第三章 函数极限
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（以 δ = 1 为例）令 把“自变量 x 限制在定点 x0 附近”的语序是：
注8
0 < x − x0 < 1 ，从而 x0 − 1 < x < x0 + 1 ,
前面的不等式便于取 δ 的值，后面的不等式便于缩放。 定义 3（左、右极限）简言之：
x→a−
lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ (a − δ , a ) 有 f ( x) − A < ε ； lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ (a, a + δ ) 有 f ( x) − A < ε 。
这就由 ε − M 定义证得 lim arctan x = −
x →−∞
π
π
2
。
x < −M 、 求得解集形如 x > M 、 评注： 确定 M 的方法通常是解不等式 f ( x) − A < ε ，
x > M ，进而确定 M 。
二 引例 注3 注4
x → x0 时的函数极限
观察下面函数图象（如图 3.3）在点 x0 =
x →∞
lim f ( x) = A ( x0 = 实数、 ±∞, ∞ ) ⇔ 对 A 的 注 2 不难归纳出函数极限的模式化语言：
x → x0
任意邻域 ( A − ε , A + ε ) ，都能找到 x0 的(空心)邻域，姑且记为 U 0 ( x0 ) (该邻域长度与 ε 有 关)， 当 x ∈ U 0 ( x0 ) 时,有 f ( x ) ∈ ( A − ε , A + ε ) 。 它的不等式叙述被叫做 ε − M 定义或 ε − δ 定义。 例1 按 ε − M 定义证明 lim
x2 − 2 = 4。 由定义证得 lim x →2 x − 2
注 7 请记住下面的简单不等式 （1） ∀ x ∈ ( 0 ,
π
2
)，有 sin x < x < tan x ； (P.44)
（由（1）立明） (2) ∀ x ∈ R 有 sin x ≤ x ； （3） ∀ x 、 x0 ∈ R 有 sin x − sin x0 ≤ x − x0 ， cos x − cos x0 ≤ x − x0 。(由和差化积 公式证明) 例4 证明 lim sin x = sin x0 ， lim cos x = cos x0 。 [解集 x − x0 ≤ δ (ε ) ]
注 5 （几何意义，详见教材） 。 注 6 在定义 2 中限制 δ 为很小的正数，不影响“ x0 的附近”这句话的含义。确定 δ 的 具体地说， 把式子 f ( x) − A 步骤通常是： 先从不等式 f ( x) − A < ε 中析出零因子 x − x0 ， 进行变形、放大，变成含有 x − x0 的式子 Φ ( x − x0 ) ，然后解不等式 Φ ( x − x0 ) < ε ，求出 形如 x − x0 < δ (ε ) 的解，最后确定 δ 。 证明 lim
只要使
π
π
arctan x < ε −
即使
π
2
，
2
可取 M = tan(
π
2
x < tan(ε − ) = − tan( − ε ) ， 2 2 − ε ) ；于是： ∀ε > 0 （限定 ε <
π
π
π
2
） ， ∃M = tan(
π
2
− ε ) ， ∀x < − M ，有
arctan x − ( − ) < ε 2
x → x0 x → x0
证明： ∀ε > 0 ，取 δ = ε ， ∀x ： 0 < x − x0 < δ 有
sin x − sin x0 ≤ x − x0 < ε ，
由定义证明得 lim sin x = sin x0 ，同理有 lim cos x = cos x0 。
x → x0 x → x0
例 5 证明 lim
1− x （1） lim −
x → ( −1)
= 0 ；[解集 0 < 1 − x < δ (ε ) ]
（2） lim + 1 − x 2 = 0 。[解集 0 < x − ( −1) = x + 1 < δ (ε ) ] 证明（1） ∀ε > 0 ，当 x < 1 时，要使
