江苏省2018届高三解析几何专项训练之每日一题(1~20题)

江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（1）
1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆x 2
a
2
＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点F 1(－1，0)和右焦点F 2(1，0)，且AC ⊥BD ，椭圆的一条准线方程为x ＝4． （1）求椭圆方程；
（2）求四边形ABCD 面积的取值范围．
每日一题（1）答案
解：（1） 由题意：c ＝1，a 2
c
＝4，(2分)
则a ＝2，c ＝1，则b 2
＝a 2
－c 2
＝3，故此时椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1．(4分)
（2） 设四边形ABCD 面积为S ，
若AC 与BD 中有一条与x 轴重合或平行，S ＝12×2×b 2
a
×2a ＝2b 2＝6．(5分)
若AC 与BD 斜率均存在，不妨设AC 的斜率为k ， 设AC ：y ＝k (x ＋1)与椭圆相交于A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），3x 2＋4y 2－12＝0，
得3x 2＋4k 2(x ＋1)2－12＝0，(6分) 即(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，(7分)
x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－12
3＋4k 2
，(8分)
AC ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2×（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝12（1＋k 2）3＋4k 2
，(9分)
同理可得BD ＝12（1＋k 2）
3k 2＋4
，(11分)
S ＝1
2×AC ×BD ＝72×（1＋k 2）2（3k 2＋4）（3＋4k 2）
．(12分) 令t ＝11＋k 2
∈(0，1)，S ＝g (t )＝72×1
－t 2＋t ＋12
，(13分) g (t )在⎝⎛⎦⎤0，12上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1
2，1上为增函数，g (0)＝g （1），(14分) S ∈⎣⎡⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12，g （0）＝⎣⎡⎭
⎫28849，6．(15分) 综上，四边形ABCD 面积的取值范围为⎣⎡⎭⎫
28849，6．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（2）
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)
的右准线为直线x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ．已
知斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25
5
．
（1）求a ，b 的值；
（2）将直线l 绕点A 旋转，与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，求直线l 的斜率．
每日一题（2）答案
解：（1）由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )，即2x －y －2a ＝0，(2分)
∴右焦点F 到直线l 的距离为|2c －2a |5
＝25
5，∴ a －c ＝1．(4分)
又椭圆C 的右准线为x ＝4，即a 2c ＝4，∴ c ＝a 2
4
，
将此代入上式解得a ＝2，c ＝1，∴ b 2＝3，b ＝3．
∴ 椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1．(6分)
（2） 由（1）知B (0，3)，F (1，0)，∴ 直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，(8分)
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －1），x 24＋y 23＝1，解得⎩
⎨⎧x ＝85，y ＝－335
或⎩⎨⎧x ＝0
y ＝3(舍)，
即P ⎝⎛⎭⎫
85
，－335，(12分) ∴ 直线l 的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎫－
3352－85
＝332．(14分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（3）
3．已知椭圆C ：x 24＋y 2
2
＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线
AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2． （1）若m ＝0时，求k 1·k 2的值；
（2）若k 1·k 2＝－1时，证明直线l ：y ＝kx ＋m 过定点．
每日一题（3）答案
解：（1）当m ＝0时，直线l ：y ＝kx 代入椭圆C ：x 24＋y 2
2
＝1的方程，
得到x 2＋2k 2x 2
＝4．(2分)
解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k 1＋2k 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2，(4分) 则k 1＝－2k 1＋2k 2－2－
21＋2k 2＝2k ＋2·1＋2k 22，k 2＝2k 1＋2k 2－2
21＋2k 2＝2k －2·1＋2k 2
2，(6分)
所以k 1·k 2＝4k 2－2（1＋2k 2）4＝－1
2
．(8分)
（2）证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C ：x 24＋y 2
2
＝1的方
程，并整理得到(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2
－4＝0，(10分)
则Δ＞0且x 1＋x 2＝－4km
1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－41＋2k 2．
由k 1·k 2＝－1知，y 1－2x 1·y 2－2
x 2
＝－1，(12分)
即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋2＋x 1x 2＝0，
