第二类曲面积分的计算方法zx
第一型曲面积分.
例5? 设有空间闭区域仏={（x 』,z ）|L 十b + z* 炉,z"}, 。2 ={（*』，Z ）|x2 + y' + z* 炉,xno 』no,zno},则有（「） (A) Jff = 4fJf xdv a \ 口 2 (C) JjJ 皿=4jJJz 加 2 n 2 解：由对称性， JJj xdv = 0, JJJ xdv JJf ydv = 0, JJf ydv 工? n. ?2 Jjj xyzdv = 0, JJJ xyzdv □ 门2 3.含绝对值函数的二重积分的计算 例1计算血-兀2|db ?其中6-1 W0"" 解 先去掉绝对值符号，如图 川y_p|db D =jj (x 2-j)da + JJ(y-x 2 )da Di 4-D J D 、 訂:时:（宀刃与+匸时:0-兀湎=*? (B) |JJ ydv = 4jjj ydv
4、交换积分次序的方法 1.计算fdxfxb - dy 解由于卜一心堤无法积出类型，则需交 换积分次序， y \ /歹=x V D： O^x 定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+ 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 0 前言 (1) 1直接利用公式进行计算 (1) 2利用积分曲面的对称性进行计算 (3) 3利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6) 4利用高斯公式进行计算 (6) 参考文献 (9) 探讨第二型曲面积分的计算方法 姓名：李亚平 学号：20105031272 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：张萍 职称：讲师 摘 要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释． 关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式． The application of symmetry to the calculation of curvilinear integral and camber integral Abstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay ．And the proves of theorems is also included ． Key Words ：symmetry ；curvilinear integral ；camber integral ；gauss formula ． 0 前言 众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论． 1 利用公式直接进行计算 大家知道，若()z y x R ,,在光滑有向曲面()()xy D y x y x z z ∈=∑,,,:上连续，则()??∑ dxdy z y x R ,,存在，且有计算公式： ()()()d x d y y x z y x R d x d y z y x R xy D ????±= ∑,,,,, (1) 其中xy D 表示∑在xOy 面上的投影区域，当曲面取上侧时(1)的右端取“+”号，取下侧时取“—”号． 第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021 第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为 }{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量 形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿 空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的 第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线 o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化 定积分 (1) 选择积分变量 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(),(), (, ),(22βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'=≤≤? ? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且 上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意: ;.1βα一定要小于上限定积分的下限. ,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ?? '+=ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d c L ?? '+=?? ).(, sin ,cos :,象限第椭圆求I ? ? ?===?t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2220 )cos ()sin (sin cos +-?=?π dt t b t a t t ab 222220 cos sin cos sin +=?π ?-= a b du u b a ab 22 2) cos sin (2222t b t a u +=令. ) (3) (22b a b ab a ab +++=例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-==?x y L yds I L x y 42=解 dy y y I 222)2 (1+=?-. 0=例3 ) 20(., sin ,cos :, πθθθθ≤≤===Γ=?Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θθθd k a k a 222sin cos +?? =π 20 I . 2 1 222k a ka +-=π例4 ?? ?=++=++Γ=?Γ . 0, , 22 2 2 2z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知 . 22 2 ???Γ ΓΓ==ds z ds y ds x ?Γ ++=ds z y x I )(312 22故例1 定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样， 第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. 师范大学 本科毕业论文 题目：第二型曲线积分与曲面积分的计算方法专业：数学与应用数学 系班：数学与信息科学系2006级数本2班毕业年份： 姓名： 学号： 指导教师： 职称：教授 目录 本科毕业论文任务书 (1) 本科毕业论文开题报告 (3) 本科毕业论文登记表 (5) 毕业论文论文正文文稿 (7) 本科毕业论文答辩记录 (15) 西北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 学生姓名系、专业、班级 数学与信息科学系 数学与应用数学2006级数本2班 毕业年份2010年学号 指导教师职称教授 一、文献查阅指引 1. 查阅的专著 [1] 华东师大数学系. 数学分析(下)[M]，第三版. 高等教育出版社，2001，224-231. [2] 刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义(下)[M]，第四版.高等教育出版社，2003，75-388. [3] 林源渠，方企勤. 数学分析解题指南[M]. 北京大学出版社，2001，38-362. [4] 陈文灯. 数学复习指南[M]. 世界图书出版社，2000，276-287. [5] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析[M]. 机械工业出版社，2002，175-188. [6] 华中科技大学数学系.考研特别快车—数学[M].华中科技大学出版社，2001，04-212 2. 查阅的学术论文及期刊 [1] 孙一生.第二型曲线与曲面积分计算的基本方法与技巧[J].《哈尔滨师范大学自然 科学学报》，1989，5（2）：106-112 . [2] 陈少元.第二型曲线积分计算方法与技巧[J]. 科技信息（学术版），2007（1）. 3. 查阅的相关网站 [1]http //https://www.360docs.net/doc/b19230340.html,/Periodical_lygzyjsxyxb200604029.aspx . 二、内容要求 1. 提出第二型曲线积分与曲面积分的基本计算方法. 2. 查阅相关的资料、书籍对所用到的基本计算方法进行分析，并加以概括与总结. 3. 论文中所用到的实例必须具有典型代表性，而且逻辑推理性强、分析恰当. 4. 论文可以借鉴相关的研究成果，但不能抄袭. 