子空间迭代法

k 2k 3k
3 2 1
已知： θ = 0.7 已知：
k m
，不计阻尼。 不计阻尼。
k k k 2 2 ω3 = 6.2899 ω2 = 2.2943 m m m
ω 精确结果： 2 精确结果： 1 = 0.4158
1 [ X ] = 2.2921 3.9233 1 1.3529 −1.0453
c21 = {X }
0T 2
0 [m]{X}1
习题： 习题：
2 m 1、迭代法求 ω1 , {X }1 2 Psin θt 2、能量法求 ω1 m 2 2 瑞利3、瑞利-里兹法求 ω1 ,ω2 , {X }1, {X }2 4、振型分解法求稳态位移 m 5、直接法求稳态位移 6、模态加速度法求稳态位移 7、里兹向量分解法求稳态位移
--线位移； 线位移 {y}1 --线位移； {y}2 --转角位移； --转角位移 转角位移；
[m] [0]
y [0]{ɺɺ}1 [k]11 [k]12 {y}1 {0} {ɺ } + [k] {y} = {0} ɺ [J ] y 2 21 [k]22 2
⋯
{X}0 ] q
q = mn [2s, s + 8] i
2.用迭代法或逆迭代法迭代一次 2.用迭代法或逆迭代法迭代一次
[X ] = [D][X ] [k][X ] = [m][X ]
k k
k− 1 k− 1
3.将 [X ]k作为瑞利-里兹法的给定的q个向量 3.将 作为瑞利-里兹法的给定的q
{X} = [X ] {A}k
k
求q阶特征问题
[X ] [k][X ] = [k ] [X ] [m][X ] = [m ]
kT k * kT k *
[k ]{A}−ω [m ]{A} = {0}
* 2 *
得：
ω1,ω2 ,⋯ q ω
[A]k
} = {A 1
[
{A}2
k
⋯
k
{A}q ]
求里兹向量： 求里兹向量：
[ X ]k
= [X ] [ A]
4.检验收敛条件，不满足从第二步进入下一论计算。 4.检验收敛条件，不满足从第二步进入下一论计算。 检验收敛条件
二.收敛条件
k k− 1 频率： 频率： ωi −ωi m ≤ ε1 ax
(i =1 2⋯q) ,
一般 振型： 振型：
ε1 =10−3
k k xij − xij −1 m ax
≤ ε2
ε1 =10−5
2 [k] = 3 2 1 1 8 [m] = 9 10 6 4
4 3 5 6 4
− −3 − −5 − −2 − −1 − −4
[ X ]0
[ f ][m]{X}i
=
1
ω
2 i
{X}i
ɺ [ f ][c]{X}i Di
ɺ = [ f ]× 2ξiωi [m]{X }i D i
= 2 iωi ξ 1
ωi
ɺ {X}i Di 2
§4.7
里兹向量分解法
ɺ [m]{ɺɺ}+ [c]{y}+ [k]{y} = {P(t)} y
{P(t)} = {P}⋅ g(t)
1
{X} [m]{X }
T * i+ 1
* i+ 1
{X}
* i+ 1
2.用瑞利-里兹法计算里兹向量、里兹值 2.用瑞利-里兹法计算里兹向量、 用瑞利
[k ] = [X ] [k][X ] [m ] = [X ] [m][X ]
* 0T 0 * 0T
0
= [I ]q×q
[k ]{A} = ω [m ]{A} [k ]{A} = ω {A} [k ][A] = {A}[ω ]
1 i=
n
ωi
[ f ][m]{X}i
=
1
ω
2 i
{X}i
ɺ ɺ ɺ {y} = [ f ]{P}− ∑[ f ][c]{X}i Di −∑[ f ][m]{X}i Di
i =1
n
n
n
i =1
{y} = [ f ]{P}− ∑
1 i=
ξ 2 i ωi
ɺ {X}i Di −∑
1 i=
n
1
2 i
ω
Hale Waihona Puke Baidu
ɺ ɺ {X}i Di
1 − 0.6450 0.1219
−1.3155 {y(t)} = − 2.965 P sin θt − 5.814 k
= [ A]
T
若质量矩阵是对角矩阵
[m] = [L][L]T
[L] = [L]T
m 1 = m2 ⋯ mn
若质量矩阵是奇异矩阵，需先作缩聚。 若质量矩阵是奇异矩阵，需先作缩聚。 运动方程： 运动方程：
[m] [0] y [0]{ɺɺ}1 [k]11 [k]12 {y}1 {0} {ɺ } + [k] {y} = {0} ɺ [J ] y 2 21 [k]22 2
* 2 *
*
2
*
2
[ X ] = [X ]0 [ A]
