单自由度无阻尼自由振动的系统分析

单自由度无阻尼自由振动的系统分析

在结构动力学之中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但单自由度体系的频率计算在结构动力学计算中有着十分重要的意义，因为从中我们能得到关于振动理论的一些最基本的概念和分析方法同时也为更复杂的多质点多自由度体系振动问题奠定基础，同时现实工程中也有许多振动问题可以简化为单自由度问题近似的利用单自由度振动理论去分析解决。在单层厂房、水塔等建筑物中得到有效的利用

结构的自由振动是指结构受到扰动离开平衡位置后，不再受到任何外力影响的振动过程，此处动力系统是否有阻尼项，会直接影响到动力系统的反应。在此，我们把自由振动分为无阻尼自由振动与有阻尼的自由振动。

一、无阻尼自由系统的振动分析

目前，以弹簧-质量系统为力学模型，研究单自由度系统

的振动具有非常普遍的实际意义，因为工程中许多问题简化

后，用单自由度体系的振动理论就能得到很好的解决。而对

多自由度系统和连续振动，在特殊坐标的考察时，也会显示

出与单自由度系统类似的振动。

进行无阻尼自由振动分析的主要目的是为了获得系统固

有振动的特性，只有充分地了解系统的自身振动特性才能有

效的计算系统的动力响应，目前在单质点单自由度无阻尼自由振动体系中我们的运动方程为：

0)()(..=+t ku t u

m （1） 或 0u(t))(=+ωt u （2）

其中的ω是振动圆频率，是反应系统动力的重要参数，其计算公式为：

m k m ==δω12 (3)

由上式可以看出，ω只和系统的刚度及质量有关，而与系统所受到的初始受力状态无关。ω的量纲与角速度相同为rad/s ，它反映了系统自由振动的快慢。自由振动系统的这一特性，我们在日常生活中司空见惯。比如，键盘类乐器标定后，按动某一个琴键，不管你按动的轻重如何，琴键所发出的声音的频率是一定的，按得轻或按得重仅影响声音的强弱。

（2）式经过三角函数的转换可表示为：

)sin()(νω+=t A t u （4）

其通解为t A t A t u ωωsin cos )

(21+= 常数A 1与A 2与初始条件有关，01χ=A ωχ/02 =A

式（4）是标准的简谐方程其中A 是其振幅，

则ν是其初相角，他们的计算公式

202

0)(ωx x A += ，00

arctan x x v ω=

对于质点振动系统，质量越大，则系统的固有频率越低；刚度越大，则系统的固有频率越高。在实际工程中，这一规律在振动与噪声控制中具有重要意义：通过改变系统的质量或刚度，就可以改变系统的固有频率，使之落于一定的频带范围之外，从而保证在我们关心的频带范围内具有较小的振动或噪声。

二、有阻尼自由系统的振动分析

在前面所述的自由振动中，我们略去了运动的阻力。因此振动过程中机械能守恒，系统保持持久的等幅振动。但实际系统振动时不可避免地存在阻力，因X t

而在一定时间内振动逐渐衰减直至停止。阻力有多种来

源，例如两个物体之间的干摩擦阻力、气体或液体介质

的阻力、有润滑剂的两个面之间的摩擦力、由于材料的

粘弹性而产生的内部阻力等等。在振动中这些阻力统称

为阻尼。其弹簧—质量系统模型图示如右图，因为有考

虑到阻尼的影响故其运动方程应为：

0)()()(...=++t ku t u c t u

m （5） 或 0)()(2)(2=++t u t u t u

ωξω （6） 其中m

c =ξω2 式（6）是一个常系数齐次线性微分方程 0222=++ωξωx x （7）

其通解为 12-±-=ξωξωx

由上可知，式（6）的解与ξ的大小有关。对于ξ可分为以下四种情况简要讨论：

（1） 临界阻尼情况（ξ=1或C=2m ω）

在这种情况下特征方程的根是一对重根：X 1、2=-ω

式（6）的通解是

])1([)(00t u t u e t u t ++=-ωω （8） 在这种情况下系统不发生振动。临界阻尼就是不产生振动的最小阻尼。

（2） 超阻尼情况（ξ＞1或C ＞2m ω）

此特

征根是两个负实数。通解为t sh u u

t ch u e t u d d d t ωωξωωξω000[)(++=- （9） 式中12-=ξωωd

，这种阻尼过大系统的运动是按指数规律衰减的非周

（3） 负阻尼情况（ξ＜0或C ＜0）

阻尼本来是消耗能量的，负阻尼则表示系统在不断增加能量，这种情况下的运动是不稳定的，其振幅会越来越大，知道系统振动失效破坏。

（4） 低阻尼或小阻尼情况（ξ＜1或C ＜2m ω）

此时特征根是两个复数，式（6）的通解为)cos sin ()(000t u t u u

e t u d d d t ωωωξωξω++=- （10） 式中21ξωω-=d ，由此可知，阻尼使系统自振频率减小，亦即使系统自振周期增大。由上式可看出，阻尼式振幅按指数规律衰减。

理论计算和工程应用中常采用阻尼比ξ来表示结构阻尼的大小，阻尼比ξ是阻尼系数和临界阻尼的比值。在实际工程结构中阻尼比ξ相对较小，最大阻尼比不超过0.20，因此实际工程结构动力计算中常不计阻尼对自振圆频率的影响，即ωd =ω在我国相关结构设计规范中，对于钢结构阻尼比ξ取0.02，钢筋混凝土

结构阻尼比ξ取0.05。一般的耗能减震系统，加入阻尼器的动力系统阻尼比ξ一般为0.10-0.20。

阻尼一般来源于材料变形的摩擦，结构连接部位的摩擦和结构周围外部介质。关于阻尼力，根据不同的耗能机理，提出了不同的阻尼理论，其中主要有一下三种：

1、粘性阻尼，该理论认为阻尼力大小与速度成正比，方向与速度方向相反，也称为粘滞阻尼，可表示为： )()

(t u c t F D = 其中F D （t ）为阻尼力，c 为阻尼系数。

2、复阻尼，又称为结构阻尼或材料阻尼，该理论认为在简谐振动中阻尼与位移成正比，其相位与速度相同，可表示为： )()(t ku i t F D η= η为复阻尼系数，k 为劲度系数，复阻尼能很好地反应材料内摩擦的耗能机理，故应用