第5章 光的衍射2

单缝衍射
I α I β
多缝干涉
光栅中，透光缝宽a，不透光缝宽b。 相邻两缝之间的距离d 称为光栅常量,
d =a+b，d约为106 m。
光栅衍射条纹是单缝衍射 和缝间干涉的共同结果。
I
光栅衍射
2、光栅的色散本领 光栅主极大的衍射角θ与波长λ有关。即“色散”现象。 m2 m 2
m 1
m 1
多狭缝干涉受到单狭缝衍射的调制
多缝干涉光强曲线
单缝衍射光强曲线 I
多缝衍射光强曲线
缝的数目N增加，衍射图样最显著的改变是亮条纹变细。
多缝衍射图样：
1、相邻两个主极大之间的光程差为 ，位相差为2， 2 sin 主极大的强度与N有关。 I M N 2 I 0 主条纹宽度
d sin ， 2， 3 2 3 a sin ， ， 4 4 4
sin I 2 ( )2 4I 0 2
sin I 4 ( )1 4I 0 4

2
0.81




~ sin E0
sin N sin

2 e
i N 1

2


2
5.8.1 强度分布公式

多缝衍射图样的强度分布用夫琅禾费衍射公式计算
e ~ E x, y e i z A' C e f
ikz
ik 2 2 x y 2z




~ E x1 , y1 e
1 N
a
5.10在多缝的夫琅和费衍射实验中，所用光波的波长 632.8nm．透镜焦距50cm。观察到两相邻亮条纹之间的距离 1.5mm，并且第4级亮纹缺级。试求双缝的缝距和缝宽？第123 级亮纹的相对强度。
d sin m
1、微分得相邻条纹的角间距：
m cos d
x y x1 y1 ) f f

ik xx1 yy1 z
dx1 dy1
x2 y2 ik ( f ) 2f
e

ik (
dx1 dy1
只考虑x周的复振幅分布，屏上任意一点P的复振幅为
~ E ( P) C ' e ikxx1 / f dx1
a a d ( N 1) d a ikxx1 / f 2 2 ikxx1 / f 2 ikxx1 / f C ' a e dx1 a e dx1 dx1 ae d ( N 1) d 2 2 2
m 1
条纹间距：
m d cos cos 1 d
e f f d
e 缝距：d 0.21mm f
d 第4级亮纹缺级： 缝宽：a 4 0.05mm 2 2、 2 sin
I N I0
1、2、3级亮纹对应：
光栅形成的谱线应在＜90度的范围内。
d sin m
所以：级数：0，1，2，
m
d sin
三级缺级，4级几乎看不到。

4
5.8.2 多缝衍射图样
A）多缝干涉因子
1）主极大 由多光束干涉因子可以看出，当 φ =2mπ （ m=0, ±1, ±2, … 或者 d sinθ =mλ 时，多光束干涉因子为主极大值，数值为N2 2 主极大强度为： sin 2
I M N I0
）
是单缝衍射在各级主极大位置上所产生强度的N 2倍， 其中，零级主极大的强度最大，等于N 2 I0 。 各级主极大的相对强度与缝数N无关，只与缝宽和缝距之比有关
2） 光栅衍射极小 当Nδ /2等于π 的整数倍、而δ /2不是π 的整数倍，亦 即： N
或者
m' m=0, ±1, ±2, …; m′=1,2,…,N-1 d sin m N
2
( Nm m' )
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此时强度最小，并且等于零。 并且在两个主极大之间，有(N-1)个极小值。 相邻两个极小(零值)之间(Δ m′=1)的角距离Δ θ 为：
色散：
d m 尽可能大，d小。d 2.4 10 3 mm d d cos d a 0.8 10 3 mm 3
2 d 2.4 10 3 mm sin
三级缺级：
2级处的分辨率：


mN
N 15000 2
光栅宽度：
W dN 36mm
2
求得。例如，在m=0 和 m=1 级主极大之间，次极大位置出现 在
N 3 5 2N 3 , ,, 2 2 2 2
共(N-2)个。在Nφ /2≈3π /2时，衍射强度为：
2 I N I0 0.045I M 2 2 3 sin 2 2 I0 I0
多光束干涉计算方法：
1、单缝复振幅： ~ ~ sin E E0
2、双缝： ~ 3、多缝：
km a 2
~ sin ~ sin i E E0 E0 e



2d sin

~ ~ sin ~ sin i ~ sin i 2 ~ sin 1 N 1 E E0 E0 e E0 e E0 e
a.反射光栅：
b.透射光栅：
（3）.按照衍射屏屏函数的类型划分
a.振幅光栅；
b.相位光栅； c.振幅—相位混合型光栅。 （4）.按照制备光栅的方法划分 a.刻画光栅：刀刻光栅和光刻光栅； b.腐蚀光栅； c.复制光栅； d.全息光栅。
5.9.1 光栅的分光性能
1、光栅方程：决定光栅衍射主极大条件的公式 m=0，1，2，… d sin m sinθ∝λ 分光原理
2
2
I0单缝衍射情况下P0 点的光强
sin
sin N 2 sin 2
---单缝衍射因子，只与单缝本身性质有关
2

