2018学年高中数学必修5课件：2.4 第一课时 等 比 数 列 精品

[类题通法] 证明数列是等比数列常用的方法
(1)定义法：aan＋n 1＝q(q 为常数且 q≠0)或aan－n 1＝q(q 为常数且 q≠0， n≥2)⇔{an}为等比数列；
(2)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列； (3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中 a1，q 为非零常数，n∈N*)⇔{an} 为等比数列．
[成功破障]
等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则 a4与 a8 的等比中项是(
)
A．±4
B．4
C．±14
1 D.4
解析：依题意得 a4·a8＝(a1q3)·(a1q7)＝(a1q5)2＝18×252＝42， ∴a4 与 a8 的等比中项为±4. 答案：A
[随堂即时演练]
1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 a1，12a3,2a2 成等
[提出问题] 问题：若数列{an}为等比数列，公比为 q，则 a2＝a1q，a3 ＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，由此你可以 得出什么结论呢？ 提示：an＝a1qn－1.
[导入新知] 等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则通项公式为 an ＝ a1qn－1 .
[活学活用] (全国卷Ⅱ改编)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1.证明 an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式． 解：由 an＋1＝3an＋1 得 an＋1＋12＝3an＋12.又 a1＋12＝32， 所以an＋12是首项为32，公比为 3 的等比数列． 所以 an＋12＝32n， 因此{an}的通项公式为 an＝3n－2 1.
[类题通法] 等比中项的应用主要有两点 (1)计算，与其他性质综合应用．可以简化计算、提高速度和 准确度． (2)用来判断或证明等比数列．
[活学活用]
已知 1 既是 a2 与 b2 的等比中项，又是1a与1b的等差中项，则aa2＋＋bb2
的值是
()
A．1 或12
B．1 或－12
解C．析1：或由13题意得，a2b2＝(ab)2＝1D，．1a＋1 或1b＝－213，
5．(1)已知{an}为等比数列，且 a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正
数，求 an；
(2)若等比数列{an}的首项 a1＝98，末项 an＝13，公比 q＝23，求项
数 n. 解：(1)由已知得aa11qq46＝＝82，，
得q2＝14， a1＝128.
∵an＞0，∴q＝12， a1＝128.
a1－a1q4＝90， a1q－a1q3＝36，
a1＝96， 解得q＝12，
或aq1＝＝2－. 6， (舍)
令 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a21q10 ＝962×1210＝9，
所以 a5，a7 的等比中项是±3.
[易错防范] 1．误认为 a5，a7 的等比中项是 a6，故 a6＝a1q5＝96×125 ＝3. 2．要明确同号两数的等比中项 G 有两个，且互为相反数， 若 G 为 a，b 的等比中项，则 G＝± ab.
[解] (1)因为aa74＝＝aa11qq63，，
所以aa11qq63＝＝82，，
① ②
② 由①得
q3＝4，从而
q＝3
4，而
a1q3＝2，
于是
a1＝q23＝12，所以
an＝a1qn－1＝2
2n-5 3
.
(2)法一：因为aa23＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198，，
③ ④
∴an＝128×12n－1＝28－n.
(2)由 an＝a1·qn－1，得13＝9823n－1，即23n－1＝233，得 n＝4.
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等比中项
[例 3] 设等差数列{an}的公差 d 不为 0，a1＝9d，若 ak 是 a1
与 a2k 的等比中项，则 k 等于
A．2
B．4
()
ຫໍສະໝຸດ Baidu
C．6
D．8
[解析] ∵an＝(n＋8)d， 又∵a2k＝a1·a2k， ∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，
解得 k＝－2(舍去)，k＝4.
[答案] B
4．(江苏高考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1， a8＝a6＋2a4，则 a6 的值是________．
解析：设等比数列{an}的公比为 q，q>0， 则 a8＝a6＋2a4 即 a4q4＝a4q2＋2a4， 解得 q2＝2(负值舍去)，又 a2＝1， 所以 a6＝a2q4＝4. 答案：4
[化解疑难] 1．G 是 a 与 b 的等比中项，则 a 与 b 的符号相同，符号相 反的两个实数不存在等比中项． G＝± ab，即等比中项有两个，且互为相反数． 2．当 G2＝ab 时，G 不一定是 a 与 b 的等比中项．例如 02 ＝5×0，但 0,0,5 不是等比数列.