1 − x 2 − 0 = (1 + x)(1 − x ) ≤ 2(1 − x ) < ε ，
1 1 = 0 。[从 − 0 < ε 解出 x > M (ε ) ] x →∞ x x
证明： ∀ε > 0 ，要使
1 1 1 1 − 0 = < ε ，只要 x > 。可取 M = 。于是： ∀ε > 0 ， x x ε ε
∃M =
1
ε
> 0 ， ∀x ： x > M ，有 1 −0 < ε ， x
[教学时数]：14 学时。 [教学要求]： 1、能熟练地书写各种类型极限的“ε—A”和“ε—δ”定义及其否定叙述，并能应 用“ε—A”和“ε—δ”定义验证和证明一些简单的函数极限问题。 2、能准确叙述复合函数极限定理与海涅定理，并能熟练应用。 3、能准确叙述并证明函数的极限性质——唯一性、局部有界性、局部保号性和不等 式性质。 4、会应用迫敛性、有理运算、复合函数极限定理及两个重要极限，熟练地计算极限。 5、会用海涅定理判断某些函数极限不存在。
x →0
x>0 x =0， x<0
x →0 x →0
注 10 sgn x 是奇函数；显然在点 x = 0 有 lim sgn x = 1 , lim− sgn x = −1 ，故 lim sgn x + 不存在。 2．狄利克莱函数（图 3.5）
⎧0, D( x)＝⎨ ⎩1,
x为无理数， x为有理数。
0
f ( x) ∈ ( A − ε , A + ε ) ；
换成不等式叙述就是下面的定义。 定义 2 设函数 f ( x) 在点 x0 的邻域 U 0 ( x0 ) 有定义，那么： lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0 ，
x → x0
∃δ > 0 ， ∀x ： 0 < x − x0 < δ ，有 f ( x) − A < ε 。
第三章
函数极限
§3.1 函数极限
一
x → +∞ 时的函数极限 x2 和数 A = 1 。 （如图 3.1） 1 + x2
引例：设函数 f ( x) =
试问： 对 y 轴上点 A = 1 的任意邻域 ( A − ε , A + ε ) ， 能 否 找到 x 轴上 +∞ 的邻域 使得当 x ∈ ( M , +∞ ) 时， 对应的函数值 f ( x ) ∈ ( A − ε , A + ε ) ？ （只要取 M = ( M , +∞ ) ， 即可） ① 现在把 f 看作一般函数，那么下划线内容的意思通俗地讲，就是“对于（在 y 轴上） 含点 A 的任意小区间，都包含了（ x 轴上“点”） +∞ 附近的所有点上的函数值” 。不难理解， 。 这个意思其实表达了“当 x → +∞ 时， f ( x ) → A ” ② 再把下划线内容“对于 A 的任意邻域 ( A − ε , A + ε ) ，都能找到 +∞ 的邻域 ( M , +∞ ) 当 x ∈ ( M , +∞ ) 时，有 f ( x ) ∈ ( A − ε , A + ε ) ”换成不等式叙述为： ∀ε > 0 ， ∃M > 0 ，
x →2
例3
x2 − 2 = 4 。[解集 x − 2 < δ (ε ) ] x−2
证明： ∀ε > 0 ，当 x ≠ 2 时，要使
3
x2 − 2 −4 = x−2 <ε ， x−2
可取 δ = ε ；于是： ∀ε > 0, ∃δ = ε , ∀x ： 0 < x − 2 < δ 有
x2 − 2 −4 <ε ， x−2
这就按 ε − M 定义证得本题。 例2 证明 lim arctan x = −
x →−∞
π
2
。[从 arctan x − ( −
π
2
) < ε 解出 x < − M (ε ) ]
证明： （如图 3.2） ∀ε > 0 ，要使（限定 ε <
π
2
）
arctan x − (− ) = + arctan x < ε ， 2 2
区间 ( M , +∞ ) 这一段上的函数图象都在两直线 y = A − ε 、 y = A + ε 之间。 定义 1* lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x < − M 有 f ( x) − A < ε ；
x →−∞
lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x ： x < M ，有 f ( x) − A < ε 。
