双勾函数的性质及应用

在( ,- a ),( a ,+)是增函数,
单调区间的分界点为: a的平方根
4.函数
f
x
x
a x
(a>0)的大致图像
y
2a
a
0a
x
2 a
5.函数 f x x a (a>0)的值域
x
,2 a 2 a,
1.已知函数 f x x 7
x
(1).x 1, 2,求f x的值域.
(2).x 2, 4,求f x的最小值. (3).x 7, 3,求f x的值域.
同时可知,x (0, a )时,f(x)是减函数.
⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
由f x是奇函数,图像关于原点对称.
所以f x在( ,- a )是增函数,
在(- a ,0)是减函数.
综上,函数 区间是 f
f x
x在(-
x ax(a>0)的单调
a ,0),(0, a )是减函数.
2
ab
ab
令t=ab
0<t
1 4
原式=t+
2 t
2
函数y=t+
2 t
在
0,
2 递减
当t=
1 4
时,ymin
25 4
即原式最小值为 25 4
4.建筑一个容积为800米3,深8米的长方体 水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米2 和2a元/ 米2.底面一边长为x米,总造价为y. 写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时 总造价y最低,是多少?
f (x)在x 2,4最小值为2 7
(3).在x 7, 3是增函数 f (7) f (x) f (3)
即-8 f (x) 16 3
x 7, 3值域为8,
-
16 3
2.已知函数 f x x2 5 ,求f(x)的最小值,并
求此时的x值. x2 4
解:原函数化为f x x2 4 1 x2 4 1
x
小点,x
60时,ymin
100(60
3600) 60
1200
12000
答:C<60时,汽车以C速度行驶,
0 C 60
x
C
C 60时,汽车以60速度行驶,运输成本最低.
答:底面一边长为10米时,总造价最低,为520a元.
5.甲乙两地相距100公里,汽车从甲地到乙 地匀速行驶,速度为x公里/小时,不得超过 C(C为常数).已知汽车每小时运输成本为 可变成本x2与固定成本3600之和.为使全程 运输成本y最小,问汽车以多大速度行驶?
解:由已知可得,函数关系式为y 100 (x2 3600) x
解:
11
ba 1
1 a2 b2
(1).(a )(b ) ab ab
ab
a b ab
ab ab
a+b=1, a2 b2 +2ab=1 a2 b2 =1-2ab代入上式
原式=ab 1 1 2ab =ab 2 -2
ab ab
ab
(2).
11 (a )(b ) ab
2
a x2
( x1
a x1
)
( x2
x1 )
a(x1 x2 x1x2
)
( x2
x1 )
(x1x2 x1x2
a)
上式中x2 x1 0,为使上式符号确定,
对任意x1x2, x1x2 a或x1x2 <a都成立.
当x1x2 >a时,由x1,x2是任意的,知x1,x2可 无限接近.而x1,x2在同一个区间取值, 知x1,x2 ( a,+)时,x1x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f (x1). 所以x ( a,+)时,f(x)是增函数.
即y 100(x 3600), x C x
令t=x 3600 , 此函数在x (0,60)减,在x 60, 增
x
(1).C<60时,函数t=x 60 在x 0,C递减
xxຫໍສະໝຸດ C时,ymin100(C
60) C
100(C 2 C
60)
y
(2).C 60时,函数t=x 60 ,对于x C包含最
解:函数f (x) x 7 在 0, 7 , 7,0 递减 x
在 7, , , 7 递增
(1).在x 1, 2是减函数 f (2) f (x) f (1)
即1 f (x) 8 2
值域为12 , 8
(2).分析知x 7 2,4, f (x)的最小值为f ( 7)
解:长方体底面积S=100米2 ,
底面另一边长为 100 x
池壁总面积为8 (2x 200)米2 x
总造价y 100 2a (2x 200) 8 a x
200a 16a(x 100) (x 0) x
函数t (x 100) 在0,10是减函数,
x
在 10,+ 是增函数
在x=10时,t最小值为20 ymin 520a (元)
x2 4
x2 4
令t
x2 4
y=t+
1 t
,(t
2)
此函数在1,+ 递增
ymin
2
1 2
5 2
,
此时t 2
2
x2 4 x 0
即f x 5时, x 0
2
3.已知实数a,b R ,
a+b=1,
1 ab 4
(1).试用a,
b表示(a
1
)(b
1 )
ab
(2).求(a 1 )(b 1)的最小值. ab
函数 f x x a (a>0)的性质.
x
1. 定义域 (-∞,0) ∪(0 ,+∞) 2.奇偶性 奇函数 f(-x)=-f(x)
确定函数 f x x (axa>0)的单调区间
⑴. 当x∈ (0 ,+∞)时,确定某单调区间
任取x1,x2 (0, ), x1<x2.
则
f
x2
f
x1
x2