测度论基础知识
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n
∞
n
∞
k =1 n=k
2、对集合序列An，n ≥ 1} 称 U I An为 An }的 { { ，
k =1 n=k
∞
∞
, 下极限集 记为lim An或lim inf An ,即
n n
lim An = lim inf An = U I An
n n
∞
∞
k =1 n=k
limAn = lim sup An= I U An
. 称µ为计数测度
1 命题 设Ω = R，ℜ = {(a，b] : a,b ∈ R},而F是R 数 a 上非降右连续的实值函 .对任意的 ,b ∈ R, 令 F(b) - F(a), a < b µ((a, b]) = a≥b 0,
1 . 定理 设µ是代数 上的测度 ℜ
(1)单调性：若 ⊂ B，则 ( A) ≤ µ(B). 单调性： A µ
AU (1)并： B, U An , U Aα 其中I为指标集
n≥1 α∈I
AU B是由至少属于 ，B之中一个集合的元素 A 全体构成的集合， A,B 全体构成的集合，称为 的并集.
AU B = {ω | ω ∈ A或ω ∈ B}
α∈I
I是一个非空集合 是一个非空集合 , U Aα是由至少属于某一个 α (α ∈ I )的元素全体 A
推论1(i)若ℜ为π类，则 (ℜ) = σ (ℜ). λ (ii)若ℜ为π类, F为λ类,ℜ ⊂ F ,则σ (ℜ) ⊂ F.
单调类定理 , 定理2 设ℜ为一个类 (1)若ℜ为代数，则 (ℜ) = σ (ℜ) 为代数， m (2)若ℜ为π类，则 (ℜ) = σ (ℜ) λ
推论2 设ℜ, F为两个集类 , (1)若ℜ为代数，且 为单调类，则 (ℜ) ⊂ F 为代数， F为单调类， σ
(2)从下连续性：若An } ⊂ ℜ，A∈ℜ,且An ↑ A， 从下连续性： { 则µ( An ) ↑ µ( A). (3)从上连续性：若An } ⊂ ℜ，A∈ℜ,且An ↓ A， 从上连续性： { 则µ( An ) ↓ µ( A).
(4)次可数可加性：若An } ⊂ ℜ， An ∈ℜ,则 次可数可加性： { U
A 存在互不相交的 i ∈ℜ,1 ≤ i ≤ n, 使得B\A = ∑ Ai
n
3、称ℜ为代数 或域)，若它对有限交及取 (
i =1
即 A, B ∈ℜ ⇒ A I B ∈ℜ A∈ℜ ⇒ A ∈ℜ
c
余集运算封闭． 余集运算封闭．
4、称ℜ为σ代数，若 代数， 它对可列并及取余集 运算封闭， ∅ 运算封闭，且有 ∈ℜ．
P143 4、、 P153 10、 P164 2、、 、 6 10 14 6 13 18 P182 10、 、 、 、 14 24 38 41 P197 2、、、 、 4 7 10 13
1、设随机变量 的密度函数为 X 1 −| x| p( x) = e , − ∞ < x < +∞ 2 是否独立？ (2 是否不相关？ (1)X与| X | 是否不相关？ )X与| X | 是否独立？
(2)若ℜ为π类且F为λ类，则 (ℜ) ⊂ F σ
练习
1、证明： = {(a, b), (a, b],[a, b),[a, b] : ℜ 证明： a, b ∈ R, a ≤ b}是R上的半环 .
