网络拓扑和电路的矩阵形式

第十五章网络拓扑和电路方程的矩阵形式

第一节网络的拓扑图

一、网络的图：1、拓扑图：

在电路的分析中，不管电路元件的性质差别，只注意连接方式即网络拓扑的问题。若将每一条支路用一条线段（线段的长短、曲直不限）来表示，就组成拓扑图。如图15-1-1(a)对应电路的拓扑图为(b)。图15-1-2(a)对应电路的拓扑图为(b)。图15-1-3(a)对应电路在低频下的拓扑图为(b)。

此拓扑图是连通图。

(b)

是互感

电路的

分离图。

(b)是在低频下的拓扑图，是分离图，包括自环（自回路）、悬支、孤立结点。

2、有向图：如果标以支路电压、电流的（关联）参考方向，即成有向图。

3、子图：如果图G1的所有结点和支路是图G的结点和支路，则G1是G的子图。子图可以有很多。

第二节树、割集

一、树：

1、定义：连通图G的树T是G的一个子图。（1）它是连同的。（2）包括G中的所有结点。（3）不包含任何回路。树是连接图中所有结点但不包含回路的最少的支路集合。同一拓扑图可以有不同的树。对于一个有n个结点的全连通图可以选择出n n-2种不同的树。

2、树支和连支：当树确定后，凡是图G的支路又属于T的，称为树支，其它是连支。树支数T=n-1；连支数L=b-(n-1)。

二、割集：

定义：对连通图来说，割集C是一组支路的集合，如果把C的全部支路移去，将使原来的连通图分成两个分离部分，但在C的全部支路中，只要少移去一条支路，剩下的拓扑图仍是连通的。因此割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合。

三、独立回路组的确定：

可以通过树确定一组独立回路，称为单连支回路组。如图15-2-1。

选择支路1、2、3、7为树支，4、5、6、

8为连支，则单连支回路组为：

{1、2、4}，{2、3、5}，{2、3、6、7}，

{1、3、7、8}。

又称为单连支回路组。

四、独立割集组的确定：

可以通过树确定一组独立割集，称为单树支割集组。如图15-2-2。

选择支路1、2、3、7为树支，4、5、

6、8为连支，则单树支割集组为：

{1、4、8}，{2、4、5、6}，{3、5、6、

8}，{6、7、8}。

又称为单树支割集组。

第三节关联矩阵、回路矩阵、

割集矩阵

有向拓扑图的结构可以用关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵来描述。 一、 关联矩阵：

１、 关联矩阵的描述：描述支路与结点之间的关联情况。对于n 个结点b 条支路的电路，用n* b 阶矩阵或（n-1）* b 阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个结点，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：

以15-3-1为例。其矩阵形式为：

其特点为：每一列只有两个非零元素，且一“＋”、一“－”。因此可以划去一行（此

行对应的结点称为参考结点，如第四行）称为降阶关联矩阵，用Ａ表示（以后，如果无特殊说明均指A ）。则：

关联矩阵和拓扑图之间为一一对应的关系。

２、ＫＣＬ的矩阵形式：

3、支路电压与结点电压关系的矩阵形式：

二、回路矩阵（基本回路矩阵）： １、（基本）回路矩阵描述：描述支路与回路之间的关联情况。对于n 个结点b 条支路的电路，用[b-(n-1)]* b 阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个独立回路，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：

⎪⎩⎪

⎨⎧-=不关联）与结点（支路）

的参考方向指向结点相关联，支路与结点（支路）的参考方向离开结点相关联，支路与结点（支路i j 0

i j i j 1i j i j 1a ij []称为全结点关联矩阵。

则：关联矩阵：

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=100101

01011010101001100

1A a [][][][]是支路电流列相量。

其中b b i 0i A =[][][][][]是支路电压列相量。

是结点电压列相量，其中b n n T b u u u A u

=[]⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡------=010110101010011001A

以15-3-２为例：

可以任意选择一组独立回路。但通常选择单连支回路作为独立回路。称为基本回路组即单连支回路组。

以支路4、5、6为树支，1、2、3为连支。则基本回路矩阵为：

可见，B f 中包含一个L 阶的单位子矩阵，原因是：支路编号时先连支后树支（或先

树支后连支）；基本回路编号顺序与连支先后顺序号一致；回路正方向与连支正方向一致。

与关联矩阵不同。基本回路矩阵不能唯一确定一个拓扑图的形状。 2、ＫV Ｌ的矩阵形式：

3、支路电流与回路电流关系的矩阵形式：

三、割集矩阵（基本割集矩阵）： １、（基本）割集矩阵描述：描述支路与割集之间的关联情况。对于n 个结点b 条支路的电路，用 (n-1) * b 阶矩阵来描述。矩阵中的一行对应一个独立割集，一列对应一条支路。矩阵中的元素为：

以15-3-3为例：

可以任意选择一组独立割集。但通常选择单树支割集作为独立割集。称为基本割集组即单树支割集组。

以支路4、5、6为树支，1、2、3为连支。则基本割集矩阵为：

⎪⎩⎪

⎨⎧-=不关联）与回路（支路方向相反）

的参考方向与回路参考相关联，支路与回路（支路方向一致）的参考方向与回路参考相关联，支路与回路（支路i j 0

j i j 1j i j 1b ij []⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=111100011010101001B

f []

[][]

t L B 1=[][][][]是支路电压列相量。

其中b b f u 0u B =[][][][]是回路电流列相量。

其中L L T f b i i B i =⎪⎩⎪

⎨⎧-=不关联）与割集（支路方向相反）

的参考方向与割集参考相关联，支路与割集（支路方向一致）的参考方向与割集参考相关联，支路与割集（支路i j 0

j i j 1j i j 1q

ij