第7章 图论-2路与图的连通性

我们把图G的连通分支数记作W（G）。
＊连通关系是等价关系。
由等价关系，点集V按等价类划分的块，构成不同的连通分支。 连通分支的个数W（G）=等价类的划分块数。
在图7.2.3中， G是不连通的， W（G）＝２， 而G′是 连通的， W（G′）＝１。 任何一个图都可划分为若干个连通分支。 显然， 仅当图G的连通分支数W（G）＝１时， 图G是连通的。
FWSH FWS WSH WS W FW WH S
FWH FSH FS SH H FH F φ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
这里φ表示左岸是空集， 即人、 狼、
羊、 干草都已运到右岸去了。
根据题意检查一下就可以知道， 这 16种情况中有６种情况是不允许出现的。 它们是： WSH、 FW、 FH、 WS、 SH、 F。 如FH表示人和干草在左岸， 而狼和
图 7.2.1
下面我们利用通路的概念解决一个古老的 著名问题。 【例7.2.1】（渡河问题） 一个摆渡人， 要 把一只狼、 一只羊和一捆干草运过河去， 河上有一只木船， 每次除了人以外， 只 能带一样东西。 另外， 如果人不在旁时， 狼就要吃羊， 羊就要吃干草。 问这人怎 样才能把它们运过河去？
解: 用F表示摆渡人， W表示狼， S表 示羊， H表示干草。 若用FWSH表示人和其它３样东西在 河的左岸的状态。 这样在左岸全部可能 出现的状态为以下16种：
注意:在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi), 但一般地满足以下性质: (1) d(vi,vj)≥0;
(2) d(vi,vi)=0;
(3) d(vi,vj)+d(vj,vk)≥d(vi,vk)。
三角不等式
图 7.2.1
定理 7.2.1 设G是具有n个结点的图， 如
果从结点v1到另一结点v2存在一条路， 则从
羊在右岸， 这当然是不行的。 因此， 允
许出现的情况只有10种。
我们构造一个图， 它的结点就是这 10种状态。 若一种状态可以转移到另一
种状态， 就在表示它们的两结点间连一
条边， 这样就画出图7.2.2 。 本题就转化
为找结点FWSH 到结点φ的通路。 从图
中得到两条这样的通路， 即有两种渡河
方案。
3)如果略去边的方向后， G成为连通的无向图，则 称图G是弱连通的。 从定义可知： 若图G是单向连通的， 则必是 弱连通的；若图G是强连通的， 则必是单向连通 的， 且也是弱连通的。 但反之不真。
定理 7.2.2一个有向图G是强连通的， 当
且仅当G中有一个（有向）回路， 它至少
包含每个结点一次。
证明: 必要性： 如果有向图G是强连通的， 则
7.2 路与图的连通性 7.2.1 路与回路
7.2.2 图的连通性
7.2.1 路与回路
定义 7.2.1 给定图G＝〈V ,E〉, 设v0, v1, … , vk∈V， e1，e2，…，ek∈E， 其中ei是关联于结点vi-1和vi的边， 称交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路， v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。 在简单图中一条路v0e1v1e2…ekvk由它的结点序列 v0v1…vk确定,所以简单图的路,可表示为v0v1…vk 。如图 7.1.3表示的简单图中， 路ae1be4ce5d可写成abcd。
定义 7.2.2 设μ=v0e1v1e2…ekvk是图G中连接v0到vk的
路。 1)若e1， e2， …， ek都不相同， 则称路μ为迹； 2)若v0， v1， …， vk都不相 同，则称路μ为通路； 3)长度大于２的闭的通路 （即除v0＝vk外， 其余结 点均不相同的路）μ称作圈。
图7.1.3
结点重复情况
划分是:
{{1,2,3}, {4}, {5},｛6｝,｛7,8｝｝
图 7.2.4
7.2 路与图的连通性
小结: 本结介绍了路、迹、通路、回路、圈 及图的连通性。
2. 有向图的连通性
定义7.2.6 在有向图中,若从结点u到v有一条路，则称
u可达v。
规定：任何顶点到自身总是可达的。 可达关系具有：自反性，传递性，一般无对称性。
定义7.2.7 设有有向图G，
