黄金三角形应用举例

黄金三角形应用举例

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我们知道，把一条线段分成不相等的两部分，使较长部分是原线段和较短部分的比例中项，这叫做把这条线段黄金分割，把线段分成两部分的这个点就称这条线段的黄金分割点。就是在线段AB 内有一点C ，使

BC AC AC AB =。BC AB AC ∙=2＝2

15- AB ≈０．618AB ，Ｃ点就是AB 的黄金分割点。说，节目主持人站在舞台的黄金分割点处，效果最好。我们把具有这种性质的图形叫黄金图形，(如果一个等腰三角形的底与腰之比等于2

15-，则称这个三角形为黄金三角形；若矩形的宽与长之比等于2

15-，则称这个矩形为黄金矩形，若直角梯形上下底之比等于2

15-，且上下底和等于斜腰，则称这个直角梯形为黄金梯形。)这里以黄金三角形为例，举例说明。

（如图1）等腰△OAB 的顶角为36度，这个三角形

就是黄金三角形，底角平分线BM 与腰的交点M 就是腰

OA 的黄金分割点，△MAB 也是黄金三角形。OM ＝BM

＝AB 。作∠A 的平分线交BM 于Ｅ，△AME 也是黄金三

角形，这一过程可以继续下去，这样便得到一连串的黄金

三角形。这些三角形都相似，并且两个相邻的相似三角形

的相似比为2

15-。正十边形的一边与过其两端点的两条半组成的三角形也是黄金三角形。

例１． （如图２）等腰△ABC 的顶角为36度，

腰ＡＢ的长为１０厘米，求底角的平分线ＢＤ的长。

解：因为△ABC 是黄金三角形，所以2

15-=AB BC

BC=555102

15215-=⨯-=-AB 厘米 又因为BD=BC(容易证明)

所以BD ＝555-厘米

例２．（如图３）等腰△ABC 的顶角为36度，BC 以CD 是对折，点B 交AC 于E ，求DE 与AD 的比值。

解：在△BCD 和△ECD 中

∠BDC ＝∠EDC （已知）

CD ＝CD （公共边）

∠DCB ＝∠DCE （已知）

∴△BCD ≌△ECD （SSS ）

∴BD=ED

又∵等腰△ABC 是黄金三角形，且点D 是黄金分割

点。 ∴==AD

BD AB AD 215-

∴=AD ED 2

15- 例３：作半径为2的正十边形（尺规作图）

因为正十边形的边长与半径的比是

2

15-。所以要作半径为2的正十边形，只要画出半径为2的圆，再把圆的半径黄

金分割，以上分得的较长线段做正十边形

的边在周上依次截取，便可得到圆的十个

等分点。

作法：（如图４）1：画半径为2的⊙Ｏ，作半径ＯＡ 。 ２：作⊥ＯＡ，使ＡＱ＝2

1ＯＡ。 ３：以Ｑ为圆心，ＡＱ为半径画交ＯＱ于Ｐ。

４：以Ｏ为圆心，ＯＰ为半径画交ＯA于Ｗ。

５：以ＯＷ为长，在⊙Ｏ中依次截得A、B、C、D、E、F、G、H、K、L。6：连结AB、BC、CD……LA。

则十边形ABCDEFGHKL就是所求作的正十边形。

把上面所说圆的十个等分点依次连结相间的五个，便得到圆内接正五边形，连正五边形的五条对角线便得到正五角星形．

例4：黄金三角板应用

用硬板纸做一块三角板ABC，使其顶角A为36°，两腰相等，这样形状的三角板叫黄金三角板。

(1)作圆内接正十边形和圆内接正五边形

用黄金三角板可以很方便地把圆十等分(如图5)和五等分(如图6)

(2) 用黄金三角板画正五角星

(如图7)用黄金三角板ABC为模型先画两腰AB

和AC，再以B为顶角的顶点，BA为一腰画黄金三

角形的另一腰BD。然后以C为顶角的顶点，CA为

一腰画黄金三角形的另一腰CE。最后连结ED，便得正五角星。