(kx 1＋m )(kx 2＋m )－2(kx 1＋m ＋kx 2＋m )＋x 1x 2＋2＝0，
k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2－2k (x 1＋x 2)－22m ＋x 1x 2＋2＝0，
(k 2＋1)2m 2－41＋2k 2
＋k (m －2)
⎝⎛⎭⎫－4km 1＋2k 2＋m 2－22m ＋2＝0， (k 2＋1)(2m 2－4)＋k (m －2)(－4km )＋(m 2－22m ＋2)(1＋2k 2)＝0，
所以3m 2－22m －2＝0，所以m ＝2(舍)或m ＝－2
3
，(14分)
所以直线l 过定点⎝
⎛⎭⎫0，－2
3．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（4）
4．已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)右焦点F(1，0)，离心率为
2
2，过F作两条互相垂直的弦AB，
CD，设AB，CD中点分别为M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．
每日一题（4）答案
解：（1）由题意：c ＝1，c a ＝2
2，则a ＝2，b ＝1，c ＝1，(每个1分，3分)
椭圆的方程为x 22
＋y 2
＝1．(4分)
（2） 证明：AB ，CD 斜率均存在，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，M ⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22
，k
⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－1， ⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2－2＝0，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，(5分) ⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，
x 1x 2＝2k 2－2
1＋2k 2
，
故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2
，－k 1＋2k 2．(6分) 将上式中的k 换成－1
k ，则同理可得N ⎝⎛⎭
⎫22＋k 2，k 2＋k 2．(8分)
如2k 21＋2k 2
＝22＋k 2
，得k ＝±1，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点⎝⎛⎭⎫23，0，下面证明动直线MN 过定点P ⎝⎛⎭
⎫2
3，0．(9分) (证法1) 若直线MN 斜率存在，则k MN ＝－k 1＋2k 2
－k
2＋k 22k 21＋2k 2－
22＋k 2＝－k （3k 2＋3）2k 4－2
＝32×－k
k 2－1，
直线MN 为y －k 2＋k 2＝32×－k k 2－1⎝⎛⎭⎫x －22＋k 2．(11分)
令y ＝0，得x ＝22＋k 2＋23×k 2－12＋k 2＝23×3＋k 2－12＋k 2
＝2
3．
综上，直线MN 过定点⎝⎛⎭⎫
23，0．(12分)
(证法2) 动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设x ＝2
3
与x 轴
交点为P ⎝⎛⎭⎫23，0，下证动直线MN 过定点P ⎝⎛⎭
⎫2
3，0． 当k ≠±1时，k PM ＝－k 1＋2k 22k 2
1＋2k 2－23
＝32×k
1－k 2
，(10分) 同理将上式中的k 换成－1k ，可得k PM ＝32×⎝⎛⎭⎫
－1k 1－1k
2
＝32×k
1－k 2
，(11分)
则k PM ＝k PN ，直线MN 过定点P ⎝⎛⎭⎫
23，0．(12分)
（3） 解：由第（2）问可知直线MN 过定点P ⎝⎛⎭⎫
23，0，
故S △FMN ＝S △FPM ＋S △FPN ＝12×13|k 2＋k 2|＋12×13|－k
1＋2k 2
|
＝16×|k |（3＋3k 2）（2＋k 2）（1＋2k 2）＝12×|k |（k 2＋1）
2k 4＋5k 2＋2＝12×⎝
⎛⎭⎫
|k |＋1|k |2k 2
＋5＋2k
2
，(13分) 令t ＝|k |＋1|k |∈[2，＋∞)，S △FMN ＝f (t )＝12×t 2（t 2－2）＋5＝12×t
2t 2＋1．(14分)
f ′(t )＝1
2×1－2t 2（2t 2＋1）2
＜0，则f (t )在t ∈[2，＋∞)上单调递减，(15分)
当t ＝2时f (t )取得最大值，此时S △FMN 取得最大值1
9
，此时k ＝±1．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（5）
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
2
2，直线l：y
＝1
2x与椭圆E相交于A、B两点，AB＝25．C、D是椭圆E上
异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．
每日一题（5）答案
解：（1）因为e ＝c a ＝22，所以c 2＝12a 2，即a 2－b 2＝1
2
a 2，所以a 2＝2
b 2．(2分)
故椭圆的方程为x 22b 2＋y 2
b
2＝1．
由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限．由⎩
⎨⎧y ＝12x ，x 22b 2＋y 2
b 2
＝1，解得A ⎝⎛⎭⎫233b ，33b ．
又AB ＝25，所以OA ＝5，即43b 2＋1
3
b 2＝5，解得b 2＝3．故a ＝6，b ＝3．(5分)
（2）证明：(方法1)由（1）知，椭圆E 的方程为x 26＋y 2
3
＝1，从而A (2，1)，B (－2，－1)．
① 当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，
设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2．
从而k 1·k CB ＝y 0－1x 0－2·y 0＋1x 0＋2＝y 2
0－1x 20－4＝3⎝⎛⎭⎫1－x 206－1x 20－4＝2－x 202x 20－4
＝－1
2． 所以k CB ＝－12k 1．同理k DB ＝－1
2k 2
．(8分)
于是直线AD 的方程为y －1＝k 2(x －2)，直线BC 的方程为y ＋1＝－1
2k 1
(x ＋2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1（x ＋2），
y －1＝k 2（x －2），解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1
.