2、设Ω是一可列集令ℜ = {{ x} : x ∈Ω } 求σ (ℜ) . ， 3、ℜ = {(a,b) : a,b ∈ R}, ℜ′ = {(a,b] : a,b ∈ R}
, , 设{ An，n ≥ 1}为集合序列若{ An }两两不相交即 n ≠ m ⇒ An I Am = ∅
{ 则常用 An表示 An .若有 An = ，称 An , n ≥ 1} ∑ U ∑
n n n
. 为 的一个划分
U An = A1 + A A2 + A A2 A3 +L= ∑( An \ U Aj )
记为inf Aα ,即
α∈I
inf A = I A = {ω | ω ∈ A , 对一切 ∈ I } α α α α
α∈I α∈I
A (3)余集： 余集： c A 是由 中不属于 的元素全体构成的集合 A ，
称为A的余集. (4)差： \ B = AI Bc A
c
A 对称差： ∆B = ( A\ B) U (B \ A) 对称差：
AI B是由同时属于 及B的元素全体构成的集合 A ， 的交集； AB 称为A,B的交集；也记为 . A I B = {ω | ω ∈ A且ω ∈ B}
α∈I
I是一个非空集合 是一个非空集合 , A I Aα是由同时属于每一个 α (α ∈ I )的元素全体
构成的集合， { α 的交集或下确界， 构成的集合，称为A ，α ∈ I }的交集或下确界，
n n
∞
∞
k =1 n=k
= {ω | ω属于无穷多个 n } A
lim An = lim inf An= U I An
n n
∞
∞
k =1 n=k
= {ω | ω至多不属于有限多个 n } A
{ 当lim An = limAn ,称 An }有极限,记lim An = limAn
n n n n
的划分
n
µ(U An ) ≤ ∑µ( An ).
证明： σ 证明： (ℜ) = σ (ℜ′)(都是Borel σ代数)
3、测度
1 上的集合类， 定义 设ℜ是空间 上的集合类， 为定义于 ℜ µ R . 取值于 + = [0， ∞)的函数如果µ(∅) = 0, 且µ有 + 可列可加性或 可加性，即 σ可加性， An ∈ℜ, n ≥ 1, An I Am = ∅, n ≠ m ⇒
构成的集合， { α 的并集或上确界， 构成的集合，称为A ，α ∈ I }的并集或上确界，
记为sup A ,即 α
sup A = U A = {ω | ω ∈ A , 对某一 ∈ I } α α α α
α∈I α∈I
α∈I
AI (2)交： B, I An , I Aα
n≥1 α∈I
其中I 其中 为指标集
第一章 重点
1、事件间的关系与运算 、 2、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式 、加法公式、乘法公式、全概率公式、
P29 24、 28 P48 9、 、 、 10 14 18
P38 15、 17 P55 4、、 8 16
第二章 重点
1、分布函数定义及性质，求分布函数 、分布函数定义及性质， 2、离散或连续 概率分布列或概率密度的性质 、离散或连续r.v.概率分布列或概率密度的性质 3、计算 的期望或方差、计算随机变量函数的分布或 、计算r.v.的期望或方差 计算随机变量函数的分布或 的期望或方差、 期望 4、计算分布的k阶矩 p分位数 4、计算分布的k阶矩、p分位数 阶矩、
µ(∑ An ) = ∑µ( An )
( ( ) 则称µ为ℜ上的 或 Ω , ℜ)上的测度. 若ℜ是 上的σ代数(域) ( . 称三元组 Ω , ℜ, µ)为测度空间
n=1 n=1
∞
∞
1 若µ(Ω ) < ∞, 则称µ为有限测度， 、 为有限测度， ( . 并称 Ω , ℜ, µ )为有限测度空间 为概率测度， 2、若µ(Ω ) = 1, 则称µ为概率测度， . ( 并称 Ω , ℜ, µ )为概率空间
3、两种收敛性的定义及 其相关的简单证明
4、独立同分布下的中心 极限定理
P208 例4.1.5 P209 2、(1)、 4 13 P217 2、7、 4、 13 P225 10、 、 、 14 19 20 P237 1、、 9 15
测度论基础知识
1、集合
集合： 能识别的一些具体对象 集合：按照某种规定而
2、设二维随机变量X,Y )的密度函数为 ( 1 p( x,y) = [ϕ1 ( x,y) + ϕ2 ( x,y)] 2 , 其中 1( x,y)和ϕ2 ( x,y)都是二维正态密度函数且它们 ϕ 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和− .它们的 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学期望都 0， 是
第三章
1、多维随机变量联合分 布函数及其性质 2、联合分布与边际分布 间的关系，会判断独立 性 间的关系，
3、熟悉常用的多维分布 (特别是二元正态分布的 ) 一些性质 4、会求多维随机变量函 数的分布
5、掌握多维随机变量特 征数的定义和基本性质 (特别是协方差和相关系 独立与不相关的区别 数 ) 6、会求条件分布和条件 期望
A的示性函数
1, ω ∈ A I A(ω) = 0, ω ∉ A
