4-3 矩阵的满秩分解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
且容易看出此矩阵的
0 3 0 2 2 第二列和第四列是线
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
性无关的，选取
Department of Mathematics
0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 1 1 0 3 0 2 2 0 0 0 0 0
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
第四章
矩阵的分解
Department of Mathematics
§4.3 矩阵的满秩分解
我们知道进行矩阵分解往往是为了提高计算 效率,下面我们将给出另一种矩阵的分解。
定理：设
A Crmn ，那么存在
B
C mr r
,
C Crrn
使得： A BC
由此可知
Rank( A) 2
1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
且该矩阵第一列， 第三列是线性无 关的。选取
Department of Mathematics
1 2 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1
0 3 0 2 2
Department of Mathematics
1 2 1 0 1 2
解
：（1）对此矩阵只实(1施) 行变1 换2可以2 得1到 3
Fra Baidu bibliotek
3
2 4 3 1 4 5
1 2 1 0 1 2
1
2
21
3
3
4 8 6 2 8 10
2 4 3 1 4 5 4 8 6 2 8 10
C
rn r
Department of Mathematics
例 1：分别求下面三个矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
(1)
1 2
221 431
3 4
3
(2)
5
0 0
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8 6 2 8 10
0 1 0 1 1 (3) 0 2 0 1 1
定理：如果 A BC B1C1 均为矩阵 A 的满秩分解，
那么
（1）
存在矩阵
C nn n
满足 B B1 ,
C 1C1
C H (CC H )1(BH B)1 BH （2） C1H (C1C1H )1(B1H B1)1 B1H
Department of Mathematics
1 B 2
3
1
1
C 32 2
,
2
C
0 0
1 0
0 0
0 1
0 1
C2
25
Department of Mathematics
由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不 唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对 应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零 的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解 形式之间有如下联系：
Department of Mathematics
1 2 2 1 3
3
0
0
1
1
2 1
2 4 3 1 4 5 0 0 0 0 0 0
4 8 6 2 8 10 0 0 0 0 0 0
1
B 1 2 4
1
2 3
C 42 2
6
,
C
1 0
2 0
0 1
1 1
1 2
1 1
C 26 2
Department of Mathematics
1 2 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1
同样，我1 们2也可2 以1选3取
3
0
01
1
2 1
2 4 3 1 4 5 0 0 0 0 0 0
4 8 6 2 8 10 0 0 0 0 0 0
其中 B 为列满秩矩阵， C 为行满秩矩阵。我们成
此分解为矩阵的满秩分解。
证明：假设矩阵 A 的前 r 个列向量是线性无Ir关的D，
对矩阵 A 只实施行初等变换可以将其化0成
0
Department of Mathematics
即存在
P
C mm m
使得
PA
Ir 0
D
0
1 B 1
2 4
0
1 1
C2
42
2
,
C
1 0
2 0
1 1
0 1
1 2
2 1
C 26 2
Department of Mathematics
解（2）对此矩阵只实施行变换可以得到
0 0 1 2 3 0 0 2 4 6
0 0
0 0
1 0
2 0
3 0
所以 Rank( A) 1，且此矩阵的第三，第四，第五列
任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列 满秩矩阵均可以。
Department of Mathematics
选取
B
1 2
C 21 1
,
C 0
0
1
2
3
C 15 1
也可以选取
B
2 4
于是有
A
P1
Ir 0
Ir
D BC
其中
B
P1
Ir 0
C mr r
,
C
Ir
D Crrn
如果 A 的前 r 列线性相关，那么只需对 A作列 变换使得前 r 个列是线性无关的。然后重复上面的
过程即可。这样存在 P Cmmm , Q Cnnn
C121,
C 0
0
1 2
1
3
2
C 15 1
Department of Mathematics
0 1 0 1 1
解：（3）对此矩阵只实施行(变3)换可0以得2 到0 1 1
0 1 0 1 1 0 2 0 1 1
0 3 0 2 2
所以 Rank( A) 2 ，
Department of Mathematics
且满足
PAQ
Ir 0
D 0
从而：
A
P 1
Ir O
D O
Q
1
P