从而点N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1．
用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1．(12分) 所以
k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－
－2k 1k 2－4k 1＋1
2k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－
4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1
＝4（k 1－k 2）
4（k 2－k 1）
＝－1．
即直线MN 的斜率为定值－1．(14分)
② 当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，－1)．
仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB ＝－1
2k 2
．
此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－1
2k 2
(x ＋2)，它们交点M ⎝⎛⎭⎫2，－1－2k 2． BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2(x －2)，它们交点N ⎝⎛⎭
⎫2－2
k 2，－1，从而k MN ＝－1也成立． 由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1．(16分)
(方法2)由（1）知，椭圆E 的方程为x 26＋y 2
3
＝1，从而A (2，1)，B (－2，－1)．
① 当CA ，CB ，DA ，DB 斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2． 显然k 1≠k 2．直线AC 的方程y －1＝k 1(x －2)，即y ＝k 1x ＋(1－2k 1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋（1－2k 1），x 26＋y 23＝1
得(1＋2k 21)x 2＋4k 1(1－2k 1)x ＋2(4k 21－4k 1－2)＝0． 设点C 的坐标为(x 1，y 1)，则2·x 1＝2（4k 21－4k 1－2）1＋2k 21，从而x 1＝4k 21－4k 1－22k 21＋1
． 所以C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 21－4k 1－22k 21＋1，－2k 2
1－4k 1＋12k 21＋1． 又B (－2，－1)，所以k BC ＝－2k 2
1－4k 1＋1
2k 21＋1＋1
4k 21－4k 1－2
2k 21＋1＋2
＝－1
2k 1．(8分)
所以直线BC 的方程为y ＋1＝－1
2k 1
(x ＋2)．又直线AD 的方程为y －1＝k 2(x －2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝－12k 1（x ＋2），
y －1＝k 2（x －2），解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，y ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1
.
从而点N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1． 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1，－2k 1k 2－4k 1＋12k 1k 2＋1．(12分)
所以k MN ＝－2k 1k 2－4k 2＋12k 1k 2＋1－
－2k 1k 2－4k 1＋1
2k 1k 2＋14k 1k 2－4k 1－22k 1k 2＋1－
4k 1k 2－4k 2－22k 1k 2＋1
＝4（k 1－k 2）
4（k 2－k 1）
＝－1．
即直线MN 的斜率为定值－1．(14分)
② 当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，－1)．
仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB ＝－1
2k 2
．
此时CA ：x ＝2，DB ：y ＋1＝－1
2k 2
(x ＋2)，它们交点M ⎝⎛⎭⎫2，－1－2k 2． BC ：y ＝－1，AD ：y －1＝k 2(x －2)，它们交点N ⎝⎛⎭
⎫2－2
k 2，－1，从而k MN ＝－1也成立． 由①②可知，直线MN 的斜率为定值－1．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（6）
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
的离心率为22，且过点⎝
⎛⎭⎫1，6
2，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x
轴，点M 为直线l 上的动点(点M 与点A 不重合)，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于点P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：AP ⊥OM ；
（3）试问OP →·OM →
是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
每日一题（6）答案
解：（1）∵ 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，∴ a 2＝2c 2，则a 2＝2b 2．
又椭圆C 过点⎝
⎛⎭⎫1，6
2，∴ 1a 2＋32b 2＝1．(2分)
∴ a 2＝4，b 2＝2，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1．(4分)
（2） 证明：设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为y ＝k (x －2)，设P (x 1，y 1)，
将y ＝k (x －2)代入椭圆C 的方程x 24＋y 2
2
＝1中并化简，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋8k 2－4＝0，(6分)
解得x 1＝4k 2－22k 2＋1，x 2＝2，∴ y 1＝k (x 1－2)＝－4k 2k 2＋1，从而P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 2－22k 2＋1，－4k 2k 2＋1．(8分)
令x ＝－2，得y ＝－4k , ∴ M (－2，－4k )，OM →
＝(－2，－4k )．(9分)
又AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－2
2k 2＋1
＋2，－4k 2k 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 22k 2＋1，－4k 2k 2＋1，(11分)
∴ AP →·OM →＝－16k 22k 2＋1＋16k 2
2k 2＋1
＝0，∴ AP ⊥OM ．(13分)
（3）解：OP →·OM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4k 2
－22k 2＋1，－4k 2k 2＋1·(－2，－4k )＝－8k 2＋4＋16k 22k 2＋1＝8k 2＋42k 2＋1＝4．
∴ OP →·OM →
为定值4．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（7）
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点
为A ，右焦点为F (c ，0)，P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且P A ⊥PF ． （1）若a ＝3，b ＝5，求x 0的值； （2）若x 0＝0，求椭圆的离心率；
（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线x ＝a 2
c
相切．
每日一题（7）答案
解：（1）因为a ＝3，b ＝5，所以c 2＝a 2－b 2＝4，即c ＝2．
由P A ⊥PF ，得y 0x 0＋3·y 0
x 0－2＝－1，即y 20＝－x 2
0－x 0＋6．(3分) 又x 209＋y 20
5＝1，所以4x 20＋9x 0－9＝0，解得x 0＝34
或x 0＝－3(舍去)．(5分) （2） 解：当x 0＝0时，y 20＝b 2
，
由P A ⊥PF ，得y 0a ·y 0
－c
＝－1，即b 2＝ac ，故a 2－c 2＝ac ，(8分)
所以e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－1