只要使 1 − x <
ε2
2
，可取 δ =
ε2
2
；于是： ∀ε > 0 ， ∃δ =
ε2
2
， ∀x ： 0 < 1 − x < δ ， 即
1− δ < x < 1 有
1 − x2 − 0 < ε ，
1− x 这就按 ε − δ 定义证得 lim −
x →1
2
= 0。
（2） ∀ε > 0 ，当 x < 1 时，要使
这就按 ε − δ 定义证得 lim + 1 − x 2 = 0 。
x → ( −1)
定理 3.1 lim f ( x ) = A ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x ) = A 。
x → x0 x → x0 x → x0
证明（自证） 三 几个常用函数
1．符号函数（图 3.4）
⎧ 1, ⎪ sgn x = ⎨ 0, ⎪−1, ⎩
左右极限记号 f ( x0 + 0) 、 f ( x0 − 0) 经常使用。此外，在定义 3 中，经常把
x→a+
注 9
x ∈ ( a − δ , a ) 、 x ∈ ( a, a + δ ) 写成 0 < a − x < δ 和 0 < x − a < δ ，这种形式便于确定 δ 。
例7 验证：
2 x →1
注 11 D ( x ) 是偶函数，是周期函数（以任何正有理数为周期，没有最小正周期） 。 3．黎曼函数
⎧1 ⎪ , R ( x)＝⎨ q ⎪ ⎩ 0,
（ （图 3.6） 。
x=
p 1 , 且p 、q是互质的正整数， ∈ （0，） q
x = 0,1 及(0,1)内的无理数。
注 12 ∀ε > 0, 使 R ( x ) > ε 的点 x 至多有限个。 事实上，不难发现使 R ( x) =
1 的点 x 至多有 n 个： n
, xn −1 =
x1 =
Hale Waihona Puke Baidu
1 2 ， x2 = , n n
n −1 ； n
6
因此使 R ( x) ≥ 那么有
1 n(n − 1) ⎡1⎤ 的点 x 的个数至多为 个。 又由于 ∀ε > 0（设 ε < 1 ） ， 记N =⎢ ⎥， n 2 ⎣ε ⎦
1
ε
∀x > M ，有
f ( x) − A < ε 。
1
定义 1 简言之： lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > a ， ∀x > M , 有 f ( x) − A < ε 。
x →+∞
注1
x →+∞
lim f ( x ) = A 的几何意义请参见教材；请注意定义 1 中横线内容的几何意义是：
1 − x 2 − 0 = (1 + x)(1 − x ) ≤ 2(1 + x ) < ε ，
5
只要使 1 + x <
ε2
2
，可取 δ =
ε2
2
；于是： ∀ε > 0 ， ∃δ =
ε2
2
， ∀x ： 0 < 1 + x < δ ， 即
−1 < x < −1 + δ 有
1 − x2 − 0 < ε ，
x2 − 1 2 = 。[解集 x − 1 ≤ δ (ε ) ] 2 x →1 2 x − x − 1 3
证明： ∀ε > 0 ，当 x ≠ 1 时，要使
x2 −1 x2 −1 2 − = <ε ， 2x2 − x −1 3 3 2 x + 1
限制 0 < x − 1 < 1 , 从而 0 < x < 2 (评注：不能用“即”字)，因此只要使
π
2
的“趋势” 。
函数 f ( x ) 在 x0 的“趋势”与 f 在 x0 的函数值并无关系。 由注（2）知， lim f ( x) = A 的模式化语言为：对 A 的任意邻域 ( A − ε , A + ε ) ，
x → x0
0 都能找到 x0 的空心邻域 U ( x0 , δ ) = ( x0 − δ , x0 ) ∪ ( x0 x0 + δ ) ，当 x ∈U ( x0 , δ ) 时，有
x2 − 1 3 2x +1
≤
1 2 x −1 < x −1 < ε ， 3
可取 δ = ε ，于是： ∀ε > 0 ，取 δ = min {ε , 1} ， ∀x ： 0 < x − 1 < δ 有
4
