ')的电场线数目。

由于θcos dS S d ='，故通过面元dS 的电通量e d Φ可表示为S d E EdS S Ed d e =='=Φθcos （1）图2面元的电通量即通过任一面元的电通量等于该点处场强与其面元矢量的标量积。

（1）式定义的电通量有正有负：当2πθ<时，0>Φe d ；当2πθ>时，0<Φe d 。

对于有限大曲面S ，场强大小和方向一般都是逐点变化的。

要计算通过它的电通量，就必须先把它分成许多个无限小面元，按上式表示出各面元的电通量，然后积分即可求出通过该曲面的总电通量为 ⎰⎰=ΦSe S d E （2）对于闭合曲面S ，其电通量为 ⎰⎰=ΦSe S d E （3）对于不闭合的曲面，面上各处的法线方向可以任意规定。

对于闭合曲面，由于它将整个空间分割为内外两个区域，要区分电场线是穿入还是穿出该面，一般规定自内向外的方向为正法向。

因此，电场线穿出的地方（如图3中的A 处）电通量为正；电场线穿入的地方（如图3中的B 处）电通量为负。

图3 穿过闭合曲面的电通量3.3高斯定理的推导设电场是由单个点电荷q 产生的，根据其场强分布具有球对称性和电通量的定义，以此点电荷为球心作一个半径r 的球面0S ,如图(a)所示，球面上各处S d 的法向均为径向r ，因而与场强E 同向，则通过球面的电通量为022020444εππεπεq r r q dS r q EdS S d E S S S e =====Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （4）这一结果与球面的半径r 无关，只与它所包围的电荷有关，即对以q 为球心的任意球面都有上述结果。

再设想另一个闭合曲面S，它与球面S包围的是同一电荷q。

由于电场线的连续性，通过S的电通量和通过S的电通量是一样的。

因此，通过包围点电荷q的任意形状的闭合曲面的电通量都等于εq。

(a)包含点电荷q (b)不包含点电荷q图4 高斯定理的推导如果闭合曲面S不含该点电荷q，如图(b)所示，则根据电场线的连续性，由一侧穿进去的电场线条数一定等于从另一侧穿出来的电场线条数，即电通量为0。

因此，单个点电荷q所产生的电场对任一闭合曲面的电通量为⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧==ΦSeSqSqqS dE内）不在（内）在（ε（5）对于点电荷nqqq,...,,21组成的点电荷系，根据场强叠加原理，在它们的电场中的任一闭合曲面S的电通量为neeeSnSS SeS dES dS dES dEΦ++Φ+Φ=+++==Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰......2121ieΦ为单个点电荷iq的电场通过S的电通量，当S包围iq时ieΦ等于εiq；当S不包围iq时ieΦ等于零。

因此在点电荷系的电场中，有∑⎰⎰==Φ内）（S i S e q S d E 01ε （6）式中的E 为n 个点电荷在dS 处激发的总场强，∑内S i q 是包围在闭合曲面S 内的总电量。

上式表明静电场的高斯定理成立。

由于任意带电体的电场可以看成无限多个电荷元电场的叠加，故（4）式对任意带电体的电场都成立。

4高斯定理的应用例 1 求均匀带正电球体内外的电场分布，设球体带电量为q ，半径为R 。

解 由于电荷分布的球对称性，它所激发的电场也具有球对称性。

故可选取半径为r 的球形高斯面，此球面上的场强大小处处相等，方向均与所在处法向一致。

（1）当r<R 时，穿过高斯面的电通量为 ⎰⎰=12114S r E S d E π由于球体均匀带电荷，高斯面内的电荷为33333434r Rq r r q=•ππ 由高斯定理，应有 图5 匀强带电球体的场强分布33214επr R q r E = 故球体内的场强大小为r R qE 3014πε=（2）当r>R 时，穿过高斯面的电通量为 22242r E S d E S π⎰⎰=高斯面内的电荷为q ，由高斯定理，可得球体外的场强大小为2024r qE πε=即均匀带电球体内一点的场强大小与场点离成正比，而体外的场强分布则完全类似于点电荷。

例 2 求半径R 的无限均匀带正电圆柱面的场强分布，电荷面密度为σ。

解 由于电荷分布的轴对称性，它所产生的电场也具有轴对称性，即离开圆柱面轴线等距离的各点的场强大小相等方向都垂直于圆柱面（带正电荷时向外）。

根据这种对称性，求圆柱体外一点P 的电场时，过P 作一同轴闭合圆柱面S ，其高为h 、半径为r 。

由上可知，该圆柱侧面上各点的场强大小相等，方向都与圆柱侧面正法向一致，而上下底面的正法向却与其上的场强处处垂直。

因此，通过S 面的电通量为rhE ES Sd E S d E S d E S d E S S S S π200=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰侧侧上下S 面包围的电荷为Rh πσ2，根据高斯定理应有022επσπRhrh E = 故 rR E 0εσ= 图6 带正电圆柱面的场强分 例 3 求均匀带正电的无限大平面薄板的场强分布，电荷面密度为σ。

解 由于电荷分布的平面对称性，它所激发的电场也具有平面对称性。

在离平面等距离的地方场强大小相等，两侧场强方向相反且均背离平面。

故选取侧面与带电平面垂直、面积均为S ∆的两底面与带电平面平行的对称柱形高斯面。

此柱面的电通量为SE S E S E Sd E S d E S d E S d E S S S S ∆=∆+∆+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20 侧左右柱面包围的电荷为S ∆σ，根据高斯定理应有 图3 无限大带电平面的场强分布02εσSS E ∆=∆ 故 02εσ=E 上式表明，无限大均匀带电平面两侧附近是匀强电场，场强的大小与场点到带电平面的距离无关。

从以上例子的讨论可以看出，只有电荷分布具有某种对称性，才可相应地选取简单的几何面作为高斯面，使高斯面上各点的场强与该点的法向或垂直或平行，如此便可简单地算出电通量⎰⎰SS d E ，从而由高斯定理求出场强分布。

不具有对称性分布的带电体系，其电场不能直接用高斯定理求得，但并不是说这种带电体系的电场不满足高斯定理。

参考文献：[1]周培勤.大学物理学.某自治区呼和浩特市：某大学. 2011年12月，109-119.。