2
(负值已舍)．(10分)
（3）证明：依题意，椭圆右焦点到直线x ＝a 2c 的距离为a 2c －c ，且x 2
0a 2＋y 20
b
2＝1．①
由P A ⊥PF ，得y 0x 0＋a ·y 0
x 0－c
＝－1，即y 20＝－x 2
0＋(c －a )x 0＋ca ． ② 由①②得，(x 0＋a )⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 0＋a ()b 2－ac c 2＝0，解得x 0＝－a ()a 2－ac －c 2c 2或x 0＝－a (舍去)．(13分)
所以PF ＝()
x 0－c 2
＋y 20＝()
x 0－c 2
－x 20＋（c －a ）x 0＋ca
＝⎪⎪⎪⎪a －c a x 0＝a ＋c a
·a ()
a 2－ac －c 2c 2
＝a 2
c
－c ， 所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线x ＝a 2
c 相切．(16分)
(注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线x ＝a 2c 的距离为a 2
c
－c ，得1分；直接使用
焦半径公式扣1分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（8）
8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(－3，0)，
F 2(3，0)，且经过点⎝
⎛⎭⎫3，12． （1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2＝k 3k 4．求：
① k 1k 2的值； ② OB 2＋OC 2的值．
每日一题（8）答案
解：（1） (解法1)依题意，c ＝3，a 2＝b 2＋3．(2分)
由3
b 2＋3＋14b
2＝1，解得b 2＝1⎝⎛⎭⎫b 2＝－34，不合，舍去，从而a 2＝4． 故所求椭圆方程为 x 24＋y 2＝1，离心率e ＝3
2
．(5分)
(解法2)由椭圆的定义知，
2a ＝（－3－3）2＋⎝⎛⎭⎫0－122＋（3－3）2
＋⎝⎛⎭⎫0－122
＝4，即a ＝2．(2分) 又c ＝3，故b 2＝1．下略．
（2） ① 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则
D (－x 1，－y 1)，于是k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21
x 22－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－x 224－⎝⎛⎭⎫
1－x 214x 22－x 21
＝－14．(8分) ②(方法1)由①知，k 3k 4＝k 1k 2＝－1
4
，故x 1x 2＝－4y 1y 2．所以(x 1x 2)2＝(－4y 1y 2)2，
即(x 1x 2)2＝16⎝⎛⎭⎫1－x 214⎝⎛⎭⎫1－x 224＝16－4(x 21＋x 22)＋x 21x 22，所以x 21＋x 2
2＝4．(11分)
又2＝⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 224＋y 22＝x 21＋x 224
＋y 21＋y 22，故y 21＋y 2
2＝1． 所以OB 2＋OC 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝5．(14分)
(方法2)由①知，k 3k 4＝k 1k 2＝－1
4．
将直线y ＝k 3x 方程代入椭圆x 24＋y 2＝1中，得x 21＝4
1＋4k 23
．(9分) 同理，x 22＝41＋4k 24．所以x 21＋x 22＝41＋4k 23＋41＋4k 24＝41＋4k 23＋41＋4⎝⎛⎭⎫－14k 3
2＝4．(11分) 下同方法1．
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（9）
9．如图，已知椭圆M：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，其离心率为
3
2，两条准线之间的距离为
83
3．B，
C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T(t，2)(t≠0)的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F 两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．
每日一题（9）答案
解：（1） 由题意c a ＝32，2a 2c ＝83
3
，解得a ＝2，c ＝3，
∴ b ＝1，椭圆M 的方程为x 24＋y 2
＝1．(4分)
（2） (解法1)S △TBC ＝1
2
BC ·|t |＝|t |，(6分)
直线TB 的方程为y ＝1
t x ＋1，联立⎩
⎨⎧x 24＋y 2
＝1，y ＝1
t
x ＋1，
得x E ＝－8t t 2＋4，
所以E ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－8t t 2＋4，t 2
－4t 2＋4到TC ：3x －ty －t ＝0的 距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－24t t 2＋4－t ()t 2－4t 2＋4－t t 2＋9＝2||t ()t 2＋12t 2＋9()
t 2＋4．(8分)
直线TC 的方程为y ＝3t x －1，联立⎩
⎨⎧x 24＋y 2
＝1，y ＝3
t
x －1，
得x F ＝24t
t 2＋36 ，
∵ F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫24t t 2＋36，36－t 2t 2＋36，
∴ TF ＝
⎝⎛⎭⎫t －24t t 2＋362＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－36－t 2t 2＋362＝
t 2()t 2＋122＋()3t 2＋362
()t 2＋362
＝()t 2＋122()t 2＋9()t 2＋362
＝()t 2＋12t 2＋9t 2＋36，(10分)
∴ S △TEF ＝12TF ·d ＝12·()t 2＋12t 2＋9
t 2＋36·2||t ()t 2＋12t 2＋9()t 2＋4＝||t ()t 2＋122()t 2＋36()t 2＋4，
∴ k ＝S △TBC S △TEF ＝()t 2＋36()t 2＋4()t 2＋122
．(12分)
令t 2＋12＝m >12，则k ＝（m －8）（m ＋24）m 2＝1＋16m －192m 2≤43
， (14分)
当且仅当m ＝24，即t ＝±23时等号成立，∴ k 的最大值为4
3
．(16分)
(解法2)直线TB 的方程为y ＝1
t x ＋1，联立⎩
⎨⎧
x 24＋y 2
＝1，y ＝1
t
x ＋1，
得x E ＝－8t t 2＋4，(6分)
直线TC 的方程为y ＝3t x －1，联立⎩
⎨⎧x
24＋y 2＝1，y ＝3
t
x －1，
得x F ＝24t
t 2＋36． (8分)
k ＝S △TBC S △TEF ＝12TB ·TC ·sin ∠BTC 1
2
TE ·TF ·sin ∠ETF ＝TB ·TC TE ·TF ＝x T －x B x T －x E ·x T －x C
x T －x F (10分)
＝t t ＋8t t 2＋4·t
t －24t t 2＋36
＝()t 2＋4·()t 2＋36()t 2＋12·()t 2＋12．(12分)
令t 2＋12＝m >12，则k ＝（m －8）（m ＋24）m 2
＝1＋16m －192m 2≤4
3
， (14分) 当且仅当m ＝24，即t ＝±23时等号成立，∴ k 的最大值为4
3
． (16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（10）
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e ．直线l ：y ＝ex ＋a
与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公
共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM →＝λAB →
． （1）证明：λ＝1－e 2；
（2）若λ＝3
4
，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；
（3）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．
每日一题（10）答案
证明：（1） (证法1)因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的
坐标分别是⎝⎛⎭
⎫－a
e ，0，(0，a )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c ，y ＝b 2a .
