高等数学第7章微分方程解答

习题7-2 可分离变量的微分方程

1求下列微分方程的通解： （1）

2211y y x -='-；

解

=

=

两端积分得 arcsin arcsin y x C =+，（C 为任意常数）

即为原方程的通解。

（2）0tan sec tan sec 2

2

=+xdy y ydx x ；

解 将原方程分离变量，得 22sec sec tan tan y x

dy dx y x

=-

两端积分得ln

tan ln tan ln y x C =-+ 或ln tan tan ln x y C =

故原方程的通解为tan tan x y C =（C 为任意常数）。

2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）e y

y y x y x =='=

2

,ln sin π

；

解 将原方程分离变量，得

ln sin dy dx

y y x

= 两端积分得()tan ln 2ln tan 2

x d d y x y ⎛

⎫ ⎪

⎝⎭

=⎰⎰， 即ln ln ln tan ln 2x y C =+

故原方程的通解为ln tan

2x y

C =,代入初始条件,2

x y e π

==,得1C =.于是,所求之特解为tan

2

x

y e

=.

（2）.1,022

==+=x y ydx xdy

解 将原方程分离变量，得

2dy dx y x

=- 两端积分得

2dy dx

y x =-⎰⎰， 即ln 2ln ln y x C =-+

故原方程的通解为2

x y C =,代入初始条件2,1x y ==,得4C

=.于是,所求之特解为24x y =.

3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程. 解 设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x 轴与y 轴上的截距分别为2x 与2y,于是切线的斜率

2002y y

y x x

-'=

=--,分离变量得dy dx y x =-,积分得ln ln ln y x C =-+,即xy C =. 代入初始条件

23x y ==,得6C =,故曲线方程为6xy =.

习 题 7-3 齐次方程

1、求下列齐次方程的通解 （1）022=---

'x y y y x

解 (a) 当0x >时,可将方程改写成y y x '=+.令y u x =,即y xu =,所以有

y u xu ''=+.则原方程成为u xu u '+=+分离变量,

dx

x

=

.

两边积分得ln ln ln u x C +=+,即u Cx +=.

将y u

x

=

代入上式整理,得通解为2y Cx =;

(b) 当0x <时,方程两边同除以x -,则原方程可改写成0y

y x

'-+-

=,即

0y y y y x

x ''--

=--=(因为0x <时,x x -==),也就是

y y x '=+与x >0的情况一样)

所以,对任意的0x ≠,方程的通解为

2y Cx =(C 为任意常数).

（注:如果C =0,则由原方程知,0xy '=,即0x =或

y A =,若0x =,则原方程变为0y +=,

只有当0y <时成立;若y A =(A 为常数),则原方程变成0A +=,当A <0时方程有解.）

（2）0cos 3)cos 3sin

2(=-+dy x

y

x dx x y y x y x 解 原方程可改写成2tan 03y y dy x x dx +-

=.令y

u x

=,即y xu =,所以有y u xu ''=+.则原方程成为2tan 3du u x u u dx +=+.分离变量,得32tan du dx

u x

=.

两边积分得

3

ln sin ln ln 2u x C =+,即32sin u Cx =. 将y u x =代入上式,得通解为32sin y Cx x

=(C 为任意常数). 2. 求齐次方程1|,

02)3(02

2

==+-=x y xydx dy x y 满足所给初始条件的特解

解 原方程可写成2

1320x x dx

y y dy ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭

.令x u y =,即x yu =,有dx du u y dy dy =+,所以原方程成为2

1320du u

u u y dy ⎛⎫

-++= ⎪⎝

⎭.

分离变量,得

2

21u dy du u y

=-,积分得2

ln 1ln ln u y C -=+,即21u Cy -= 代入x u y

=

并整理,得通解为223x y Cy -=. 由初始条件0,1x y ==,得1C

=-.于是所求特解为322y y x =-.

习 题 7-4 一阶线性微分方程

1、求下列微分方程的通解 （1）

x e y dx

dy

-=+ （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y . 解 (1) 由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为

()

().dx dx x x

x

x x y e e e dx C e e

e dx C e x C -----⎡⎤⎰⎰=⋅+=⋅+=+⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

(2) 将原方程改写成

22

2cos 11

x x

y y x x '+

=--.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为 ()22222112222cos 1cos sin 11111x x

dx dx x x x x x C

y e e dx C x dx C x x x x -

--⎡⎤+⎰⎰⎡⎤=+=-+=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎢⎥⎣⎦

⎰⎰.(C 为任意常数)

(3) 将原方程改写成

11

ln dx x dy y y y

+=,由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为 ln ln ln ln ln ln 1111dy dy

y y

y y y y x e e dy C e e dy C y y -

-⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

2111ln 11ln ln ln 2

y dy C y C y y y ⎛⎫⎛⎫=

+=+ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 即

()212ln ln 2x y y C C C =+=.(C 为任意常数)