收益率与波动率股票的一般价格分布

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! 欧式看涨期权的定价
股票期权有两种基本类型，即看涨期权和看跌 期权。看涨期权的持有者有权在某一确定时刻以某 一确定价格购买标的资产（如股票）；看跌期权持有 者则有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的 资产。利用看涨期权与看跌期权的平价关系，无套利
其中，!（"）" !"。由｛%!（#）｝为一 A;8<8?过程知 !（#）应为期望为"!，方差为"!! 的正态分布：
收稿日期万：!方""数#$#据#$"%
作者简介：李明新（#&’%(），男（汉族），山东滨州人，讲师，在职硕士研究生，从事统计及金融数学的教学和科研工作。
第#(卷 第"期
李明新等：具有随机收益率与波动率股票的一般价格分布
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合理的解释是宏观经济相关因素干扰，即经济发展
中的拟周期性，归结为收益率随机变化应该是自然
的。相对于仅考虑收益率的随机性为波动率而人为
取定! 值，客观取其为随机过程更为合理。粗略地考 虑期权价格与收益率独立难以更好地说明其内在规
律性，@%#，@%!，@%+ 相互独立亦为理想假设，但它带 来了分析问题的简洁。当然，当’""时，!的随机性 消失，这种情况下由模型（#，+）确定的股价过程已 有很多人进行过讨论［!(%］。
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正态分布：
第二项积分可以化简为
现象，即#$，%& 分别为长期考虑收益率与波动率的 值。对某一时刻#，其变化趋势分别为以速率#，% 拉 向这一均衡点，’ 和’ 为市场不可预知的非系统风 险。收益率曲线的随机期限结构构想基于 B8?:7<的 随机利率模型和实证分析两个方面。CD>;<9:8;<曾研 究了#&*’年)月!+日至#&*)年)月+#日+"种活 跃期权价格，其偏差明显地分为两个阶段，一种比较
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参考文献：
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衡模型及对数效用亦可将式（"#）中的"# 看作!或 常数值，这样，就可以回避风险偏好，采取风险中性
定价的方法给出式（"#）中 # 某边值问题的解。
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摘要：研究了收益率及波动率均为扩散过程的股票价格分布问题，给出了二者独立情况下分布的解析形式，并
应用于欧式期权的定价。
关键词：股票；价格分布；收益率；波动率；欧式期权
中图分类号：.!#!
文献标识码：/
引言
在期权定价及更一般的金融服务衍生证券定价 中，合理的假定股票价格分布是十分必要的。常用 的方 法 是 假 设 其 服 从 对 数 正 态 分 布，应 用 01234$ 53621789模型 给 出 定 价。 研 究 表 明，定 价 偏 差 经 常 是系统而 非 随 机 的，为 此，人 们 提 出 了 各 种 修 正 的 01234$5361789模型。这些模型的共同之处在于假定 波动率存在 随 机 干 扰 为 扩 散 过 程［#，!］，而 收 益 率 是 非随机的。在基于股票价格的衍生证券定价时，可 以假定股票预期收益率为无风险利率，然后贴现期 望赢利，二者相抵即可避开收益率随机干扰。但考 虑到利率的期限结构及其不可交易性，以及长期期 权与随机利率的相关性，加上投资注资期的不同，很 难将股票价格变化分解为依时间有固定变化率的部 分与一个随机项的和。因此，笔者假定收益率与波 动率均为随机过程，对5:8;<89的模型采用过拟合方 法，即假设收益率本身包含一个随机项，推出定价公 式来做方差分析，得出更恰当的定价体系。在假定 收益率和波动率服从 =618<>234$.?<89:8?<过程的 情况下，给出一个相对简明的股票价格分布的解析 解，并将其应用于欧式期权定价。
（责任编辑 刘为清）
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4
4
（上接第"!0页） 和一个/4限制的54系的余直积。
证明 !1"：显然成立。 "1!：设 67是投射的，6267，必存在满同态 8：9 36，其中 9 是投射的，则 6 9 267 9 ， 而 67 9 是投射的，故由"可知 6 9 5)，由投 射类的定义得，6 是投射的，从而5 是遗传的。 !1#1$：显然成立。 $1 "：设 67是 任 意 一 个 投 射 的54系，6 2 67，只须证 65)，令 97[ 6$，$5:，6$[67；9 [ 6$，6$[6，$5:，6:67/。则 9 297，97是 投射的。若 9 5)，则 65)；若存在 ) 中的54系 ; 和/4生成的54系<，使得 9 [; <。对 < 做不 可分分解，则 <[ <%，%5=，6=68/，<% 是不可分 54系。那么 <%[<%99 [<%9（ 6$）[ （<%9 6$）。由 <万%方的数不据可分性可知，存在惟一的$%5:，使