这里c ＝a 2＋b 2，所以点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ．(2分) 由AM →＝λAB →，得⎝⎛⎭⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝⎛⎭⎫a e ，a ．
即⎩
⎨⎧
a e －c ＝λa e ，b
2a
＝λa ，解得λ＝1－e 2．(4分)
(证法2)因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，
所以A 、B 的坐标分别是⎝⎛⎭
⎫－a
e ，0，(0，a )． 设M 的坐标是(x 0，y 0)．由AM →＝λAB →，得⎝⎛⎭⎫x 0＋a e ，y 0＝λ⎝⎛⎭
⎫a e ，a ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝a e （λ－1），y 0＝λa .(2分) 因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20
b 2＝1，即⎣⎡⎦⎤
a e （λ－1）2
a 2＋（λa ）2
b 2
＝1，
所以（1－λ）2e 2＋λ2
1－e 2
＝1．e 4－2(1－λ)e 2＋(1－λ)2＝0，解得e 2＝1－λ，即λ＝1－e 2．(4分)
（2）解：当λ＝34时，c ＝1
2
，所以a ＝2c ．(6分)
由△MF 1F 2的周长为6，得2a ＋2c ＝6．(8分)
所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2
＝3．椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1．(10分)
（3）解：(解法1)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△MF 1F 2为等腰
三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|，即1
2
|PF 1|＝c ．(12分)
设点F 1到l 的距离为d ，由1
2|PF 1|＝d ＝|e （－c ）＋0＋a |1＋e 2＝|a －ec |1＋e 2
＝c ，(14分)
得
1－e 2
1＋e 2
＝e ．所以e 2＝13，于是λ＝1－e 2＝23． 即当λ＝2
3
时，△PF 1F 2为等腰三角形．(16分)
(解法2)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|．
设点P 的坐标是(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪
⎧y 0－0x 0＋c
＝－1
e ，
y 0＋02＝e x 0－c
2＋a ，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧x 0＝e 2－3e 2＋1c ，y 0＝2（1－e 2）a e 2＋1
.(10分)
由|PF 1|＝|F 1F 2|，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤（e 2－3）c e 2＋1＋c 2＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2（1－e 2）a e 2＋12＝4c 2， 两边同时除以4a 2，化简得（e 2－1）2e 2＋1
＝e
2．从而e 2＝13．(14分) 于是λ＝1－e 2＝23．即当λ＝2
3
时，△PF 1F 2为等腰三角形．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（11）
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为
2
2，且右焦点
F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P、C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
每日一题（11）答案
解：（1）由题意，得c a ＝22且c ＋a 2
c
＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，
所以椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1．(6分)
（2）当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，
则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，
且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝
（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝
22（1＋k 2）
1＋2k 2
．
若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．
从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2
＝－1k ⎝⎛
⎭⎫x －2k 21＋2k 2，
则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）．
因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）
1＋2k 2
，解得k ＝±1．(14分)
此时直线AB 方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（12）
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且△BF1F2是边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，C两点，记△ABF2，△BCF2
的面积分别为S1，S2．若S1＝2S2，求直线l的斜率．
每日一题（12）答案
解：（1）由题意，得a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所求椭圆的方程为
x 24＋y 2
3
＝1．(4分)
（2）设B 到直线AC 的距离为h ，由于S 1＝2S 2，所以12AF 2·h ＝2×1
2
F 2C ·h ，
即AF 2＝2F 2C ，所以AF 2→＝2F 2C →
．(6分)
(解法1)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，又F 2(1，0)，
则(1－x 1，－y 1)＝2(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3－2x 2，
y 1＝－2y 2
.(8分)
由⎩⎨⎧x 224＋y 22
3
＝1，（3－2x 2）24＋（－2y 2）23＝1，解得⎩
⎨⎧x 2＝74，y 2＝±35
8
.(12分)
所以直线l 的斜率k ＝±35874
－1＝±5
2．(14分)
(解法2)由（1）知，x 1＝3－2x 2．(8分)