1)若G的任意两个结点中,至少从一个结点可达另一 个结点,则称图G是单向连通的; 2)如果G的任意两个结点都是相互可达的,则称图G 是强连通的;
H
FSH φ
FWSH
WH
FWH W FWS
S
FS
图 7.2.2
定义 7.2.3 在图G中， 若结点vi到vj有路连接
（这时称vi和vj是连通的）， 其中长度最短的
路的长度称为vi到vj 的距离， 用符号d(vi,vj)表
示。若从vi到vj不存在路径,则d(vi,vj)=∞。
例如在图7.2.1中， ｄ（v1， v4）＝２。
K (G ) min Vi Vi为G的点割集
＊设 E1 E , 如果删除E1 ，图G不再连通，但是删除E1的任意 真子集，G仍连通，称E1为G的边割集。 ∣ E1 ∣=1，称为割边。（桥） ＊边连通度：使G不连通需删除边的最少数目。 (G ) min Ei Ei为G的边割集 点连通度和边连通度反映了图的连通程度，点连通度和边连通 度值越大，说明图的连通性越好。
过n-1。
推论 设图G＝〈V ,E〉 ， |V|＝n， 则G中任一圈长
度不大于n。
7.2.2 图的连通性
1. 无向图的连通性
定义 7.2.4 在无向图如果一个图的任何两个结点之间都有一条
路，那么我们称这个图是连通的，否则是不连通的。
＊规定：任何点到自身有路。n=1时是连通图。
定义 7.2.5 图G的一个连通的子图G′（称为 连通子图）若不 包含在G的任何更大的连通子图中， 它就被称作G的连通分支。
在图7.2.4中,强连通分支集合构成的G的划分是:
{〈{1,2,3},{e1,e2,e3}〉,〈{4},φ〉,〈{5},φ〉,〈｛6｝,φ〉, 〈｛7,8｝,{e7,e8}〉｝
单向连通分支集合是:
{〈{1,2,3,4,5},{e1,e2,e3,e4,e5}〉,〈{6,5},{e6}〉,
〈｛7,8｝,{e7,e8}〉｝ 弱连通分支集合是: {〈{1,2,3,4,5,6},{e1,e2,e3,e4,e5,e6}〉, 〈｛7,8｝,{e7,e8}〉｝ 可以以点集表达。
任意两个结点都是相互可达的。 故必可作一回
路经过图中所有各结点。 否则必有一回路不包
含某一结点v。 这样， v与回路上各结点就不能 相互可达， 这与G是强连通矛盾。 充分性： 如果G中有一个回路， 它至少包 含每个结点一次， 则G中任意两个结点是相互
可达的， 故G是强连通的。
定义 7.2.8 在有向图G=〈V,E〉中,G′是G的子 图,若G′是强连通的(单向连通的,弱连通的),没有包含 G′的更大子图G″是强连通的(单向连通的,弱连通的), 则称G′是G的强分图（强连通分支）.是G中具有强 连通性质的最大子图。 (单向分图,弱分图) 两点间的相互可达关系是等价关系。求强连通分支 时，可将图按强连通分等价类，每一类为一分支。 故每个结点位于且只位于一个强连通分支中。 所有的强连通分支构成的集合是G的一个划分。 所有的单连通分支构成的集合是G的一个覆盖。
图 7.2.3 图G与G′
＊删除点v:去掉点v及与v相连的边。 ＊删除边e:去掉边e。（保留点） ＊设 V1 V , 如果删除V1 中所有的点，图G不再连通或是平凡 图，但是删除V1的任意真子集，G仍连通，称V1为G的点割集。 ∣ V1 ∣=1，称为割点。 ＊点连通度：使G不连通需删除结点的最少数目。
边重复情况
路 (Wlaks) 迹 (Trails)
通路 (Paths)
允许 允许
不允许
允许 不允许
不允许
回路(Circuits)
圈(cycle)
允许
不允许 （除始点
允许
不允许
和终点外）
例如在图 7.2.1中， 有连接v5到v3的路 v5e8v4e5v2e6v5e7v3， 这也是一条迹；路 v1e1v2 e3v3是一条通路； 路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是一 条回路， 但不是圈； 路v1e1v2e3v3e2v1是一条 回路， 也是圈。
结点v1到v2 必存在一条路长度不大于n－1的
通路。
证 明 : 假 定 从 v1 到 v2 存 在 一 条 路 径 ,(v1,…,vi,…,v2) 是 所
经的结点,如果其中有相同的结点vk,例
(v1,…,vi,…,vk,…,vk,…,v2),则删去从vk到vk的这些边,它仍 是从v1到v2的路径,如此反复地进行直至(v1,…,vi,…,v2)中 没有重复结点为止。此时,所得的就是通路。通路的长 度比所经结点数少1,图中共n个结点,故通路长度不超