x2 −1 2 − <ε ， 2 2x − x −1 3
由此证得 lim
x2 − 1 2 = 。 2 x →1 2 x − x − 1 3
注8
0 < x − x0 < 1 ，从而 x0 − 1 < x < x0 + 1 ,
前面的不等式便于取 δ 的值，后面的不等式便于缩放。 定义 3（左、右极限）简言之：
x→a−
lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ (a − δ , a ) 有 f ( x) − A < ε ； lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ (a, a + δ ) 有 f ( x) − A < ε 。
这就由 ε − M 定义证得 lim arctan x = −
x →−∞
π
π
2
。
x < −M 、 求得解集形如 x > M 、 评注： 确定 M 的方法通常是解不等式 f ( x) − A < ε ，
x > M ，进而确定 M 。
二 引例 注3 注4
x → x0 时的函数极限
观察下面函数图象（如图 3.3）在点 x0 =
x →∞
lim f ( x) = A ( x0 = 实数、 ±∞, ∞ ) ⇔ 对 A 的 注 2 不难归纳出函数极限的模式化语言：
x → x0
任意邻域 ( A − ε , A + ε ) ，都能找到 x0 的(空心)邻域，姑且记为 U 0 ( x0 ) (该邻域长度与 ε 有 关)， 当 x ∈ U 0 ( x0 ) 时,有 f ( x ) ∈ ( A − ε , A + ε ) 。 它的不等式叙述被叫做 ε − M 定义或 ε − δ 定义。 例1 按 ε − M 定义证明 lim
x2 − 2 = 4。 由定义证得 lim x →2 x − 2
注 7 请记住下面的简单不等式 （1） ∀ x ∈ ( 0 ,
π
2
)，有 sin x < x < tan x ； (P.44)
（由（1）立明） (2) ∀ x ∈ R 有 sin x ≤ x ； （3） ∀ x 、 x0 ∈ R 有 sin x − sin x0 ≤ x − x0 ， cos x − cos x0 ≤ x − x0 。(由和差化积 公式证明) 例4 证明 lim sin x = sin x0 ， lim cos x = cos x0 。 [解集 x − x0 ≤ δ (ε ) ]
注 5 （几何意义，详见教材） 。 注 6 在定义 2 中限制 δ 为很小的正数，不影响“ x0 的附近”这句话的含义。确定 δ 的 具体地说， 把式子 f ( x) − A 步骤通常是： 先从不等式 f ( x) − A < ε 中析出零因子 x − x0 ， 进行变形、放大，变成含有 x − x0 的式子 Φ ( x − x0 ) ，然后解不等式 Φ ( x − x0 ) < ε ，求出 形如 x − x0 < δ (ε ) 的解，最后确定 δ 。 证明 lim
只要使
π
π
arctan x < ε −
即使
π
2
，
2
可取 M = tan(
π
2
x < tan(ε − ) = − tan( − ε ) ， 2 2 − ε ) ；于是： ∀ε > 0 （限定 ε <
π
π
π
2
） ， ∃M = tan(
π
2
− ε ) ， ∀x < − M ，有
arctan x − ( − ) < ε 2
x → x0 x → x0
证明： ∀ε > 0 ，取 δ = ε ， ∀x ： 0 < x − x0 < δ 有
sin x − sin x0 ≤ x − x0 < ε ，
由定义证明得 lim sin x = sin x0 ，同理有 lim cos x = cos x0 。
x → x0 x → x0
例 5 证明 lim
1− x （1） lim −
x → ( −1)
= 0 ；[解集 0 < 1 − x < δ (ε ) ]
（2） lim + 1 − x 2 = 0 。[解集 0 < x − ( −1) = x + 1 < δ (ε ) ] 证明（1） ∀ε > 0 ，当 x < 1 时，要使
1 − x 2 − 0 = (1 + x)(1 − x ) ≤ 2(1 − x ) < ε ，