设点A (x 1，y 1)到椭圆x 24＋y 2
3
＝1右准线x ＝4的距离为d ，
则AF 2d ＝12，所以AF 2＝2－12x 1，同理CF 2＝2－12
x 2．
由AF 2＝2F 2C ，得2－12x 1＝2⎝⎛⎭⎫2－12x 2，即x 2＝2＋1
2
x 1．(10分) 所以x 2＝7
4
(以下同解法1)．(12分)
(解法3)椭圆的右准线为直线x ＝4，分别过A , C 作准线的垂线，垂足分别为A ′，C ′， 过C 作CH ⊥AA ′，垂足为H ．(如图)
由于CF 2CC ′＝AF 2AA ′＝12
，(10分)
又AF 2＝2F 2C ，在Rt △CAH 中，AC ＝3F 2C ，AH ＝2F 2C ，所以CH ＝5F 2C ，
所以tan ∠CAH ＝5
2
．(12分)
根据椭圆的对称性知，所求直线的斜率为±5
2
．(14分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（13）
13．如图，已知椭圆C：x2
12＋y2
4＝1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另外一点
A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y＝x上．（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y＝x于点M，N，证明：OM·ON为定值．
每日一题（13）答案
解：（1）设点E (m ，m )，由B (0，－2)得A (2m ，2m ＋2)．
代入椭圆方程得4m 212＋（2m ＋2）24＝1，即m 2
3＋(m ＋1)2＝1，
解得m ＝－3
2
或m ＝0(舍)．(3分)
所以A (－3，－1)，故直线AB 的方程为x ＋3y ＋6＝0．(6分)
（2）证明：设P (x 0，y 0)，则x 2012＋y 204＝1，即y 2
0＝4－x 203
．
设M (x M ，y M )，由A ，P ，M 三点共线，即AP →∥AM →
，∴ (x 0＋3)(y M ＋1)＝(y 0＋1)(x M ＋3)．
又点M 在直线y ＝x 上，解得M 点的横坐标x M ＝3y 0－x 0
x 0－y 0＋2
．(9分)
设N (x N ，y N )，由B ，P ，N 三点共线，即BP →∥BN →
，∴ x 0(y N ＋2)＝(y 0＋2)x N ，
点N 在直线y ＝x 上，解得N 点的横坐标x N ＝－2x 0
x 0－y 0－2
．(12分)
∴ OM ·ON ＝2|x M －0|·2|x N －0|＝2|x M |·|x N |＝2|3y 0－x 0x 0－y 0＋2|·|－2x 0
x 0－y 0－2
|
＝2|2x 20－6x 0y 0（x 0－y 0）2－4|＝2|2x 20－6x 0y 0x 2
0－2x 0y 0－x 2
03|＝2|x 20－3x 0y 0
x 203
－x 0y 0
|＝6．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（14）
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，与x 轴平
行的直线与椭圆E 交于B 、C 两点，过B 、C 两点且分别与直线AB 、
AC 垂直的直线相交于点D ．已知椭圆E 的离心率为5
3
，右焦点到右准
线的距离为45
5
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； （3）求△BCD 面积的最大值．
解：（1）由题意得c a ＝53，a 2c －c ＝455
， 解得a ＝3，c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2，所以椭圆
E 的标准方程为x 29＋y 2
4
＝1．(4分) （2） 证明：设B (x 0，y 0)，C (－x 0，y 0)，显然直线AB ，AC ，BD ，CD 的斜率都存在，设为
k 1，k 2，k 3，k 4，则k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0－x 0＋3
，k 3＝－x 0＋3y 0，k 4＝x 0－3y 0， 所以直线BD ，CD 的方程为y ＝－x 0＋3y 0(x －x 0)＋y 0，y ＝x 0－3y 0
(x ＋x 0)＋y 0，(7分) 消去y 得－x 0＋3y 0(x －x 0)＋y 0＝x 0－3y 0
(x ＋x 0)＋y 0，化简得x ＝3， 故点D 在定直线x ＝3上运动．(10分)
（3） 解：由（2）得点D 的纵坐标为y D ＝x 0－3y 0(3＋x 0)＋y 0＝x 20－9y 0
＋y 0． 又x 209＋y 204＝1，所以x 20－9＝－9y 204，则y D ＝x 0－3y 0(3＋x 0)＋y 0＝－94y 20y 0＋y 0＝－54
y 0， 所以点D 到直线BC 的距离h 为||y D －y 0＝⎪⎪⎪⎪－54y 0－y 0＝94
||y 0．(12分) 将y ＝y 0代入x 29＋y 24＝1，得x ＝±31－y 204， 所以△BCD 面积S △BCD ＝12BC ·h ＝12×61－y 204·94
||y 0(14分) ＝2721－y 204·12||y 0≤272·1－y 204＋y 2042＝274，当且仅当1－y 204＝y 204
，即y 0＝±2时等号成立，故y 0＝±2时，△BCD 面积的最大值为274．(16分)
每日一题（15）
15．如图，A，B，C是椭圆M：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆的方程．
解：（1） 因为BC 过椭圆M 的中心，所以BC ＝2OC ＝2OB ．
又AC ⊥BC ，BC ＝2AC ，
所以△OAC 是以角C 为直角的等腰直角三角形， (3分)
则A (a ，0)，C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，AB ＝102a ，所以⎝⎛⎭⎫a 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22b
2＝1，则a 2＝3b 2， 所以c 2＝2b 2，e ＝63
．(7分) （2） △ABC 的外接圆圆心为AB 中点P ⎝⎛⎭⎫a 4，a 4，半径为104
a ， 则△ABC 的外接圆为⎝⎛⎭⎫x －a 42＋⎝⎛⎭⎫y －a 42＝58
a 2．(10分) 令x ＝0，y ＝5a 4或y ＝－a 4，所以5a 4－⎝⎛⎭
⎫－a 4＝9，得a ＝6， ⎝ ⎛⎭
⎪⎫也可以由垂径定理得⎝⎛⎭⎫104a 2－⎝⎛⎭⎫a 42＝92得a ＝6 所以所求的椭圆的方程为x 236＋y 2
12
＝1．(15分)
每日一题（16）
16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD．
（1）若AC＝4，求直线CD的方程；
（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)．
解：（1）因为A (－3，4)，所以OA ＝（－3）2＋42＝5．(1分)
因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭
