复数的乘除法
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复习回顾
＊ 复数的加减法：
(a bi) (c di) (a c) (b d )i
＊ 交换律和结合律：
(a, b, c, d R)
z1 z 2 z 2 z1
( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
新课讲解
复数的乘法： 设 z1 a bi, z 2 c di ，（ a, b, c, d R ） 是任意两个复数，则定义复数的乘法：
(2)原式 2 6i 3i 9i 2 11 3i
(3)原式 (2 2 3 ) ( 2 2 6 )i
分析：(4)中有三个复数相乘，可先计算前两个的乘
积，再与第三个相乘。
(4)原式 (11 2i )(2 i ) 20 15i
下一页
解：
（ 1 ）原式 [(1 i ) 2 ]2 (1 2i i 2 ) 2 ( 2i ) 2 4
给出两个复数 a bi,
如何求两个复数的商呢？
方法一： 根据复数的乘法和两复数相等的知识，可得： 由 (c di)(x yi) a bi 得 解得
(cx dy) (dx cy)i a bi
ac bd bc ad x 2 , y 2 2 2 c d c d a bi ac bd bc ad 所以 2 2 i 2 2 c di c d c d
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i
＊ 复数的除法：
a bi ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c di c d c d
结束
解： (1)原式 2 3 2i 3i i 2 5 5i
( 2)原式 [(2 i )(2 i )]2 (4 1)2 25
下一页
解：
i i (1)原式 2i i 2
(1 2i )( 2 3i ) 4 7i 4 7 ( 2)原式 i ( 2 3i )( 2 3i ) 13 13 13
7( 3 4i ) 21 28 ( 3)原式 i ( 3 4i )( 3 4i ) 25 25
i( 2 i ) 1 2 (4)原式 i ( 2 i )( 2 i ) 5 5
练习
( 3 2i )( 3 2i )
可以发现： 实部相等，虚部互为相反数的两个复数的乘
Hale Waihona Puke Baidu积是非负实数。
(a bi)(a bi) a b i a b
2 2 2 2
2
定义： 两个复数的实部相等，虚部互为相反数的两个 复数叫作互为共轭复数。复数
z 的共轭复数用 z 表
z a bi
z z z
n
, (z ) z ,
m n mn
( z1 z 2 ) z z
( m, n Z )
例2
类似于实数除法的运算，复数的除法也是复数乘 法的逆运算。 复数的除法：
c di (c di 0) ， 我们把满足等式 (c di)( x yi) a bi的复数 x yi 叫作复数 a bi 除以 c di 所得的商，记作 a bi 。 (a bi) (c di) 或者 c di
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i
即： 两个复数的积仍是复数，复数的乘法与多项式 的乘法类似，但在运算过程中，需要用 i 2 1 进 行化简，然后将实部和虚部分别合并。
例题分析
例１ 计算：
(1)
( 2 i )(3 i )
(2) (2 3i)(1 3i)
即
a bi ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c di c d c d
例2 计算：
(1)
(1 i )4
(2)(2 i )2 (2 i )2
解析
例3 计算：
(1)
(3)
1 2i 7 3 4i
( 2)
( 4)
1 2i 2 3i i 2i
解析
动手做一做
1. 计算： (1)
( 8 7i )(3i ) 1 3 ( i )(1 i ) 2 2
1i 1i ( 2) 5(4 i ) 2 i( 2 i )
( 2)
2. 计算：
(1)
3. 求值： a bi a bi
b ai
b ai
小结
＊ 复数的乘法：
方法二： 分母是复数，若虚部为0，则分母为实数，直接就 可计算；若虚部不为0，能否将分母变为实数？？ 一个复数与它的共轭复数之积为非负实数。 所以： a bi
( a bi)(c di) c di (c di)(c di) ( ac bd ) (bc ad )i c2 d 2
(3) ( 2 2i )( 6 i ) (4)
(1 2i)(3 4i)(2 i)
解析
计算下列各式，你发现什么规律了？
(1) ( 3 2i )( 3 2i )
( 2) ( 2 3i )( 2 3i )
( 3) ( 2 i )( 2 i )
( 4)
示。
z a bi
互为共轭
乘法运算率在复数范围内仍然成立：
交换率 结合率
分配率
m
z1 z 2 z 2 z1
z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3
z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z 1 z 3
