量子力学(周世勋)课后答案-第五章

量子力学课后习题详解 第五章 微扰理论

5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为

00

ˆˆ()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即

2004ze U r r

πε=-（）

在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为

ˆˆ()H

T U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区

域， 2

00()()4Ze U r U r r πε=-=

在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，

⎰∞

-=r Edr e r U )(

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303

420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε

⎰⎰∞

--=0

)(r r r

Edr e Edr e r U

⎰⎰

∞

-

-

=00

20

2

3

002

144r r r

dr r Ze rdr r Ze πεπε

)3(84)(82203

020022

203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0ˆˆˆH

H H '=+

得 ⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以

认为(0)ˆˆH

H '<<，视为一种微扰。 对于基态r a Z

e a Z 02/1303)

0(1)(-=πψ，2422(0)12

22e s s m Z e Z e E a =-=-由ˆH '引起的一级修正为 ⎰∞

'=τψψd H E )0(1

*

)0(1)1(1ˆ ⎰

-+--=0

00

2

2022203

023

3

4]4)3(8[r r a Z

dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故10

2≈-r a Z

e 。

∴ ⎰

⎰

+--=0

3

02

40

4

2

20

3

3002

4)1(1

)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E

πεπε

20

30024505

030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2

3002410r a e Z πε= 2

03

2452r a e Z s = 422222(1)(0)201

1

032

000

22//1525s s Z e Z e Z r E E

r a a a ==

#

5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε

中，如果电场较

小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

解：取ε

的方向为Z 轴建立坐标系，则转子的能量包括转动动能和电偶极矩在电场中的势能，哈密顿算符为

θεεcos ˆ212ˆˆ22D L I

D I L H -=⋅-= 取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D H

L I

H -='=，则 H H H '+=ˆˆˆ)0(

由于电场较小，又把H

'ˆ视为微扰，用微扰法求解此问题。 )0(ˆH 的本征值为 2(()))1(21

+=I

E 本征函数为 ),()0(ϕθψm Y =

)0(ˆH 的基态能量为000

=）（E ，00(,)Y θφ=常数，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知

(1)

000

cos sin =0E H d π

θθθ'=⎰

∑-''

=

)

0()

0(0

20

)2(0H E

E

E

⎰⎰-='='ϕθθθετψψd d Y D Y d H H m sin )cos (ˆ00*)

0(0)0*(0

⎰-=ϕθθθεd d Y Y D m sin ) (cos 00* ⎰-=ϕθθπ

π

εd d Y Y D m sin 413

4 10*

⎰-

=ϕθθεd d Y Y D sin 310*0

13

δεD -

=

I D I D E

E

E

22221222'

)

0()0(0

20')2(0

31)1(32 H

εδε

-=+⋅-=-'=∑

∑ 修正后的基态能量为0(1)(2)

0000E E E E =++（）

#

5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H 'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量

至二级修正值。

解：由于未受微扰的能级，即哈密顿算符)0(ˆH

的本征值，只有两个，在不考虑简并的情况下，哈密顿算符)0(ˆH 在自身表象可写为01(0)020ˆ0

E H E ⎛⎫=

⎪⎝⎭