⎫－35，45．(3分) 由BD ＝4，得D (5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝⎛⎭
⎫－35＝－17， (5分) 所以直线CD 的方程为y ＝－17
(x －5)，即x ＋7y －5＝0．(6分) （2） 证明：设C (－3m ，4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m ．(7分)
则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以D 点的坐标为(5m ＋4，0)．(8分)
又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，
(10分) 解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3,
所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0，(12分) 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0．
令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2，－1)．(14分)
每日一题（17）
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为
2
2的椭圆C：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左顶点
为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率
为
2
2时，PQ＝23．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．
解：（1）设P ⎝
⎛⎭⎫x 0，22x 0， ∵ 直线PQ 斜率为22时，PQ ＝23，∴ x 20＋⎝⎛⎭
⎫22x 02＝3，∴ x 20＝2．(3分) ∴ 2a 2＋1b
2＝1． ∵ e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，∴ a 2＝4，b 2＝2．∴ 椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22
＝1．(6分) （2） 以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．
设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 202
＝1，即x 20＋2y 20＝4． ∵ A (－2，0)，∴ 直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋2
(x ＋2)，∴ M ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0＋2． 直线QA 的方程为y ＝y 0x 0－2
(x ＋2)，∴ N ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0－2．(9分) 以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝⎛⎭⎫y －2y 0x 0＋2⎝⎛⎭⎫y －2y 0x 0
－2＝0， 即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 20x 20－4
＝0．(12分) ∵ x 20－4＝－2y 20，∴ x 2＋y 2＋2x 0y 0
y －2＝0． 令y ＝0，x 2＋y 2－2＝0，解得x ＝±2，∴ 以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．(16分)
每日一题（18）
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12
，直线l ：x －my －1＝0(m ∈R )过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点D ⎝⎛⎭⎫52，0，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线l 1，设直线l 1与直线BD 交于
点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l 2，使得点P 恒在直线l 2上？若存在，请求出直线l 2的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，
解得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23
＝1．(4分) （2）令m ＝0，则A ⎝⎛⎭⎫1，32，B ⎝⎛⎭⎫1，－32或者A ⎝⎛⎭⎫1，－32，B ⎝⎛⎭
⎫1，32． 当A ⎝⎛⎭⎫1，32，B ⎝⎛⎭⎫1，－32时，P ⎝⎛⎭⎫4，32；当A ⎝⎛⎭⎫1，－32，B ⎝⎛⎭⎫1，32时，P ⎝⎛⎭⎫4，－32， 所以，若满足题意的直线存在，则定直线l 2只能是x ＝4．(6分) 下面证明点P 恒在直线x ＝4上．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于P A 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为y 1，从而只要证明P (4，y 1)在直线BD 上．(8分)
由⎩⎪⎨⎪⎧x －my －1＝0，x 24＋y 23＝1，
得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， ∵ Δ＝144(1＋m 2)>0，∴ y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2
．①(10分) ∵ k DB －k DP ＝y 2－0x 2－52－y 1－04－52＝y 2my 2＋1－52－y 132＝32y 2－y 1⎝⎛⎭⎫my 2－3232⎝⎛⎭
⎫my 2－32＝y 1＋y 2－23my 1y 2my 2－32，(13分) ① 式代入上式，得k DB －k DP ＝0，∴ k DB ＝k DP ．(15分) ∴ 点P (4，y 1)恒在直线BD 上，从而直线l 1、直线BD 与直线l 2：x ＝4三线过同一点P ， ∴ 存在一条定直线l 2：x ＝4使得点P 恒在直线l 2上．(16分)
每日一题（19）
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63
，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点．当直线l 垂直于x 轴
且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为263
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若点E 的坐标为⎝⎛⎭
