3.3长期趋势的测定及预测

移动平均法------奇数项移动平均
时间 1月
原数列
a1
2月
a2
3月
a3
4月
a4
5月
6月 7月
a5
a6
a7
移动平均
新数列
a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5 a4 a5 a6 a5 a6 a7 3 3 3 3 3
a2
a3
a4
a5
a6
移动平均法------偶数项移动平均
2.特征
3.目的
时间序列的影响因素的测定方法
长期 趋势 (T)
季节 变动 (S)
按 月 （ 季 ） 平 均 法
循 环波 动 (C)
不规 则波 动 (I)
趋 势 剔 除 法
测定季节变动的主要 方法是计算季节比率。季 节比率又叫季节指数，用 来反映现象受季节变动影 响的规律
按月（季）平均法
例1：某旅游区近几年旅游人数资料资料如表所示，试计算季节比率。
最小二乘法
最小二乘估计又叫最小平方法，其基本思想是：要求配合的长期 趋势直线的理论值与原数列的实际值之间的离差平方和最小。

( y y ) ( y a bt)
2 t
2
min
求解a , b的方程组如下：
a y bt n ty t y b n t 2 ( t ) 2
§3.3长期趋势的测定及预测
时间序列的影响因素的测定方法
长期 趋势 (T)
线性趋势 时距扩大法 移动平均法 数学模型法
季节 变动 (S)
非线性趋势
循 环波 动 (C)
不规 则波 动 (I)
数学模型法
时距扩大法
扩大时间单位 合并多段时间
1月 2月 3月 4月 5月 6月 1~2月
数 值 相 加
3~4月 5~6月
2690
2970 3150 3580 14820

同季平均数
季节比率(%)
558
75.3
788
106.3
1020
137.7
598
80.7
741
400
按月（季）平均法
解：第一步，计算全期相同季度的平均人数；
如，全期第一季度平均人数
=（460+520+600+550+660）/5=558（万人） 其它季度平均数的计算方法相同，计算结果如表5-15所示。 第二步，计算全期总平均数，即全期20个季度的平均数； 总平均人数 =(558+788+1020+598)/4 =741 （万人）
期趋势的影响，得出各季修匀比率（见下表）。
如，2001年第三季度的修匀比率
Y/T= 880/625 ×100% =140.8%
其它季度的修匀比率计算方法相同。
年 份 季 度 旅 游 人 数 (y) 4 项 移 动 平 均 移 正 平 均 （ 长 期 趋 势 T) 修 匀 比 率 (y/t) 1 460 2 630 617.5 2001 3 880 632.5 625 140.80% 4 500 650 641.25 77.97% 1 520 655 652.5 79.69% 2 700 672.5 663.75 105.46% 2002 3 900 692.5 682.5 131.87% 4 570 712.5 702.5 81.14% 1 600 730 721.25 83.19% 2 780 742.5 736.25 105.94% 2003 3 970 730 736.25 131.75% 4 620 760 745 83.22% 1 550 792.5 776.25 70.85% 2 900 787.5 790 113.92% 2004 3 1100 815 801.25 137.29% 4 600 822.5 818.75 73.28% 1 660 860 841.25 78.45% 2 930 885 872.5 106.59% 2005 3 1250 720 4 700 487.5
时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月
原数列
移动平均 移正平均 新数列
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a1 a4 a2 a5 a3 a6 a4 a7 4 4 4 4
a3
a4
a5
移动平均法
年份
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
ty 217 460 675 992 1210 1518 1960 2472 3087 12591
t^2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 285
a y bt n ty t y b n t 2 ( t ) 2
n 9, t 45, t 285, t 5 , yt 12591 , y 260.78 y 2347
最小二乘法
excel使用最小二乘法作回归曲线
1，选中数据，插入X-Y散点图 2，在线上右键，添加趋势线，勾上显示公式
年份 y 1996 217 1997 230 1998 225 1999 248 2000 242 2001 253 2002 280 2003 309 2004 343
400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
粮食产量
2.86 2.83 3.05 3.32 3.21 3.25 3.54 3.87 4.07 3.79 __
3年移动
4年移动
4年移正
2.91
3.02
3.07 3.09 3.19 3.21 3.26 3.33 3.33 3.47 3.55 3.69 3.83 3.82 3.91 -3.76 3.58 3.4 3.27 3.15 3.06
最小二乘法
例1、用最小二乘法拟合直线，并预测2005年粮食产量。
某地区粮食产量 单位：万吨 年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 粮食产量 217 230 225 248 242 253 280 309 343
粮食产量
400
300 200
100
0
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
粮食产量
最小二乘法
年份 y 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 合计
2
t 217 230 225 248 242 253 280 309 343 2347 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45
137.3 --541.7 135.425 135.298
73.3 --315.6 78.9 78.826
------400.375 400
§3.3长期趋势的测定及预测
循环变动及其测定
指现象受各种因素的影响形成的周期长度不相 同的一种涨落起伏的往复变动。 1.概念 现象表现出扩张和紧缩交替的变动，变动的周 期通常在一年以上，但周期的长短和波动大小 并不固定。 由于影响循环变动的原因非常复杂，周期长度 不固定，所以，循环变动较难测定。一般是用 剩余法（残余法）来测定其变动程度。
某风景旅游区人数资料 单位:万人
年
份
一季度 460
二季度 630
三季度 880
四季度 500
合计 2470
2001
2002
2003 2004 2005 合计
520
600 550 660 2790
700
780 900 930 3940
900
970 1100 1250 5100
570
620 600 700 2990
第三步，计算季节比率，即各季节平均数与总平均数的比率 。
如，第一季度的季节比率=558/741=75.3% 其它季度的季节比率计算方法相同。
趋势剔除法
趋势剔除法，就是先将原始序列中的长期趋势剔除以后，再测定季节的变动。 这里介绍常用的移动平均趋势剔除法。
计算方法和步骤如下：
第一步，对各月（季）作移动平均，求出长期趋势值（T）； 第二步，将原序列中实际值除以相应时期的趋势值即Y/T， 以消除长期趋势的 影响，得出各季（月）修匀比率； 第三步，将修匀比率按各年同月（季）排列，分别求出同月（季）平均值。目
最小二乘法
9 12591 45 2347 7704 b 14.267 9 285 45 45 540 a 260.78 14.267 5 189.45
故直线方程为
y
y
t
189.45 14.267t
预测2005年的粮食产量为
10
189.45 14.267 10 332.12 万吨
最小二乘法
y = 14.267x + 189.44
曲线线趋势模型的拟合与预测
指数曲线方程 指数曲线方程为：
y ab
t
指数曲线方程的求解方法是先化为直线方程：即
log y log a t logb
从而 Y A Bt
§3.4季节变动的测定和预测
季节变动及其测定目的
1.概念 狭义的季节变动是指现象受自然因素的影响，在 一年中随季节的更换而发生的有规律的变化。广义的 季节变动是指在一年内由于社会、政治、经济、自然 因素的影响，形成的以一定时期（年、季、月、周、 日）为周期的有规律的重复变动。 有规律的变动、按一定的周期（年、季、月、周 或日）重复进行、每个周期变化强度大体相等. 进行经济分析和预测。同时，测定季节变动规 律，有利于消除时间序列中季节变动的影响，取得不 含有季节变动因素的数据，便于评价工作成果。此 外，也为其他因素分析提供有利条件。
最小二乘法
a y bt n ty t y b n t 2 ( t ) 2
n 9, t 45, t 285, t 5 , yt 12591 , y 260.78 y 2347
2
9 12591 45 2347 7704 b 14.267 9 285 45 45 540 a 260.78 14.267 5 189.45
趋势剔除法
第四步，判断并进行季节比率调整。
此例中四个平均季节比率之和为400.375%, 不
等于400%，要进行调整。
调整系数=400%/400.375%=0.999063
将各季调整前的季节比率分别乘以0.999063,即
可求出最终的季节比率。
趋势剔除法
年份 2001 2002 2003
一季度
--79.7 83.2
数学模型 类别的类 别判别：
图 指 形 标 法 法
直线趋势模型的拟合与预测
现象的发展按直线趋势变化时，可用直线模型表示 直线模型的形式为 y a bt
y — 时间序列的趋势值