1 1 = 0 。[从 − 0 < ε 解出 x > M (ε ) ] x →∞ x x
证明： ∀ε > 0 ，要使
1 1 1 1 − 0 = < ε ，只要 x > 。可取 M = 。于是： ∀ε > 0 ， x x ε ε
∃M =
1
ε
> 0 ， ∀x ： x > M ，有 1 −0 < ε ， x
[教学时数]：14 学时。 [教学要求]： 1、能熟练地书写各种类型极限的“ε—A”和“ε—δ”定义及其否定叙述，并能应 用“ε—A”和“ε—δ”定义验证和证明一些简单的函数极限问题。 2、能准确叙述复合函数极限定理与海涅定理，并能熟练应用。 3、能准确叙述并证明函数的极限性质——唯一性、局部有界性、局部保号性和不等 式性质。 4、会应用迫敛性、有理运算、复合函数极限定理及两个重要极限，熟练地计算极限。 5、会用海涅定理判断某些函数极限不存在。
x →0
x>0 x =0， x<0
x →0 x →0
注 10 sgn x 是奇函数；显然在点 x = 0 有 lim sgn x = 1 , lim− sgn x = −1 ，故 lim sgn x + 不存在。 2．狄利克莱函数（图 3.5）
⎧0, D( x)＝⎨ ⎩1,
x为无理数， x为有理数。
0
f ( x) ∈ ( A − ε , A + ε ) ；
换成不等式叙述就是下面的定义。 定义 2 设函数 f ( x) 在点 x0 的邻域 U 0 ( x0 ) 有定义，那么： lim f ( x) = A ⇔ ∀ε > 0 ，
x → x0
∃δ > 0 ， ∀x ： 0 < x − x0 < δ ，有 f ( x) − A < ε 。
第三章
函数极限
§3.1 函数极限
一
x → +∞ 时的函数极限 x2 和数 A = 1 。 （如图 3.1） 1 + x2
引例：设函数 f ( x) =
试问： 对 y 轴上点 A = 1 的任意邻域 ( A − ε , A + ε ) ， 能 否 找到 x 轴上 +∞ 的邻域 使得当 x ∈ ( M , +∞ ) 时， 对应的函数值 f ( x ) ∈ ( A − ε , A + ε ) ？ （只要取 M = ( M , +∞ ) ， 即可） ① 现在把 f 看作一般函数，那么下划线内容的意思通俗地讲，就是“对于（在 y 轴上） 含点 A 的任意小区间，都包含了（ x 轴上“点”） +∞ 附近的所有点上的函数值” 。不难理解， 。 这个意思其实表达了“当 x → +∞ 时， f ( x ) → A ” ② 再把下划线内容“对于 A 的任意邻域 ( A − ε , A + ε ) ，都能找到 +∞ 的邻域 ( M , +∞ ) 当 x ∈ ( M , +∞ ) 时，有 f ( x ) ∈ ( A − ε , A + ε ) ”换成不等式叙述为： ∀ε > 0 ， ∃M > 0 ，
x →2
例3
x2 − 2 = 4 。[解集 x − 2 < δ (ε ) ] x−2
证明： ∀ε > 0 ，当 x ≠ 2 时，要使
3
x2 − 2 −4 = x−2 <ε ， x−2
可取 δ = ε ；于是： ∀ε > 0, ∃δ = ε , ∀x ： 0 < x − 2 < δ 有
x2 − 2 −4 <ε ， x−2
这就按 ε − M 定义证得本题。 例2 证明 lim arctan x = −
x →−∞
π
2
。[从 arctan x − ( −
π
2
) < ε 解出 x < − M (ε ) ]
证明： （如图 3.2） ∀ε > 0 ，要使（限定 ε <
π
2
）
arctan x − (− ) = + arctan x < ε ， 2 2
区间 ( M , +∞ ) 这一段上的函数图象都在两直线 y = A − ε 、 y = A + ε 之间。 定义 1* lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x < − M 有 f ( x) − A < ε ；
x →−∞
lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, ∀x ： x < M ，有 f ( x) − A < ε 。
只要使 1 − x <
ε2
2
，可取 δ =
ε2