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万方*数#(据#+#/#
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期权的组合，因此对相对简单的欧式看涨期权的定
价讨论一直是金融界所关注的问题。
对于依赖1 个状态变量%2 和时间#的衍生证券 3，:/77给出它所满足的微分方程为
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2，4*24$2$43%2%4
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对依赖于+，! 和$ 的证券3，则有
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’#$#+#366 $5+36 &53 $ ’#’#3!! $ ’#’#3$$$
3$［&&（$&%）&’$’］$3!［&#（!&"）&’!’］
·"!4·
石油大学学报（自然科学版）
$!!$年"!月
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（"#）
其中，#!$!%
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!$# 。 !!$!!%
式中，"#，"$ 为股票收益率与波动率风险的市场价
! 数学模型
假定股票价格! 满足： @! "!!@#$"!@%#，
此处! 和" 分别服从 @! "&#（!&$）@#$’@%!， @" "&%（"&&）@#$’@%+(
（#）
（!） （+）
" 股票价格分布
由 ED??8:［’］的结果，可以得到模型（!）的解为
#
! !（#）"$$)&##（!"&$）$’ )#*@%!（*）， （-） "
格；& 为无风险利率；由于#，$ 均为非可交易资产，
无法采取无套利方法消除投资者不同类型风险偏好
的影响。对波动率来讲，可以在对数效用函数的假设
下，将"$ 看作!或任意常数给出式（"#）的解［$］。其 基本理由是在对数效用函数下，参数所基于的各种
因素为定值，即市场组合的标准差以及高度可分股
票的收益方差和此市场组合的相关系数为定值。这
式中，! 为期望收益率；" 为股票价格波动率；#，%， $，&，’和’ 为固定常数，@%#，@%!，@%+为相互独立的 A;8<8?过程。
模型（#）为通常的股票价格模型，当 ! 为常数 时，模型（#，+）即为 5:8;<模型。在模型（!，+）中，@# 的系数形 式 来 源 于 经 济 界 普 遍 认 为 的“ 均 值 回 复 ”
率。类似于"，由式（,，-），亦可得出对于到期日相距
｛ ｝ 很远的长期波动率的方差为#’&##，$（#）的初值亦可
取为$! !%，% 为长期平均波动率。
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将 +（#）的 分 布 密 度 函 数 记 为 )（+，#），且 记 假设下，可以采取有效的算法推出其他期权价格。由
-!，$（.，/）为 !（#），$（#）的联合分布密度，则
于绝大多数的证券可视为某种形式看涨期权和看跌
88
"" )（+，#）! &8 !-!，$（.，/）,（.，/）*.*/(
（’)）
!""!年 第!’卷 第%期
石油大学学报（自然科学版） H7D?<217I:68=<;J8?9;:K7IL8:?718DM，N6;<2
文章编号：#"""$%)*"（!""!）"%$"#"’$"+
F71,!’ G7,% .3:,!""!
具有随机收益率与波动率股票的一般价格分布
李明新#，!，李 元!
（#,石油大学应用数学系，山东东营 !%*"’#；!,广州大学数学系，广东广州 %#"-"%）
76+
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’#/##）#
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0
023 &#（/#’$#$#!）（!!&76+ & ’#/##）# ，
这样)（+，#）的表达式为
给定! 和$，./&&01给出方程（’）的解为
"｛ （ ） " ｝ +（#）!+（!）023
# !
!& ’#$#
*)$
#
$**’（)）
!
｛（ ） ｝ !+（!）023 !& ’#$# #$$*’（#） (
［T］ %<L;UM L O> ;?& (?&)’R )C ’,(@)*,3 )1(@)* 1’@A@*B［8］>V&338)G’*,3)C<A)*)+@AD,*/ %,*,B&+&*( KA@&*A&，"I#T（，S）："S"J"4T>
［S］ 9:WW:MK8V>U1(@)*F,3G&DG*/&’D()A?,D(@AF)3,(@3@(R： (?&)’R,*/&+1@’@A,3&D(@+,(&D［8］>8)G’*,3)CH@*,*A@,3 <A)*)+@AD，"I4#，"I：T0"JT#$>