3.计算位移反应 3.计算位移反应 用里兹向量代替振型对运动方程作解耦运算。 用里兹向量代替振型对运动方程作解耦运算。
ɺ [m]{ɺɺ}+ [c]{y}+ [k]{y} = {P(t)} y {y} = [X ]{D}
二.正交向量的构造
{X}
j=2时 j=2时
(i = 1 2,⋯q −1 , )
0 使其与已得到的向量对质量正交： 改造 {X }i+1使其与已得到的向量对质量正交：
{X }
* i +1
= {X }
0 i +1
− ∑ci+1,k {X }k
k= 1
i
0
ci+1,k = {X } +1[m]{X }k i
0T
0
将 {X }*+1 标准化 i
0 {X}i+1 =
1 0 1 0 = 1 0 1 1/ 6 1 0
0 0 1/10 0 0
1/ 8 0 0 0 0
1/ 4 0 0 0 0
§4.5
化广义特征问题为标准特征问题
[k]{X} = ω2 [m]{X}
一.分解质量矩阵
左三角矩阵
[m] = [L][L]T [k]{X} = ω2 [L][L]T {X } [k][L]−T [L]T {X} = ω2 [L][L]T {X} {Z} = [L]T {X } [L]−1[k][L]−T {Z} = ω2{Z} [ A]{Z} = ω2{Z} [A] = [L]−1[k][L]−T
[X ]0中的第一列全部置1； 中的第一列全部置1
其它各列每个向量中只有一个非零元素，其位置及数 其它各列每个向量中只有一个非零元素， 值这样确定： 值这样确定： 先计算各个比值 m / kii 并按从大到小排序，从第二 并按从大到小排序， ii 送入第i个元素的位置。 列开始依排序将 1/ m送入第i个元素的位置。 ii 例：
22
二.分解刚度矩阵 与分解质量矩阵类似。 与分解质量矩阵类似。
§4.6
模态加速度法
ɺ [m]{ɺɺ}+ [c]{y}+ [k]{y} = {P(t)} y
{y} = ∑{X}i Di (t)
ɺ ɺ ɺ {y} = [k] {P}− [k] [c]∑{X}i Di −[k] [m]∑{X}i Di
* j
= {X } − ∑c ji {X}i
0 j i= 1
j− 1
0
{X}
* 2
= {X } − c21{X} 1
0 2
0
{X} [m]{X}
*T 2 0 2
0 1
=0
0 0
({X } − c21{X} )T [m]{X} = 0 1 1
{X} [m]{X}
0T 2
0 1
− c21{X} 1
0T
0 [m]{X}1 = 0
一.计算步骤 1.由荷载分布确定初始向量 [ X ]n×q 1.由荷载分布确定初始向量 0 由荷载通过静力条件确定 {X}1
0
[k]{X}0 1
0 {X}1
} = {P
1
=
{X} [m]{X}
0T 1
0 1
{X}
0 1
确定其它向量 {X}i0
(i = 2,3,⋯q)
0 0 [k]{X }i+1 = [m]{X}i
--线位移 线位移； {y}1 --线位移； {y}2 --转角位移； --转角位移； 转角位移 若转动惯量小到可略去不计
[m]{ɺɺ}1 + [k]11{y}1 + [k]12{y}2 = {0} y [k]21{y}1 + [k]22{y}2 = {0} {y}2 = −[k]−1[k]21{y}1 −1 [m]{ɺɺ}1 + ([k]11 −[k]12[k]22[k]21){y}1 = {0} y
三.初始值的给定
[X ]0中的第一列全部置1； 中的第一列全部置1
其它各列每个向量中只有一个非零元素， 其它各列每个向量中只有一个非零元素，其位置及数 值这样确定： 值这样确定： 先计算各个比值 kii / m 并按从小到大排序，从第二 ii 并按从小到大排序， 送入第i个元素的位置。 列开始依排序将 1/ m送入第i个元素的位置。 ii
§4.4
子空间迭代法
子空间迭代法是求n自由度体系前s阶振型、频率的方法。 子空间迭代法是求n自由度体系前s阶振型、频率的方法。 一.计算步骤 对于一个n自由度体系,欲求其前s阶频率和振型的步骤为： 对于一个n自由度体系,欲求其前s阶频率和振型的步骤为： 1.给定q 1.给定q个n维向量 给定
0 [ X ]0×q = [{X}1 {X}0 n 2
−1 −1 −1 i =1 i= 1 i= 1 n n
n
ɺ ɺ ɺ {y} = [ f ]{P}− ∑[ f ][c]{X}i Di −∑[ f ][m]{X}i Di
i =1
n
n
n
i =1
{y} = [ f ]{P}− ∑
1 i=
ξ 2 i ωi
ɺ −∑ 1 {X} D ɺ ɺ {X}i Di i i 2