《储层表征与建模》大报告：多点地质统计随机建模方法

多点地质统计随机建模方法

多点地质统计学是相对于两点地质统计学而言的。地质统计学是法国巴黎国立高等矿业学院马特隆教授（G·Matheron）于1962年创立的，最初应用于采矿业中，主要解决矿床普查勘探、矿山设计到矿山开采整个过程中各种储量计算和误差估计问题。后来在石油工业中得到了迅速的发展，主要应用于储层表征与建模中（Haldorsen and Damsleth,1990；Srivastava, 1994；裘怿楠和贾爱林, 2000；王家华和张团峰，2001；吴胜和等，1999）。

1 传统地质统计学在储层表征中的应用

传统的地质统计学在储层建模中主要应用于两大方面:其一,应用各种克里金方法建立确定性的模型，这类方法主要有简单克里金、普通克里金、泛克里金、协同克里金、贝叶斯克里金、指示克里金等；其二，应用各种随机建模的方法建立可选的、等可能的地质模型，这类方法主要有高斯模拟（如序贯高斯模拟）、截断高斯模拟、指示模拟（如序贯指示模拟）等。上述方法的共同特点是空间赋值单元为象元（即网格），故在储层建模领域将其归属为基于象元的方法。这些方法均以变差函数为工具，亦可将其归属为基于变差函数的方法。

变差函数作为传统地质统计学中研究地质变量空间相关性的重要工具，然而，它的最大不足之处在于只能把握空间上两点之间的相关性，亦即在二阶平稳或本征假设的前提下空间上任意两点之间的相关性，对于表征复杂的空间结构和再现复杂目标的几何形态（如弯曲河道）比较困难。如图1-1所示，三种不同的空间结构（黑色图元和白色图元的空间分布，图1-1a至图1-1c）在横向上（东西方向，图1-1d）和纵向上（南北方向，图1-1e）的变差函数十分相似，这说明应用变差函数不能区分这三种不同的空间结构及几何形态。

变差函数是从已有数据中推算得出，但是在实际情况中，井数据的数量通常很少，不足以获得一个可靠的三维变差函数模型，在横向上尤其如此。即便井数据足够多，因为井通常被部署在有利于油气聚集的地方，因而并不能代表整个储层。因此，以变差函数为工具来捕获所要研究对象的空间变化性，无论从质和量

的角度来说都是不合适的。以它为基础的传统地质统计学的插值和模拟方法因而难于精确表征具有复杂空间结构和几何形态的地质体。

（a）（b）（c）

（d）三种结构东西方向的变差函数（e）三种结构南北方向的变差函数图1-1不能充分反映空间各向异性的变差函数（Caers J, 2002）现有的储层随机建模的另一途径是基于目标的方法，它是以目标物体为基本模拟单元，进行离散物体的随机模拟（Haldorsen and Damsleth，1990；Holdenet al·1998）。主要方法为示性点过程（亦称标点过程），其根据先验地质知识、点过程理论及优化方法（如模拟退火）表征目标地质体的空间分布，因此这种方法可以较好地再现目标体几何形态。但这种方法亦有其不足：

1）每类具有不同几何形状的目标均需要有特定的一套参数（如长度、宽度、厚度等），而对于复杂几何形态,参数化较为困难；

2）由于该方法属于迭代算法，因此当单一目标体内井数据较多时，井数据的条件化较为困难，而且要求大量机时。

2 多点地质统计学的提出与基本概念

鉴于传统的基于变差函数的随机建模方法和基于目标的随机建模方法存在的不足，多点地质统计学方法应运而生。在多点地质统计学中，应用“训练图像”代替变差函数表达地质变量的空间结构性，因而可克服传统地质统计学不能再现

目标几何形态的不足，同时，由于该方法仍然以象元为模拟单元，而且采用序贯算法（非迭代算法），因而很容易忠实硬数据，并具有快速的特点，故克服了基于目标的随机模拟算法的不足。因此，多点地质统计学方法综合了基于象元和基于目标的算法优点，同时可克服已有的缺陷。

