必修2 第三章 直线与方程 知识点及经典例题

数学必修2 第三章 直线与方程练习

知 识 点

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

性质：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=0°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)

90,0∈α时，0≥k ； 当(

)

180

,90∈α时，0

90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11

2121

y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：

1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）垂直直线系

垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=+-C y A x B （C 为常数） （三）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:

1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组⎩⎨

⎧=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-

（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B

A C By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 填空或选择可以用：0:11=++C By Ax l 0:22=++C By Ax l

2

2

21B

A C C d +-=

经典例题

【例1】(1)已知A (3, 2), B (-4, 1), C (0, -1), 求直线AB , BC , CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. (2)已知三点A (a ，2)，B (3，7)，C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．

解：(1) 直线AB 的斜率1121

437

k -==--->0, 所以它的倾斜角α是锐角;

直线BC 的斜率2111

042k --=

=-+<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA 的斜率312

103

k --==->0, 所以它的倾斜角α是锐角.

(2)725

33AB k a a

-==

--， 7(9)793(2)5BC a a k --+==--. ∵ A 、B 、C 三点在一条直线上，

∴ AB BC k k =， 即57935a

a +=

-， 解得2a =或2

9

a =.

【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.

解：如图所示, 直线P A 的斜率是12(3)

51(2)

k --==---,

直线PB 的斜率是2021

3(1)2

k -==---.

当直线l 由PA 变化到y 轴平行位置PC , 它的倾斜角由锐角(tan 5)αα=增至90°，斜率的变化范围是[5,)+∞；当直线l 由

PC 变化到PB 位置，它的倾斜角由90°增至1(tan )2ββ=-，斜率的变化范围是1

(,]2

-∞-.

所以斜率的变化范围是1

(,][5,)2-∞-+∞.