t —时间标号
a—趋势线在y轴上的截距
b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个
单位时观察值的平均变动数量
趋势剔除法
第三步，将修匀比率按各年同季排列，求其同季平均值。
年份 2001 2002 2003 2004 2005 合计 调整前季节比率（%） 调整后季节比率（%） 一季度 --79.7 83.2 70.9 78.5 312.3 78.075 78.002 二季度 --105.5 105.9 113.9 106.6 431.9 107.975 107.874 三季度 140.8 131.9 131.7 137.3 --541.7 135.425 135.298 四季度 78.0 81.1 83.2 73.3 --315.6 78.9 78.826 合计 ------------400.375 400
移动平均数形成的派生序 列，消除了短期的偶然因素对 原时间序列的影响而引起的波 动，使研究对象的基本发展趋 势得以呈现。
移动平均法
不同的移动间隔长度趋势描述的准确性是不同的，要确定 合理的移动间隔长度 移动平均后，首尾都要损失若干信息量，移动平均法不能 作为外推预测
数学模型法
常 用 的 数 学 模 型
的是清除不规则变动，得出未调整的季节比率；
第四步，判断并进行季节比率的调整，方法同按月（季）平均法。
趋势剔除法
例2：利用移动平均趋势剔除法测定例1资料的季节变动比率。 解：第一步，计算各个季度的移动平均数，求整个时间序列的长期
趋势值T（见下表）。
第二步，将原序列实际发展水平除以相应时期的趋势值，以消除长
二季度
--105.5 105.9
三季度
140.8 131.9 131.7
四季度
78.0 81.1 83.2
合计
-------
2004 2005
合计 调整前季节比率（%） 调整后季节比率（%）
70.9 78.5
312.3 78.075 78.002
113.9 106.6
431.9 107.975 107.874