2
；于是： ∀ε > 0 ， ∃δ =
ε2
2
， ∀x ： 0 < 1 − x < δ ， 即
1− δ < x < 1 有
1 − x2 − 0 < ε ，
1− x 这就按 ε − δ 定义证得 lim −
x →1
2
= 0。
（2） ∀ε > 0 ，当 x < 1 时，要使
这就按 ε − δ 定义证得 lim + 1 − x 2 = 0 。
x → ( −1)
定理 3.1 lim f ( x ) = A ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x ) = A 。
x → x0 x → x0 x → x0
证明（自证） 三 几个常用函数
1．符号函数（图 3.4）
⎧ 1, ⎪ sgn x = ⎨ 0, ⎪−1, ⎩
左右极限记号 f ( x0 + 0) 、 f ( x0 − 0) 经常使用。此外，在定义 3 中，经常把
x→a+
注 9
x ∈ ( a − δ , a ) 、 x ∈ ( a, a + δ ) 写成 0 < a − x < δ 和 0 < x − a < δ ，这种形式便于确定 δ 。
例7 验证：
2 x →1
注 11 D ( x ) 是偶函数，是周期函数（以任何正有理数为周期，没有最小正周期） 。 3．黎曼函数
⎧1 ⎪ , R ( x)＝⎨ q ⎪ ⎩ 0,
（ （图 3.6） 。
x=
p 1 , 且p 、q是互质的正整数， ∈ （0，） q
x = 0,1 及(0,1)内的无理数。
注 12 ∀ε > 0, 使 R ( x ) > ε 的点 x 至多有限个。 事实上，不难发现使 R ( x) =
1 的点 x 至多有 n 个： n
, xn −1 =
x1 =
Hale Waihona Puke Baidu
1 2 ， x2 = , n n
n −1 ； n
6
因此使 R ( x) ≥ 那么有
1 n(n − 1) ⎡1⎤ 的点 x 的个数至多为 个。 又由于 ∀ε > 0（设 ε < 1 ） ， 记N =⎢ ⎥， n 2 ⎣ε ⎦
1
ε
∀x > M ，有
f ( x) − A < ε 。
1
定义 1 简言之： lim f ( x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > a ， ∀x > M , 有 f ( x) − A < ε 。
x →+∞
注1
x →+∞
lim f ( x ) = A 的几何意义请参见教材；请注意定义 1 中横线内容的几何意义是：
1 − x 2 − 0 = (1 + x)(1 − x ) ≤ 2(1 + x ) < ε ，
5
只要使 1 + x <
ε2
2
，可取 δ =
ε2
2
；于是： ∀ε > 0 ， ∃δ =
ε2
2
， ∀x ： 0 < 1 + x < δ ， 即
−1 < x < −1 + δ 有
1 − x2 − 0 < ε ，
x2 − 1 2 = 。[解集 x − 1 ≤ δ (ε ) ] 2 x →1 2 x − x − 1 3
证明： ∀ε > 0 ，当 x ≠ 1 时，要使
x2 −1 x2 −1 2 − = <ε ， 2x2 − x −1 3 3 2 x + 1
限制 0 < x − 1 < 1 , 从而 0 < x < 2 (评注：不能用“即”字)，因此只要使
π
2
的“趋势” 。
函数 f ( x ) 在 x0 的“趋势”与 f 在 x0 的函数值并无关系。 由注（2）知， lim f ( x) = A 的模式化语言为：对 A 的任意邻域 ( A − ε , A + ε ) ，
x → x0
0 都能找到 x0 的空心邻域 U ( x0 , δ ) = ( x0 − δ , x0 ) ∪ ( x0 x0 + δ ) ，当 x ∈U ( x0 , δ ) 时，有
x2 − 1 3 2x +1
≤
1 2 x −1 < x −1 < ε ， 3
可取 δ = ε ，于是： ∀ε > 0 ，取 δ = min {ε , 1} ， ∀x ： 0 < x − 1 < δ 有
4
x2 −1 2 − <ε ， 2 2x − x −1 3
由此证得 lim
x2 − 1 2 = 。 2 x →1 2 x − x − 1 3