⎫32，0，点A 在第一象限且横坐标为3，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求△P AB 的面积；
（3）是否存在点E ，使得1EA 2＋1EB
2为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
每日一题（19）答案
解：（1）由c a ＝63，设a ＝3k (k ＞0)，则c ＝6k ，b 2＝3k 2，所以椭圆C 的方程为x 29k 2＋y 23k 2＝1． 因为直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即x A ＝x B ＝6k ，代入椭圆方程，
解得y ＝±k ，于是2k ＝263，即k ＝63，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 2
2
＝1．(5分) （2）将x ＝3代入x 26＋y 22
＝1，解得y ＝±1． 因为点A 在第一象限，从而A (3，1)，由点E 的坐标为⎝⎛⎭
⎫32，0， 所以k AB ＝23，直线P A 的方程为y ＝23⎝
⎛⎭⎫x －32， 联立直线P A 与椭圆C 的方程，解得B ⎝⎛⎭⎫－35
，－75． 又P A 过原点O ，于是P ()－3，－1，P A ＝4，所以直线P A 的方程为x －3y ＝0，
所以点B 到直线P A 的距离h ＝⎪⎪⎪⎪－35＋7352＝335，S △P AB ＝12·4·335＝635
．(10分) （3） 假设存在点E ，使得1EA 2＋1EB
2为定值，设E (x 0，0)， 当直线AB 与x 轴重合时，有1EA 2＋1EB 2＝1（x 0＋6）2＋1（6－x 0）2＝12＋2x 20（6－x 20）2
． 当直线AB 与x 轴垂直时，1EA 2＋1EB 2＝22⎝⎛⎭
⎫1－x 206＝66－x 20， 由12＋2x 20（6－x 20）2＝66－x 20，解得x 0＝±3，66－x 20
＝2， 所以若存在点E ，此时E (±3，0)，1EA 2＋1EB
2为定值2．(12分) 根据对称性，只需考虑直线AB 过点E (3，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，与椭圆C 联立方程组，
化简得(m 2＋3)y 2＋23my －3＝0，所以y 1＋y 2＝－23m m 2＋3，y 1y 2＝－3m 2＋3
． 又1EA 2＝1()x 1－32＋y 21
＝1m 2y 21＋y 21＝1（m 2＋1）y 21， 所以1EA 2＋1EB 2＝1（m 2＋1）y 21＋1（m 2＋1）y 22＝（y 1＋y 2）2－2y 1y 2（m 2＋1）y 21y 22
， 将上述关系代入，化简可得1EA 2＋1EB
2＝2． 综上所述，存在点E (±3，0)，使得1EA 2＋1EB
2为定值2．(16分)
江苏省2018届高三解析几何专项训练
每日一题（20）
20．在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m ．
（1）已知点⎝⎛⎭
⎫62，1在椭圆C 上，求实数m 的值； （2）已知定点A (－2，0)．
①若椭圆C 上存在点T ，使得TA TF 1
＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；
②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM 、BM 分别与椭圆C 交于另一点P 、Q ，若AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，求证：λ＋μ为定值．
每日一题（20）答案
解：（1）设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2
c ＝m ＋1，（m ＋1）－c ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1.
所以椭圆的方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1． 因为椭圆C 过点⎝⎛⎭
⎫62，1，所以32（m ＋1）＋1m ＝1，解得m ＝2或m ＝－12 (舍去)． 所以m ＝2．(4分)
（2） ① 解：设点T (x ，y )．
由TA TF 1
＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2．(6分) 由⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋y 2＝2，
x 2m ＋1＋y 2
m
＝1，得y 2＝m 2－m ．因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2． 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈⎣⎡⎦⎤33
，22．(10分) ②证明：(方法1)设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
则AM →＝(x 0＋2，y 0)，AP →＝(x 1＋2，y 1)．由AM →＝λAP →， 得 ⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝λ（x 1＋2），y 0＝λy 1. 从而⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝λx 1＋2（λ－1），y 0＝λy 1.(12分) 因为x 202＋y 20＝1，所以[λx 1＋2（λ－1）]22
＋(λy 1)2＝1． 即λ2⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋2λ(λ－1)x 1＋2(λ－1)2－1＝0．
因为 x 212
＋y 21＝1，代入得2λ(λ－1)x 1＋3λ2－4λ＋1＝0． 由题意知，λ≠1，故x 1＝－3λ－12λ，所以x 0＝λ－32．同理可得x 0＝－μ＋32
．(14分) 因此λ－32＝－μ＋32
，所以λ＋μ＝6．(16分) (方法2)设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2
(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得 ⎣⎡⎦
⎤12（x 0＋2）2＋y 20x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2 ＝0 (*)． 因为x 202
＋y 20＝1，所以(*)可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0． 因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3
．(14分) 因为AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，
所以λ＋μ＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3
－2 ＝（x 0＋2）（2x 0＋3）x 0＋2＋（x 0－2）（2x 0－3）－x 0＋2＝6．即λ＋μ为定值6．(16分)。