过去十年中多点地质统计学（MPS ）已经从理论研究发展到石油工业应用中。MPS 对储层建模的新贡献在于训练图像的使用。训练图像允许整合更多的地质信息到储层模型中;能够描述离散或连续变量的空间结构；能够描述由沉积、构造和成岩作用形成的空间结构。对离散变量，如沉积相，MPS 算法SNES-IM 能够模拟沉积相曲线的构筑物（Strebelle, 2002）。对连续变量的训练图像,例如描述孔隙度和渗透率结构的图像,一种名为FILRERSIM 的MPS 算法更合适（Zhang 等, 2006）。能够用一个分级的模拟方法—首先模拟沉积相，接着模拟每一种沉积相内物性的分布，或者能够直接模拟石油物性，最好的方法应该由研究储层中变量数据和地质条件确定。

鉴于两点统计学只能考虑空间两点之间的相关性这一不足，多点统计学着重表达多点之间的相关性。“多点”的集合用一个新的概念，即数据事件（data event ）来表述（Strebelle and Journel,2001）。

考虑一种属性S （如沉积相）,可取K 个状态（如不同相类型），即{S k , k=1,2,…K}，则一个以u 为中心，大小为n 的“数据事件”d n 由以下两部分组成:

①由n 个向量{h α, α=1,2,…n }确定的几何形态（数据构形），亦称为数据样

板（data template ），记为τn ；

②n 个向量终点处的n 个数据值。如图2-1（a ）为一个五点构形的数据事件，由一个中心点和四个向量及数值组成。多点统计可表述为一个数据事件}n ,...1,s ){S(u d k n ===ααα出现的概率，即数据事件中n 个数据点s （u 1）…s （u n ）分别处于s k 1…s k n 状态时的概率，也可表述为n 个数据指示值乘积的数学期望，

即：

{}(){}()⎥⎦⎤⎢⎣⎡====∏=n k n k I n s S d 1;E ,1;Prob Prob ααααααu u （1）

在实际建模过程中，上述多点统计或概率难于通过稀疏的井资料来获取，而需要借助于训练图像。

训练图像为能够表述实际储层结构、几何形态及其分布模式的数字化图像。对于沉积相建模而言，训练图像相当于定量的相模式，它不必忠实于实际储层内的井信息,而只反映一种先验的地质概念，如图2-1（b ）为一个反映河道（黑色）与河道间（白色）分布的训练图像。一个给定的数据事件的概率则可通过应用该数据事件对训练图像进行扫描来获取。

对于任一给定的数据样板τn 和一个训练图像T ，定义“侵蚀的训练图像”T n 为诸点的集合，使得以u 为中心的数据样板τn 中的所有n 个结点都在训练图像T 内。“侵蚀的训练图像”T n 的大小用N n 表示。而在应用任一给定的数据样板τn 对一个训练图像T 进行扫描的过程中，当训练图像中一个数据事件与数据样板的数据事件d n 相同时，称为一个重复。这样，在平稳假设的前提下，数据事件d n 在侵蚀的训练图像中的重复数c （d n ）与侵蚀的训练图像大小N n 的比值，就相当于该数据事件d n 出现的概率，即多点统计。

（2）

任何基于象元的随机模拟算法均要求获取待模拟点的条件概率分布函数（cpdf ），即对于任一未取样点，需要确定在给定n 个条件数据（记为n ,...1,s )S(u k ==ααα）情况下，属性S （u ）取K 个状态中任一个状态的概率。在多点统计模拟中，该概率可记为Prob {s （u ）=s k |d n }，其中，d n 为由n 个条件数据联合构成的数据事件。根据贝叶斯条件概率公式，该概率可表达为：

（3）

(){}()n n k N d c n s s ≈== ,1;Prob αααu (){}()(){}(){}n s S n

s S s S d s S k k k n k ,1;Prob ,1;and Prob |Prob =======ααααααu u u u