集合间的运算规律 1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 、交换律： ∪ ∪
2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， 、结合律： ∪ ∪ ＝ ∪ ∪ (AB)C＝A(BC) ＝ 3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)， 、分配律： ∪ ＝ ∪ 4、De Morgan公式： 、 公式： 公式
( AU B) = A I B , ( AI B) = A U B
c c c c c c
(A ) = A
c c
对于集合序列
1 对集合序列An，n ≥ 1} 称 I U An为 An }的 、 { { ，
k =1 n=k
∞
∞
上极限集 记为 An或lim sup An ,即 , lim
n
limAn = lim sup An = I U An n
P74 1、 、 、 13 14 15 P88 3、、 49 P123 2、14、 5、 17
P82 10、 、 12 14 P115 3、 、 、 、 10 17 22 32 P130 6、 9 7、
电源电压在不超过200 200伏 200-240伏和超过 例电源电压在不超过200伏，200-240伏和超过 240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为0.1 240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为0.1 伏三种情况下 0.001，0.2.设电源电压服从正态分布 设电源电压服从正态分布， ，0.001，0.2.设电源电压服从正态分布， (1) 元件损坏的概率 ; (2) 元件损坏时，电压在200-240伏间的概率 元件损坏时，电压在200-240伏间的概率 200 伏间
表示. 表示 . 通常用A,B,C,…表示 或事物的总体 通常用
A 元素ω ∈ A或ω ∉ A表示ω属于A或不属于 . N表示自然数全体构成的 集合
常用 集合
Q表示有理数全体构成的 集合
R表示实数全体构成的集 合 表示 "不含任何元素的集合 " ∅表示 不含任何元素的集合 ) 以下都在某一给定的集 (称为空间中讨论. 合
1. 方差都是 (1)求随机变量 和Y的密度函数 X ( x)和pY ( y), 及X和Y X p
. 的相关系数
(2)问X和Y是否独立？ 是否独立？
第四章 1、求特征函数；已知特 求特征函数； . 征函数求密度函数
特征函数的基本性质 r 2、会判断 .v .序列是否服从大数定律 (马尔可夫与
) 辛钦大数定律
3、若Ω = U An , 且对每个 , µ( An ) < ∞ n
n=1 ∞
. 则称µ是σ有限的
µ的定义域 ，若ℜ0 ⊂ ℜ,则µ在ℜ0仍然是测度 . ℜ
1 例 设ℜ为 中的所有子集组成的集 ，定义 上 合 ℜ µ 的函数 ： 中元素的个数， 为有限集时， A中元素的个数，A为有限集时， µ( A) = A为无限集时 . + ∞，
5、称ℜ为单调类，若 ， 为单调类， 它对单调序列极限封闭
即 An ∈ℜ，n ≥ 1, An ↑ A或An ↓ A ⇒ A∈ℜ．
6、称ℜ为λ类，若 它满足下列条件： 它满足下列条件： c (i) ∈ℜ (ii) A∈ℜ,则A ∈ℜ (iii) An ∈ℜ, n ≥ 1,{ An , n ≥ 1}两两互不相交 ,
则 An ∈ℜ ∑
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
λ(ℜ),σ (ℜ), m(ℜ)分别表示包含 的最小 类, λ ℜ . 最小σ代数和最小单调类 则 m(ℜ) ⊂ λ(ℜ) ⊂ σ (ℜ)
π − λ类定理 为一个类， λ 1 定理 设ℜ为一个类，则 (ℜ) = σ (ℜ)的 A . 充要条件是 , B ∈ℜ时AB∈λ(ℜ)成立
n c 1 c 1 c n j ≤n
合称为 上 2、集合类以 的某些子集为元素的集 . 的集类 定义 设ℜ为非空类 １、称 为π类，若它对有限交封闭 ℜ ． 即 A, B ∈ℜ ⇒ A I B ∈ℜ 2、称ℜ为半环，若 ∈ℜ，且有 为半环， ∅ A, B ∈ℜ ⇒ AI B ∈ℜ A, B ∈ℜ, A ⊂ B ⇒
∞
n
∞
k =1 n=k
2、对集合序列An，n ≥ 1} 称 U I An为 An }的 { { ，
k =1 n=k
∞
∞
, 下极限集 记为lim An或lim inf An ,即
n n
lim An = lim inf An = U I An
n n
∞
∞
k =1 n=k
limAn = lim sup An= I U An
. 称µ为计数测度
1 命题 设Ω = R，ℜ = {(a，b] : a,b ∈ R},而F是R 数 a 上非降右连续的实值函 .对任意的 ,b ∈ R, 令 F(b) - F(a), a < b µ((a, b]) = a≥b 0,
1 . 定理 设µ是代数 上的测度 ℜ
(1)单调性：若 ⊂ B，则 ( A) ≤ µ(B). 单调性： A µ
AU (1)并： B, U An , U Aα 其中I为指标集
n≥1 α∈I
AU B是由至少属于 ，B之中一个集合的元素 A 全体构成的集合， A,B 全体构成的集合，称为 的并集.