第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中， 必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二 型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌 握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题 型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说 明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第 一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系， 让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的 应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++v v v v , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++v v v v 则 若∑为曲面，流速v v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =v v 和单位法向量i n v 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义 第二类曲面积分的计算 方法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过 程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧. 由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知 识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在 求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种 方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分， 并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重 积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第 二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 定义 .S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时, z .S xy i i i S xoy S z ?在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时, .S xy i i xoy S ?他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,) i i i ξηζ. 若 lim 1 T n i P →=∑,(,)i i i ξηζyz i S ?0 lim 1 T n i Q →=+ ∑,(,)i i i ξηζzx i S ?0 lim 1 T n i R →=+ ∑,(,)i i i ξηζxy i S ?存在， 或者 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/b19230340.html, 第二型曲面积分的计算方法 作者：周三章赵大方 来源：《科教导刊》2014年第24期 摘要本文从化归的角度，介绍利用高斯公式和合一投影法简化第二型曲面积分的计算，并结合实例予以说明。 关键词第二型曲面积分高斯公式合一投影法 中图分类号：O172.2 文献标识码：A Methods of Computing the Second Surface Integral ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2] （[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University，Huangshi， Hubei 435002； [2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002） Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example. Key words the second surface integral； Gauss formula； projection 高等数学的学习中，第二型曲面积分的计算是一个难点。计算第二型曲面积分方法比较多，计算的难易程度也不同。如果运用化归的思想，通常可以达到事半功倍的效果。化归的思想具体表现在运用合一投影法，高斯公式简化求解过程。本文以几例具体来说明以上两种 计算方法。 1 利用高斯公式转化为三重积分计算 引理[1]：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数（），（），（）在具有一定阶连续偏导数，则有 （ + + ） = + + ， 或 第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020 第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形 式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有 向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx 第二类曲面积分的计算 方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程 中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面 广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 第二类曲线积分的计 算 第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是 弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P ),(),(+=由于 ),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方 向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ??从而力()y x F , 在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F , 沿L 所作的功可近似等 于 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的 极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 2.2 第二型曲线积分的定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 第一节 第一类曲面积分 内容要点 一、 第一类曲面积分的概念与性质 定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ?(i S ?同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ?上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积 ),,2,1(),,(n i S f i i i i =??ζηξ 并作和 ,),,(1 ∑=??n i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 ∑??=→∑ ?=n i i i i i S f dS z y x f 10 ),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法 .),(),(1)],(,,[),,(22 ????++=∑xy D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3) 例题选讲 例 1 计算曲面积分,??∑z dS 其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --= ∑在xOy 面上的投影区域:xy D {} .),(2222h a y x y x -≤+ 又,12 2 2 22 y x a a z z y x --= ++利用极坐标 故有 ?? ?? -=∑ xy D r a adxdy z dS 22 220 202 22 2r a rdr d a r a ardrd h a D xy -=-=? ? ?? -θ θ π 2 20 22)(212h a r a In a -??????--=π .2h a aIn π= 例2（E01）计算,)(??∑ ++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面252 2=+y x 所截得的部分. 解 积分曲面 ∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D xy定积分的方法总结
探讨第二型曲面积分的计算方法
第二类曲线积分的计算
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
曲线积分的计算法
定积分的性质与计算方法
第二类曲面积分的计算方法
数学专业毕业论文-第二型曲线积分与曲面积分的计算方法
第二类曲线积分的计算
第二类曲面积分的计算方法
第二类曲面积分的计算方法
第二型曲面积分的计算方法
第二类曲线积分的计算
定积分计算公式和性质
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
第二类曲面积分的计算方法定稿版
第二类曲线积分的计算教案资料
曲面积分精解