1
Ir O
Ir
D Q1 BC
其中
B
P
1
Ir O
C
mr r
, C
Ir
D
Q 1
0 3 0 2 2 第二列和第四列是线
0 1 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
性无关的，选取
Department of Mathematics
0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 1 1 0 3 0 2 2 0 0 0 0 0
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
第四章
矩阵的分解
Department of Mathematics
§4.3 矩阵的满秩分解
我们知道进行矩阵分解往往是为了提高计算 效率,下面我们将给出另一种矩阵的分解。
定理：设
A Crmn ，那么存在
B
C mr r
,
C Crrn
使得： A BC
由此可知
Rank( A) 2
1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
且该矩阵第一列， 第三列是线性无 关的。选取
Department of Mathematics
1 2 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1
0 3 0 2 2
Department of Mathematics
1 2 1 0 1 2
解
：（1）对此矩阵只实(1施) 行变1 换2可以2 得1到 3
Fra Baidu bibliotek
3
2 4 3 1 4 5
1 2 1 0 1 2
1
2
21
3
3
4 8 6 2 8 10
2 4 3 1 4 5 4 8 6 2 8 10
C
rn r
Department of Mathematics
例 1：分别求下面三个矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
(1)
1 2
221 431
3 4
3
(2)
5
0 0
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8 6 2 8 10
0 1 0 1 1 (3) 0 2 0 1 1
定理：如果 A BC B1C1 均为矩阵 A 的满秩分解，
那么
（1）
存在矩阵
C nn n
满足 B B1 ,
C 1C1
C H (CC H )1(BH B)1 BH （2） C1H (C1C1H )1(B1H B1)1 B1H
Department of Mathematics
1 B 2
3
1
1
C 32 2
,
2
C
0 0
1 0
0 0
0 1
0 1
C2
25
Department of Mathematics
由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不 唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对 应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零 的行去掉后即可构成行满秩矩阵。但是不同的分解 形式之间有如下联系：
Department of Mathematics
1 2 2 1 3
3
0
0
1
1
2 1
2 4 3 1 4 5 0 0 0 0 0 0
4 8 6 2 8 10 0 0 0 0 0 0
1
B 1 2 4
1
2 3
C 42 2
6
,
C
1 0
2 0
0 1
1 1
1 2
1 1
C 26 2
Department of Mathematics
1 2 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1
同样，我1 们2也可2 以1选3取
3
0
01
1
2 1
2 4 3 1 4 5 0 0 0 0 0 0
4 8 6 2 8 10 0 0 0 0 0 0
其中 B 为列满秩矩阵， C 为行满秩矩阵。我们成
此分解为矩阵的满秩分解。
证明：假设矩阵 A 的前 r 个列向量是线性无Ir关的D，
对矩阵 A 只实施行初等变换可以将其化0成
0
Department of Mathematics
即存在
P
C mm m
使得
PA
Ir 0
D
0
1 B 1
2 4
0
1 1
C2
42
2
,
C
1 0
2 0
1 1
0 1
1 2
2 1
C 26 2
Department of Mathematics
解（2）对此矩阵只实施行变换可以得到
0 0 1 2 3 0 0 2 4 6
0 0
0 0
1 0
2 0
3 0
所以 Rank( A) 1，且此矩阵的第三，第四，第五列
任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列 满秩矩阵均可以。
Department of Mathematics
选取
B
1 2
C 21 1
,
C 0
0
1
2
3
C 15 1
也可以选取
B
2 4
于是有
A
P1
Ir 0
Ir
D BC
其中
B
P1
Ir 0
C mr r
,
C
Ir
D Crrn
如果 A 的前 r 列线性相关，那么只需对 A作列 变换使得前 r 个列是线性无关的。然后重复上面的
过程即可。这样存在 P Cmmm , Q Cnnn
C121,
C 0
0
1 2
1
3
2
C 15 1
Department of Mathematics
0 1 0 1 1
解：（3）对此矩阵只实施行(变3)换可0以得2 到0 1 1
0 1 0 1 1 0 2 0 1 1
0 3 0 2 2
所以 Rank( A) 2 ，
Department of Mathematics
且满足
PAQ
Ir 0
D 0
从而：
A
P 1
Ir O
D O
Q
1
P
1
Ir O
Ir
D Q1 BC
其中
B
P
1
Ir O
C
mr r
, C
Ir
D
Q 1