AU B = {ω | ω ∈ A或ω ∈ B}
α∈I
I是一个非空集合 是一个非空集合 , U Aα是由至少属于某一个 α (α ∈ I )的元素全体 A
推论1(i)若ℜ为π类，则 (ℜ) = σ (ℜ). λ (ii)若ℜ为π类, F为λ类,ℜ ⊂ F ,则σ (ℜ) ⊂ F.
单调类定理 , 定理2 设ℜ为一个类 (1)若ℜ为代数，则 (ℜ) = σ (ℜ) 为代数， m (2)若ℜ为π类，则 (ℜ) = σ (ℜ) λ
推论2 设ℜ, F为两个集类 , (1)若ℜ为代数，且 为单调类，则 (ℜ) ⊂ F 为代数， F为单调类， σ
(2)从下连续性：若An } ⊂ ℜ，A∈ℜ,且An ↑ A， 从下连续性： { 则µ( An ) ↑ µ( A). (3)从上连续性：若An } ⊂ ℜ，A∈ℜ,且An ↓ A， 从上连续性： { 则µ( An ) ↓ µ( A).
(4)次可数可加性：若An } ⊂ ℜ， An ∈ℜ,则 次可数可加性： { U
A 存在互不相交的 i ∈ℜ,1 ≤ i ≤ n, 使得B\A = ∑ Ai
n
3、称ℜ为代数 或域)，若它对有限交及取 (
i =1
即 A, B ∈ℜ ⇒ A I B ∈ℜ A∈ℜ ⇒ A ∈ℜ
c
余集运算封闭． 余集运算封闭．
4、称ℜ为σ代数，若 代数， 它对可列并及取余集 运算封闭， ∅ 运算封闭，且有 ∈ℜ．
P143 4、、 P153 10、 P164 2、、 、 6 10 14 6 13 18 P182 10、 、 、 、 14 24 38 41 P197 2、、、 、 4 7 10 13
1、设随机变量 的密度函数为 X 1 −| x| p( x) = e , − ∞ < x < +∞ 2 是否独立？ (2 是否不相关？ (1)X与| X | 是否不相关？ )X与| X | 是否独立？
(2)若ℜ为π类且F为λ类，则 (ℜ) ⊂ F σ
练习
1、证明： = {(a, b), (a, b],[a, b),[a, b] : ℜ 证明： a, b ∈ R, a ≤ b}是R上的半环 .
