因式分解之换元法和主元法

分解方法的延拓

一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．

所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．

【例1】 分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．

【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．

A ．(y －z)(x+y)(x －z)

B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)

C ． (y+z)(x 一y)(x+z)

D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)

【例3】把下列各式分解因式：

(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2

；

(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；

(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；

(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．

配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．

【例2】分解因式：344422-+--y y x x = ．

【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．

【例3】把下列各式分解因式：

(1)1724+-x x ；

（2）22412a ax x x -+++；

(3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+；

(4)1232234++++x x x x

【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?

【例5】 如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少?

训练

1．(1)完成下列配方问题：[])()()()(212222++=+++=++x px x px x

（2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是 ． 2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝ ．

3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ．

4．已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么11

23-+n m 的值是 ．

5．已知052422=+-++b a b a ，则

b a b a -+的值为( ) A ．3 B ．3

1 C ．3- D ．31- 6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( )

A ．－2

B ．－l

C ．0

D ．2

7．44+a d 分解因式的结果是（ ）

A ．)22)(22(22+--+a a a a

B ．)22)(22(22---+a a a a

C ．)22)(22(22--++a a a a

D ．)22)(22(22+-++a a a a

8．把下列各式分解因式：

(1)4416b a +；

(2)4224y y x x ++；

(3)2222)()1(x x x x ++++；

（4）))((4)(2b a c b a c ----；

(5)893+-x x ；

（6）65223--+x x x

9．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值．

10．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝ ．

11．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是 ．

12．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则2002)(z y x --= ．