2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷

3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：

1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、

准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么

球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+

24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B •=•

球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么

34π3

V R =

n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

其中R 表示球的半径

一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()

u A

B 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （

C ）5个 （

D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴=故选A 。也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B = （2）已知

1i

Z

＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。(3) 不等式

1

1

X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }

{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 解：验x=-1即可。(4)设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双

曲线的离心率等于( C )

（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'

0|2x x y x ==.由题意有

00

2y x x =又2001y x =+

解得: 2201,2,1()5b b

x e a a

=∴

==+=. (5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有11

25

36225C C C ⋅⋅=种选法 (2) 乙组中选出一名女生有211

56

2120C C C ⋅⋅=种选法.故共有345种选法.选D

（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最小值为 ( D ) （A ）2- （B 22 （C ）1- (D)12 解:,,a b c 是单位向量()()

2

()a c b c a b a b c c

∴-•-=•-+•+

1||||12cos ,12a b c a b c =-+•=-<+>≥- D.（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在

底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的

B

C B C A 1

1

D

角的余弦值为（ D ）（A ）

34 （B ）54 （C ）74 (D) 34

解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113

co c s 4

os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠⋅=⋅=.故选D （8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫

⎪⎝⎭

，0中心对称，那么||ϕ的最

小值为（A ）

6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

π 解: 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫

⎪⎝⎭

，0中心对称

4232k ππφπ∴⋅

+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6

π

φ=.故选A (9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

解:设切点00(,)P x y ，则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'

01|1x x y x a

===+

00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B （10）已知二面角l αβ--为60

，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ C ） (A)

(B)2 (C) 23