2、设Ω是一可列集令ℜ = {{ x} : x ∈Ω } 求σ (ℜ) . ， 3、ℜ = {(a,b) : a,b ∈ R}, ℜ′ = {(a,b] : a,b ∈ R}
, , 设{ An，n ≥ 1}为集合序列若{ An }两两不相交即 n ≠ m ⇒ An I Am = ∅
{ 则常用 An表示 An .若有 An = ，称 An , n ≥ 1} ∑ U ∑
n n n
. 为 的一个划分
U An = A1 + A A2 + A A2 A3 +L= ∑( An \ U Aj )
记为inf Aα ,即
α∈I
inf A = I A = {ω | ω ∈ A , 对一切 ∈ I } α α α α
α∈I α∈I
A (3)余集： 余集： c A 是由 中不属于 的元素全体构成的集合 A ，
称为A的余集. (4)差： \ B = AI Bc A
c
A 对称差： ∆B = ( A\ B) U (B \ A) 对称差：
AI B是由同时属于 及B的元素全体构成的集合 A ， 的交集； AB 称为A,B的交集；也记为 . A I B = {ω | ω ∈ A且ω ∈ B}
α∈I
I是一个非空集合 是一个非空集合 , A I Aα是由同时属于每一个 α (α ∈ I )的元素全体
构成的集合， { α 的交集或下确界， 构成的集合，称为A ，α ∈ I }的交集或下确界，
n n
∞
∞
k =1 n=k
= {ω | ω属于无穷多个 n } A
lim An = lim inf An= U I An
n n
∞
∞
k =1 n=k
= {ω | ω至多不属于有限多个 n } A
{ 当lim An = limAn ,称 An }有极限,记lim An = limAn
n n n n
的划分
n
µ(U An ) ≤ ∑µ( An ).
证明： σ 证明： (ℜ) = σ (ℜ′)(都是Borel σ代数)
3、测度
1 上的集合类， 定义 设ℜ是空间 上的集合类， 为定义于 ℜ µ R . 取值于 + = [0， ∞)的函数如果µ(∅) = 0, 且µ有 + 可列可加性或 可加性，即 σ可加性， An ∈ℜ, n ≥ 1, An I Am = ∅, n ≠ m ⇒
构成的集合， { α 的并集或上确界， 构成的集合，称为A ，α ∈ I }的并集或上确界，
记为sup A ,即 α
sup A = U A = {ω | ω ∈ A , 对某一 ∈ I } α α α α
α∈I α∈I
α∈I
AI (2)交： B, I An , I Aα
n≥1 α∈I
其中I 其中 为指标集
第一章 重点
1、事件间的关系与运算 、 2、加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式 、加法公式、乘法公式、全概率公式、
P29 24、 28 P48 9、 、 、 10 14 18
P38 15、 17 P55 4、、 8 16
第二章 重点
1、分布函数定义及性质，求分布函数 、分布函数定义及性质， 2、离散或连续 概率分布列或概率密度的性质 、离散或连续r.v.概率分布列或概率密度的性质 3、计算 的期望或方差、计算随机变量函数的分布或 、计算r.v.的期望或方差 计算随机变量函数的分布或 的期望或方差、 期望 4、计算分布的k阶矩 p分位数 4、计算分布的k阶矩、p分位数 阶矩、
µ(∑ An ) = ∑µ( An )
( ( ) 则称µ为ℜ上的 或 Ω , ℜ)上的测度. 若ℜ是 上的σ代数(域) ( . 称三元组 Ω , ℜ, µ)为测度空间
n=1 n=1
∞
∞
1 若µ(Ω ) < ∞, 则称µ为有限测度， 、 为有限测度， ( . 并称 Ω , ℜ, µ )为有限测度空间 为概率测度， 2、若µ(Ω ) = 1, 则称µ为概率测度， . ( 并称 Ω , ℜ, µ )为概率空间
3、两种收敛性的定义及 其相关的简单证明
4、独立同分布下的中心 极限定理
P208 例4.1.5 P209 2、(1)、 4 13 P217 2、7、 4、 13 P225 10、 、 、 14 19 20 P237 1、、 9 15
测度论基础知识
1、集合
集合： 能识别的一些具体对象 集合：按照某种规定而
2、设二维随机变量X,Y )的密度函数为 ( 1 p( x,y) = [ϕ1 ( x,y) + ϕ2 ( x,y)] 2 , 其中 1( x,y)和ϕ2 ( x,y)都是二维正态密度函数且它们 ϕ 1 1 对应的二维随机变量的 相关系数为 和− .它们的 3 3 边际密度函数所对应的 随机变量的数学期望都 0， 是
第三章
1、多维随机变量联合分 布函数及其性质 2、联合分布与边际分布 间的关系，会判断独立 性 间的关系，
