北大.群论.讲义.王宏利.第一章习题

1.1 证明：只有一个三阶群。

1.2 证明：两个子群的交集为子群。

1.3 证明：有两个四阶群，并且都是阿贝尔群。

1.4 生成矩阵群，它的两个元素是：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110,0110，此群的阶是多少，共有多少个共轭类。

1.5 试问下列三个矩阵在矩阵乘法下是否组成一个群：

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010000110000100,0100001000011000,1000010000100001B A E 。 至少需要添加几个矩阵才能构成群，求出这些增加的矩阵，以及群的共轭类。

1.6 考虑下列六个函数的集合：

x x x f x x f x x f x x x f x x f x x f /)1()( );1/(1)( ;/1)();

1/()( ;1)( ;)(654321-=-==-=-==，

定义两个函数的合成运算为把一个函数替换到另一个中，如))(())((3535x f f x f f =。证明该集合在此合成法则下是一个群，且该群与正三角对称性群（二面体群）D 3群同构。

1.7 设C i 为群中一个类，C i *为C i 中元素的逆的集合，证明C i *也是一个类。

1.8 求出下列置换的逆，

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=64821753876543211p ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=34718652876543212p ， 并验证1112121)(---=p p p p 。

1.9 找出三阶对称群S3的所有子群，并指出哪个子群是不变子群，哪个子群是

含元素（123）的循环群。

1.10求6阶循环群的所有不变子群，以及其对应的商群。

1.11用两个元素A 和B 生成一个群使得它仅仅遵从关系式A 2＝B k =(AB)2=E, 式中

k 是大于1的有限整数。

1.12求D 3群的自同构群，它是内自同构群吗？

1.13设群只有一个阶为2的元素h ，证明：对任意g ∈G ，有gh=hg 。

1.14在D 4群中，取子群},,,{321r r r e G =，},{2a e G =，证明：214G G D S ⊗=。