---多缝干涉因子，与单缝本身性质无关，来源 于狭缝的周期性排列
多缝衍射 = 单缝衍射 + N个单缝多光束干涉

2
0.4
5.9 衍射光栅
1、光栅的概念 狭义地讲，平行、等宽而又等间 隔的多狭缝装置，叫做光栅。 广义地讲，凡是能够使入射光的
振幅或位相，或者两者
同时产生周期性空间调制的一切光学 元器件，统称为光栅。
一句话，凡是屏函数是空间周期
函数的衍射屏，统称为衍射光栅。
2.光栅的分类 （1）.按照空间维度划分 a.平面上的一维光栅； b.平面上的二维光栅； c.空间三维立体光栅。 （2）.按照对入射光的反射和透射作用划分
2
2
即最靠近零级主极大的次极大强度，只有零级主极大的4.5%。
此外，次极大的宽度随着N的增大而减小。
当N 很大时，它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样的背景。
4）多缝衍射主极大角宽度 多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是Δ θ ，主
极大的条纹角宽度为：
2 2 Nd cos
2 2 Nd cos
2、在第m 级主极大明条纹与第m+1级主极大明条纹间有 （N-1)个暗条纹。
3、在相邻暗条纹之间必定有明纹，称为次极大。相邻 主极大之间有(N-2)个次极大。 4、当N 很大时，次极大的个数很多，在主极大明条纹 之间实际上形成一片相当暗的背底。 N=6 d 5、 K 缺级现象
由于多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，所以存在缺级 现象。对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有Sinα /α =0， 即相应的衍射角θ 同时满足：
d sinθ =mλ
m = 0, ±1, ±2, …
a sinθ =nλ
或者
n = ±1, ±2, …
K为整数
m d K n a
则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级。
光谱仪将不同波长的同级主极大光分开的程度，通常用角色 散和线色散表示 1、角色散：波长相差1埃的两条谱线之间的角距离。 d m 1 d d cos d 2、线色散：焦平面上波长相差1埃的两条谱线之间的距离。 dl d m f f d d d cos
3 光栅的色分辨本领 分辨本领乃是指分辨两个很靠近的谱线的能力。λ与在该波长 A 附近能被分辨的最小波长差的比值。
再由角色散的表达式
d m d d cos
一般光栅中使用的光谱级数为1到3级，而光栅缝数N是一个很大 的数值，所以光栅可得到很高的分辨本领。
4.光栅的自由光谱范围
——可以观察到互相分开的谱线Δλ
与F-P标准距比较
讨论： 1、光栅是分波面干涉装置；分辨本领正比于：m,N; 2、光栅m很小；N受工艺限制--有限； 3、F-P分辨本领正比于：F,m; 4、色散正比于： /m m一般很大；
N=6


Nd cos
主极大与相邻的一个零级之间的角间距也为△θ——主极大的角半宽度
3）多缝衍射次极大
由多光束干涉因子可见，在相邻两个极小值之间，除了
是主极大外，还可能是强度极弱的次极大。 在两个主极大之 间，有(N-2)个次极大。次极大的位置可通过求极值确定，近 似由下式
N sin 1 2
5.8 多缝夫琅禾费衍射
夫朗和费光栅衍射的实验装置如图所示。衍射屏具有 多个平行狭缝，每条狭缝均平行于y1方向，沿x1方向的缝 宽为a,相邻狭缝的间距为d。利用平行光照射多缝时，其 每一个单缝都要产生自己的衍射，形成各自的一套衍射条 纹。当每个单缝等宽时，各套衍射条纹在透镜焦平面上完 全重叠，其总光强分布为它们的干涉叠加。
1 N
该式表明：狭缝数N愈大，主极大的角宽度愈小。
（a）单缝 （b）双缝 （c）3缝 （d）5缝 （e）6缝 （f）20缝
(B) 单缝衍射因子
(
sin

)
2
m
主极大：α=0
1 x 极小： ＝ kla a sin x a 2 f
sin m

a
C.缺级
C [1 e
'
i
e sin
i 2
e
i ( N 1)
] e ikxx1 / f dx1
a 2 a 2
C 'a
sin

N i ( N 1) 2 e 2
2 N sin i ( N 1) ~ sin 2 e 2 E0 sin 2
5、F-P 用于高精度测量；光栅用于宽光谱分析。
5。12 设计一块光栅要求(1)使波长600nm的第二级谱线的衍射角 小于30度；(2)色散尽可能大；(3)第三级谱线缺线；(4)对波长 600nm的二级谱线处能分辨0.02nm的波长差；选定光栅参数后， 问在透镜的焦面上可能看到几条谱线? 1、为使波长600nm的二级谱线的衍射角＜30度，光栅d必须满足

sin

式中

2

d sin
可见，在x1方向上两个相距为d的平行等宽狭缝在p点产生的 2 复振幅有一相位差 d sin

P点光强
2 sin N ~ sin 2 I EE I 0 sin 2
~ E ( P) C ' e ikxx1 / f dx1
a a a d ( N 1) d ikxx1 / f ' 2 2 ikxx1 / f 2 ikxx1 / f C a e dx1 a e dx1 dx1 ae d ( N 1) d 2 2 2