3、熟悉常用的多维分布 (特别是二元正态分布的 ) 一些性质 4、会求多维随机变量函 数的分布
5、掌握多维随机变量特 征数的定义和基本性质 (特别是协方差和相关系 独立与不相关的区别 数 ) 6、会求条件分布和条件 期望
A的示性函数
1, ω ∈ A I A(ω) = 0, ω ∉ A
集合间的运算规律 1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 、交换律： ∪ ∪
2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， 、结合律： ∪ ∪ ＝ ∪ ∪ (AB)C＝A(BC) ＝ 3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)， 、分配律： ∪ ＝ ∪ 4、De Morgan公式： 、 公式： 公式
( AU B) = A I B , ( AI B) = A U B
c c c c c c
(A ) = A
c c
对于集合序列
1 对集合序列An，n ≥ 1} 称 I U An为 An }的 、 { { ，
k =1 n=k
∞
∞
上极限集 记为 An或lim sup An ,即 , lim
n
limAn = lim sup An = I U An n
P74 1、 、 、 13 14 15 P88 3、、 49 P123 2、14、 5、 17
P82 10、 、 12 14 P115 3、 、 、 、 10 17 22 32 P130 6、 9 7、
电源电压在不超过200 200伏 200-240伏和超过 例电源电压在不超过200伏，200-240伏和超过 240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为0.1 240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为0.1 伏三种情况下 0.001，0.2.设电源电压服从正态分布 设电源电压服从正态分布， ，0.001，0.2.设电源电压服从正态分布， (1) 元件损坏的概率 ; (2) 元件损坏时，电压在200-240伏间的概率 元件损坏时，电压在200-240伏间的概率 200 伏间
表示. 表示 . 通常用A,B,C,…表示 或事物的总体 通常用
A 元素ω ∈ A或ω ∉ A表示ω属于A或不属于 . N表示自然数全体构成的 集合
常用 集合
Q表示有理数全体构成的 集合
R表示实数全体构成的集 合 表示 "不含任何元素的集合 " ∅表示 不含任何元素的集合 ) 以下都在某一给定的集 (称为空间中讨论. 合
1. 方差都是 (1)求随机变量 和Y的密度函数 X ( x)和pY ( y), 及X和Y X p
. 的相关系数
(2)问X和Y是否独立？ 是否独立？
第四章 1、求特征函数；已知特 求特征函数； . 征函数求密度函数
特征函数的基本性质 r 2、会判断 .v .序列是否服从大数定律 (马尔可夫与
) 辛钦大数定律
3、若Ω = U An , 且对每个 , µ( An ) < ∞ n
n=1 ∞
. 则称µ是σ有限的
µ的定义域 ，若ℜ0 ⊂ ℜ,则µ在ℜ0仍然是测度 . ℜ
1 例 设ℜ为 中的所有子集组成的集 ，定义 上 合 ℜ µ 的函数 ： 中元素的个数， 为有限集时， A中元素的个数，A为有限集时， µ( A) = A为无限集时 . + ∞，
5、称ℜ为单调类，若 ， 为单调类， 它对单调序列极限封闭
即 An ∈ℜ，n ≥ 1, An ↑ A或An ↓ A ⇒ A∈ℜ．
6、称ℜ为λ类，若 它满足下列条件： 它满足下列条件： c (i) ∈ℜ (ii) A∈ℜ,则A ∈ℜ (iii) An ∈ℜ, n ≥ 1,{ An , n ≥ 1}两两互不相交 ,
则 An ∈ℜ ∑
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
λ(ℜ),σ (ℜ), m(ℜ)分别表示包含 的最小 类, λ ℜ . 最小σ代数和最小单调类 则 m(ℜ) ⊂ λ(ℜ) ⊂ σ (ℜ)
π − λ类定理 为一个类， λ 1 定理 设ℜ为一个类，则 (ℜ) = σ (ℜ)的 A . 充要条件是 , B ∈ℜ时AB∈λ(ℜ)成立
n c 1 c 1 c n j ≤n
合称为 上 2、集合类以 的某些子集为元素的集 . 的集类 定义 设ℜ为非空类 １、称 为π类，若它对有限交封闭 ℜ ． 即 A, B ∈ℜ ⇒ A I B ∈ℜ 2、称ℜ为半环，若 ∈ℜ，且有 为半环， ∅ A, B ∈ℜ ⇒ AI B ∈ℜ A, B ∈ℜ, A ⊂ B ⇒