n m n
n n 1 2
正整数指数幂运算率：
＊ 复数的加减法：
(a bi) (c di) (a c) (b d )i
＊ 交换律和结合律：
(a, b, c, d R)
z1 z 2 z 2 z1
( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
新课讲解
复数的乘法： 设 z1 a bi, z 2 c di ，（ a, b, c, d R ） 是任意两个复数，则定义复数的乘法：
(2)原式 2 6i 3i 9i 2 11 3i
(3)原式 (2 2 3 ) ( 2 2 6 )i
分析：(4)中有三个复数相乘，可先计算前两个的乘
积，再与第三个相乘。
(4)原式 (11 2i )(2 i ) 20 15i
下一页
解：
（ 1 ）原式 [(1 i ) 2 ]2 (1 2i i 2 ) 2 ( 2i ) 2 4
给出两个复数 a bi,
如何求两个复数的商呢？
方法一： 根据复数的乘法和两复数相等的知识，可得： 由 (c di)(x yi) a bi 得 解得
(cx dy) (dx cy)i a bi
ac bd bc ad x 2 , y 2 2 2 c d c d a bi ac bd bc ad 所以 2 2 i 2 2 c di c d c d
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i
＊ 复数的除法：
a bi ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c di c d c d
结束
解： (1)原式 2 3 2i 3i i 2 5 5i
( 2)原式 [(2 i )(2 i )]2 (4 1)2 25
下一页
解：
i i (1)原式 2i i 2
(1 2i )( 2 3i ) 4 7i 4 7 ( 2)原式 i ( 2 3i )( 2 3i ) 13 13 13
7( 3 4i ) 21 28 ( 3)原式 i ( 3 4i )( 3 4i ) 25 25
i( 2 i ) 1 2 (4)原式 i ( 2 i )( 2 i ) 5 5
练习
( 3 2i )( 3 2i )
可以发现： 实部相等，虚部互为相反数的两个复数的乘
Hale Waihona Puke Baidu积是非负实数。
(a bi)(a bi) a b i a b
2 2 2 2
2
定义： 两个复数的实部相等，虚部互为相反数的两个 复数叫作互为共轭复数。复数
z 的共轭复数用 z 表
z a bi
z z z
n
, (z ) z ,
m n mn
( z1 z 2 ) z z
( m, n Z )
例2
类似于实数除法的运算，复数的除法也是复数乘 法的逆运算。 复数的除法：
c di (c di 0) ， 我们把满足等式 (c di)( x yi) a bi的复数 x yi 叫作复数 a bi 除以 c di 所得的商，记作 a bi 。 (a bi) (c di) 或者 c di
(a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i
即： 两个复数的积仍是复数，复数的乘法与多项式 的乘法类似，但在运算过程中，需要用 i 2 1 进 行化简，然后将实部和虚部分别合并。
例题分析
例１ 计算：
(1)
( 2 i )(3 i )
(2) (2 3i)(1 3i)
即
a bi ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c di c d c d
例2 计算：
(1)
(1 i )4
(2)(2 i )2 (2 i )2
解析
例3 计算：
(1)
(3)
1 2i 7 3 4i
( 2)
( 4)
1 2i 2 3i i 2i
解析
动手做一做
1. 计算： (1)
( 8 7i )(3i ) 1 3 ( i )(1 i ) 2 2
1i 1i ( 2) 5(4 i ) 2 i( 2 i )
( 2)
2. 计算：
(1)
3. 求值： a bi a bi
b ai
b ai
小结
＊ 复数的乘法：
方法二： 分母是复数，若虚部为0，则分母为实数，直接就 可计算；若虚部不为0，能否将分母变为实数？？ 一个复数与它的共轭复数之积为非负实数。 所以： a bi
( a bi)(c di) c di (c di)(c di) ( ac bd ) (bc ad )i c2 d 2
(3) ( 2 2i )( 6 i ) (4)
(1 2i)(3 4i)(2 i)
解析
计算下列各式，你发现什么规律了？
(1) ( 3 2i )( 3 2i )
( 2) ( 2 3i )( 2 3i )
( 3) ( 2 i )( 2 i )
( 4)
示。
z a bi
互为共轭
乘法运算率在复数范围内仍然成立：
交换率 结合率
分配率
m
z1 z 2 z 2 z1
z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3
z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z 1 z 3
n m n
n n 1 2
正整数指数幂运算率：