等比数列的通项公式
差数列，则aa97＋＋aa180等于
()
A．1＋ 2
B．1－ 2
C．3＋2 2
D．3－2 2
解析：设公比为 q，由 a1＋2a2＝a3， 即 a1＋2a1q＝a1q2，得 q2－2q－1＝0. ∴q＝ 2＋1，q＝1－ 2(舍去)， 则aa97＋＋aa180＝q2＝3＋2 2. 答案：C
2．已知等差数列{an}的公差为 3，若 a1，a3，a4 成等比数列，则
提示：都等于同一个常数．
[导入新知] 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 等于 同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 做等比数列的 公比 ，通常用字母 q (q≠0)表示．
[化解疑难] 1．“从第 2 项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； 2．“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两 项的比”； 3．“同一常数 q”，q 是等比数列的公比，即 q＝aan－n 1或 q ＝aan＋n 1.特别注意，q 不可以为零，当 q＝1 时，等比数列为常数 列，非零的常数列是特殊的等比数列．
由④③得 q＝12，从而 a1＝32.
又 an＝1，所以 32×12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6. 法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，得 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，得 n＝6.
[类题通法] 与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项 公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比 数列的通项公式，an＝a1·qn－1(a1q≠0)中包含了四个量，已知其中 的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用 q≠0 验证 求得的结果．
∴aab＋＝b1＝，2 或aab＋＝b－ ＝－ 1，2.
因此aa2＋＋bb2的值为 1 或－13.
答案：D
4.求解等比中项中的误区
[典例] 等比数列{an}(an＞0)满足 a1－a5＝90，a2－a4＝36， 求 a5，a7 的等比中项．
[解] 设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，由 a1－a5＝90， a2－a4＝36 得
等比中项 [提出问题] 问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任 意连续三项间有何关系？ 提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积．
[导入新知] 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 等比数列 ， 那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G＝± ab.
2.4
等比数列
第一课时 等 比 数 列
[提出问题]
等比数列的定义
观察下面几个数列：
(1)4，－4,4，－4，…； (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于
每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍，且共 有 64 个格子，各个格子里的麦粒数依次是 1,2,22,23，…，263；
(3)某人年初投资 10 000 元，如果年收益率是 5%，那 么按照复利，5 年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05, 10 000×1.052，…，10 000×1.055.
问题 1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？ 提示：不是．
问题 2：这三个数列，从第 2 项起与前一项的比有什么 特点？
a2 等于
()
A．9
B．3
C．－3
D．－9
解析：a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，
由于 a1，a3，a4 成等比数列， 则 a23＝a1a4， 所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，
解得 a2＝－9.
答案：D
3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数 n,3an＋1－an＝0，则 an＝ ________. 解析：∵3an＋1－an＝0， ∴aan＋n 1＝13， 因此{an}是以13为公比的等比数列， 又 a1＝2，所以 an＝2×13n－1. 答案：2×13n－1
[化解疑难] 1．在已知首项 a1 和公比 q 的前提下，利用通项公式 an＝a1qn －1 可求出等比数列中的任一项． 2．等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1 可改写为 an＝aq1·qn.当 q＞0 且 q≠1 时，这是指数型函数．
等比数列的通项公式
[例 1] 在等比数列{an}中： (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
等比数列的判断与证明
[例 2] 已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列， 令 bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
[解] 依题意 an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是 bn＝123－n.而bbn－n 1＝121234－ －nn＝12－1＝2. ∴数列{bn}是首项为14，公比为 2 的等比数列，通项公 式为 bn＝2n－3.
[活学活用]
1．若等比数列的前三项分别为 5，－15,45，则第 5 项是( )
A．405
B．－405
C．135
D．－135
解析：∵a5＝a1q4，而 a1＝5，q＝aa21＝－3，∴a5＝405. 答案：A
2．(辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且 a25＝a10,2(an ＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式 an＝________. 解析：由 2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2 或12， 由 a25＝a10＝a1q9>0⇒a1>0， 又数列{an}递增， 所以 q＝2. a25＝a10>0⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n. 答案：2n