第3章立体及其表面交线

辅助平面的选择原则
使辅助平面与两回转体表面截交线的投 影简单易画，例如直线或圆，一般选择投 影面平行面
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第三章 立体及其表面交线
【例3-9】 圆柱与圆锥轴线正交，求作相贯线的投影
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解题步骤
★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求中间点 ★ 光滑连接各点●●●
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空间及投影分析 小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线 的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于 W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上 求相贯线的投影 利用积聚性，采用表面取点法 ☆ 找特殊点 ☆ 补充中间点 ☆ 光滑连接
1．平面切割圆柱
截平面与轴线平行
截平面与轴线垂直
截平面与轴线倾斜
截交线为矩形
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截交线为圆
第三章 立体及其表面交线
截交线为椭圆
【例3-3】 求作圆柱被正垂面截切时截交线的投影
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第三章 立体及其表面交线
截交线的空间形状？ 截交线的已知投影？ 截交线的侧面投影是什么形状？ ★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
（2）圆锥的三视图
俯视图的圆形，反映圆锥底面的实形，同时也表示圆 锥面的投影。主、左视图的等腰三角形线框，其下边为 圆锥底面的积聚性投影
主视图中三角形的左、右两边，分别表示圆锥面最左、 最右素线SA、SB（反映实长）的投影，它们是圆锥面正 面投影可见与不可见部分的分界线
左视图中三角形的两边，分别表示圆锥面最前、最后 素线SC、SD的投影（反映实长）
中心线与圆周的交点处。矩形线框的上、下两边分别为
圆柱顶面、底面的积聚性投影
（3）圆柱表面上的点
m
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第三章 立体及其表面交线
m

利用投影的 积聚性
2．圆锥
（1）圆锥面的形成
圆锥面可看作由一条直母线SA围绕与它相交的轴线回 转而成
S 称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任 一直线称为圆锥面的素线
2．相贯线为直线
当相交两圆柱的轴线平行或两圆锥共顶时，相贯线为直线
两相交圆柱的轴线平行
两圆锥共顶
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第三章 立体及其表面交线
【例3-10】 已知相贯体的俯、左视图，求作主视图
画出两等径圆柱的内外轮廓
作出外表面相贯线的正面投影
用简化画法作出两圆孔相贯线的正面投影
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第三章 立体及其表面交线
2．平面切割圆锥
截平面与轴线垂直 截平面通过锥顶
截平面与轴线倾斜 截平面平行于任一素线 截平面与轴线平行
截交线为圆
截交线为等腰三角形 截交线为椭圆 截交线为封闭的抛物线 截交线为封闭的双曲线
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第三章 立体及其表面交线
【例3-5】 圆锥被倾 斜轴线的平面截切，用 辅助素线法补全圆锥的 水平投影和侧面投影
第三章 立体及其表面交线
2．两圆柱正交时相贯线的变化
交线弯向 大圆柱
交线弯向 大圆柱
φ1>φ
相贯线的正面投影 为上、下对称的曲线
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φ1=φ
相贯线的正面投影 为两条相交的直线
第三章 立体及其表面交线
φ1<φ
相贯线的正面投影 为左、右对称的曲线
3．两圆柱正交时相贯线的简化画法
（3）圆球表面上的点
辅助圆法
n


m

n

m
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(n)

m
辅助圆的半径？
第二节 截交线
一、平面切割平面立体 二、平面切割曲面立体
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第三章 立体及其表面交线
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一、平面切割平面立体
截交线的概念
截平面 —— 用以截切物体的平面 截断体 —— 当立体被平面截断成两部分时，
任何一部分均称为截断体 截交线 —— 截平面与立体表面的交线
基本性质
共有性 截交线是截平面与立体表面的共有线 封闭性 由于任何立体都有一定的范围，所以截交线
一定是闭合的平面图形
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第三章 立体及其表面交线
【例3-1】 正六棱锥被正垂面P 截切，求切割后正六棱锥截交线的投影
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国家标准规定，允许采用简化画法作出相贯线的投影，即用圆弧代替非圆曲线。当两圆柱异径正交， 且不需要准确地求出相贯线时，可采用简化画法作出相贯线的投影
弦的垂直平分线
●
相贯线的侧面投影
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相贯线的水平投影
相贯线
第三章 立体及其表面交线
二、圆柱与圆锥正交
辅助平面法作图原理
用一辅助平面与两回转体同时相交，得 到两组截交线。这两组截交线均处于辅助 平面内，它们的交点为辅助平面与两回转 体表面的共有点（三面共点），即相贯线 上的点
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第三章 立体及其表面交线
第三节 相贯线
一、圆柱与圆柱正交 二、圆柱与圆锥正交 三、内相贯线的画法 四、相贯线的特殊情况
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一、圆柱与圆柱正交
两立体相交称为相贯，其表面产生的交线称为相贯线 相贯形式
平面体与回转体相贯
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第三章 立体及其表面交线
第一节 几何体的投影 第二节 截交线 第三节 相贯线
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第三章 立体及其表面交线
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第一节 几何体的投影
一、平面立体 二、曲面立体
第三章 立体及其表面交线
三、内相贯线的画法
在内表面产生的交线，称为内相贯线。内相贯 线和外相贯线的画法相同，内相贯线的投影由于 不可见而画成细虚线
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第三章 立体及其表面交线
四、相贯线的特殊情况
1．相贯线为平面曲线(一)
两个同轴回转体相交时，相贯线一定是垂直于轴线的圆
圆柱与圆球同轴相交
（2）圆柱的三视图
圆柱的主视图是一个矩形线框，其左、右两轮廓线是
两组由投射线组成的平面与V面的交线，也正是圆柱面上
m

最左、最右素线的投影，它们把圆柱面分为前后两部分，
其投影前半部分可见，后半部分不可见，而这两条素线
是可见与不可见的分界线。最左、最右素线的侧面投影
和轴线的侧面投影重合（不需画出），水平投影在横向
椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变
当α<45°时 椭圆长轴大于圆柱直径
当α=45°时 椭圆的投影为圆
当α>45°时 椭圆短轴小于圆柱直径
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第三章 立体及其表面交线
【例3-4】 试完成开槽圆柱的水平投影和侧面投影
提示：① 因圆柱的最前、最后两条素线均 在开槽部位被切去，故左视图中的轮廓线，在 开槽部位向内“收缩”。其收缩程度与槽宽有 关，槽越宽收缩越大。② 注意区分槽底侧面 投影的可见性，即槽底的侧面投影积聚成直线， 中间一段不可见，应画成细虚线
（3）圆锥表面上的点
第一种方法 辅助素线法
第二种方法 辅助圆法
s●
m
s
m
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第三章 立体及其表面交线
s
●

m
如何在圆锥面上作直线？ 过锥顶作一条素线 圆的半径？
3．圆球
（1）圆球面的形成
圆母线以它的直径为轴旋转而成
（2）圆球的三视图
三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆 正面投影是平行于V 面的圆素线的投影（前、 后半球的分界线，圆球面在正面投影中可见与 不可见的分界线） 水平投影是平行于H面的圆素线的投影（上、 下半球的分界线，圆球面在水平投影中可见与 不可见的分界线） 侧面投影是平行于W 面的圆素线的投影（左、 右半球的分界线，圆球面在侧面投影中可见与 不可见的分界线） 三条圆素线的其他两面投影，都与圆的相应 对称中心线重合
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提示：① 因四棱柱最前、最后两条侧棱在 开槽部位被切掉，故左视图中的左右轮廓线， 在开槽部位向内“收缩”。其收缩程度与槽宽 有关，槽越宽收缩越大。② 注意区分槽底侧 面投影的可见性，即槽底的侧面投影积聚成直 线，中间一段不可见，应画成细虚线
第三章 立体及其表面交线
二、平面切割曲面立体
回转体与回转体相贯
多体相贯
相贯线特性 共有性 相贯线是两立体表面上的共有线，也是两立体表面的分界线 封闭性 一般情况下，相贯线是闭合的空间曲线或折线，在特殊情况下是平面曲线或直线
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第三章 立体及其表面交线
1．利用投影的积聚性求相贯线
【例3-8】 圆柱与圆柱异径正交，补画相贯线的正面投影
（1）棱锥的三视图
棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在 俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个 侧棱面为一般位置平面
提示：正三棱锥的侧面投影 不是等腰三角形
（2）棱锥表面上的点
正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般 位置平面。特殊位置平面上的点的投影，可利 用该平面投影的积聚性直接作图；一般位置平 面上点的投影，可通过在平面上作辅助线的方 法求得
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第三章 立体及其表面交线
【例3-6】 圆锥被平行于轴线的平面截切， 用辅助平面法求圆锥的截交线
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3．平面切割圆球
圆球被任意方向的平面截切，其截交线都是圆
截交线在所平行的投影面上的投影为一圆，其余两面投影积聚为直线 该直线的长度等于切口圆的直径，其直径的大小与截平面至球心的距离B有关
第三章 立体及其表面交线
s

m

a
b
a


m
s
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b
第三章 立体及其表面交线
s

m

c a(c) b
c
二、曲面立体
1．圆柱
（1）圆柱面的形成
圆柱面可看作一条直线AB围绕与它平行的 轴线OO回转而成
OO称为回转轴。直线AB称为母线，母线转 至任一位置时称为素线
由一条母线绕轴回转而形成的表面称为回转 面，由回转面构成的立体称为回转体
b a
d c
d c● ● ●c
b●
● b
●a
该段棱线不可见
b
●
a ●
●b
●c d
●
●c
空间分析
截平面与体的几个棱面相交？ 交线的形状？
投影分析
截交线在俯、左视图上的形状？
求截交线
检查
尤其注意检查截交线投影的类似性
第三章 立体及其表面交线
【例3-2】 在四棱柱上方切割一个矩形通槽，试完成四棱柱矩形通槽的水平投影和侧面投影
圆锥与圆球同轴相交
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第三章 立体及其表面交线
1．相贯线为平面曲线（二）
当轴线相交的两圆柱（或圆柱与圆锥）公切于同一球面时，相贯线一定是平面曲线，即两个相交 的椭圆
圆柱与圆柱等径正交 （公切一圆球）
圆柱与圆锥正交 （公切一圆球）
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第三章 立体及其表面交线
表面均为平面的立体 表面由曲面、或曲面与平面组成的立体
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第三章 立体及其表面交线
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一、平面立体
1．棱柱
棱柱由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱 面的交线称为侧棱线，侧棱线相互平行
（1）棱柱的三视图
它的顶面和底面为水平面；三个矩形侧面中，后面 是正平面，左右两面为铅垂面；三条侧棱为铅垂线
（2）棱柱表面上的点
求体表面上点的投影，应依据在平面上取点的方法
作图
m
m


点的可见性规定
若点所在表面的投影可见，则点的同面投影也 可见；反之为不可见。对不可见的点的投影，需 加圆括号表示
m
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2．棱锥
由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限 远的一点——锥顶
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第三章 立体及其表面交线
【例3-7】 试完成开槽半圆球的水平投影和侧面投影
圆球的最高处在开槽后被切掉，故左 视图上方的轮廓线向内“收缩”，其收 缩程度与槽宽有关，槽愈宽、收缩愈大
水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为 部分圆弧，在侧视图上积聚为直线
两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图 上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线