河流动力学——第五章

则无法知道含沙浓度SV。
2、当y=0时，即在床面处，含沙浓度SV＝∞； 当y=h时，即在水面处，含沙浓度SV＝0； 不仅与实际不符，而且在理论上也难以解释。
悬移质含沙量沿垂线分布公式的应用
理论上：
可以确定水下任意一点（y≥a）处的相对含沙量 ❖ 给定水下任意两点处的含沙量，可以推求他们的相对
位置。
dSv dy
Graf和Cellino利用声学颗粒流速仪技术进行了系列
水槽试验，得到了m和y值沿垂线分布的实测结果。试
验表明，在平衡输沙条件下(含沙量等于挟沙能力)，
存在床面形态时，沿垂线平均的>1，
❖没有床面形态时，沿垂线平均的<1。
右图为根据试验资料、按定义式
计算得到的泥沙扩散系数y和动量交 换系数m沿垂线分布(<1的情况)。图 中实点据为值y ，虚点据为m 值，实
扩散理论
当悬移质含沙量的垂线分布达到平衡状态时，泥沙 的紊动扩散过程是均匀、恒定的，则：
Sv t
U
Sv x
x
(
x
Sv x
)
y
(
y
Sv
)
y
Sv y
Sv 0 t
Sv 0 x
d dy
(
y
Sv ) y
dSv dy
0
假设：
1.ω为常数；
2.εy为常数，意即紊动在 y 垂线上是均匀的。
dSv dy
Sv t
U Sv x
(usv x
)
(vsv y
)
ω
Sv y
确定因水流紊动而引起的泥沙扩散输移率 usv 和 vsv ，一般有两种方法。
一是与 Fick 定律直接类比，即假定泥沙的扩散输移 率与泥沙的浓度梯度成正比：
usv
x
dSv dx
vsv
y
dSv dy
二是借用紊流模型中的混掺长度理论，设浓度和垂 向流速的脉动可写为：
sv
L dSv dy
,v
du L
dy
vsv
L2
dU dy
dSv dy
usv
x
dSv dx
vsv
y
dSv dy
y
L2
dU dy
最后可得二维水流中悬移质泥沙的扩散方程：
对流项
Sv t
U
Sv x
(usv x
)
(vsv y
)
ω
Sv y
vsv
y
dSv dy
usv
x
dSv dx
水流紊动引 起的扩散项
Ut=U+u，Vt=V+v , Ｓvt=Sv+sv
式中大写字符为时均值，小写字符为脉动值，将上式代 入(5-2)式，取长时间平均, 且脉动值的长时间平均为零， 分子扩散系数为常数。对于二维水流来说, 垂直方向的时均 流速为零 V=0，对于均匀流，U/x=0，最后得出泥沙的 扩散方程。
最后得出泥沙的扩散方程为：
沉降项
Sv t
U
Sv x
x
( x
Sv ) x
y
(
y
Sv ) y
Sv y
同样可推导出三维水流中悬移质泥沙的扩散方程：
Sv t
U
Sv x
x
( x
Sv ) x
y
(
y
Sv ) y
z
( z
Sv ) z
Sv y
§5.2 悬移质含沙量的垂线分布
泥沙的重力沉降使得含沙水流中沿垂线形成上清下浑的 浓度分布。
多沙河流中的泥沙输运大部分是以悬移运动的形式 进行的。
例如，长江泥沙以悬移质输沙为主，约占总输沙量的90% 。
在三峡水库蓄水卵前石，推移长质江宜昌站沙多质推年移平质 均的卵石悬推移移质 质
(沙D量>1约0m宜寸为昌滩m8站站)6年2万输t沙，量而约悬(2D87>为.6移9170万7m万质6tmt万)(Dt5，0=沙0.0质(D351推860=60m020移.2万万m1m质tt)m年)(D输50沙=0量(.D25则1054=.m.206达6.0亿m亿31到tm)t 年m5).输26
基本方法：
用梯度型扩散(如Fick扩散定律)来描述颗粒随机运动的宏观 结果。
Fick扩散定律：
德国生物学家A.Fick 认为热在导体中的传导规 律可用于解释盐分在溶液中的扩散现象：
Dn
n
dsvt dn
即单位时间内通过单位面积的溶解物质Dn与溶质
浓度Svt在该面积的法线方向n的梯度成正比。式中n
为n方向的扩散系数，对于泥沙扩散的情况，Svt即代 表瞬时含沙浓度。
Sv
0
S e v
( ya)/ y
S va
Rouse试验
为了检验悬移质含沙量的垂线分布公式是否合理， Rouse (1938)在圆筒中加一组等间距的格栅，使格栅在 园筒中作上下简谐振动，从而在较长一段垂向距离内得 到均匀的紊动流场。通过测量四种不同粒径的泥沙在不 同浓度的垂线含沙量分布。试验结果表明含沙量分布基 本符合式( 5-15 ) 的理论曲线。
x
Ut Svt xyt
x
由于分子的扩散作用而进入和流出该隔离体的 染色物质的差值为 ：
( g
Svt x
yt) [ g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Svt x
x
(
g
Svt )x]yt x
x
(
g
Svt )xyt x
y方向：
由于水体流动而进入和流出该隔离体的染色物
质的差值为 ：
vt Svtxt
[Vt Svt
Vt Svt
y
Rouse试验表明，对某些特定的条件，可以取y为 常数。而对于天然河道，可以近似取为：
y 0.067u*h
进一步的研究表明，泥沙的扩散系数y 不是常数而 是空间位置的函数，但现有的理论还不能给出y 沿垂线
的分布规律。
最常用的方法是假定泥沙扩散系数y 与动量交换系 数 m 相等。剪切紊流中相邻流层所存在的剪切应力，
研究泥沙的扩散时，由于泥沙比水重，沙粒还将以 速度ω下沉。
在扩散物质到达的断面取一个长度为Δx，高度 为Δy，厚度为1的水体，分析在时间Δt内进入或者离 开这个水体上下左右四面染色物质的体积。
[εg
Svt y
y (εg
Svt y
)y]xt
[Vt Svt
(Vt Svt ) y
y]xt
[Sv
Svt y
Sv t
U
Sv x
(usv x
)
(vsv y
)
ω
Sv y
g
2 Sv x 2
2 Sv y 2
对流项
水流紊动引 起的扩散项
重力 沉降项
分子运动引 起的扩散项
由于紊流中流体微团随机运动的规模远大于分子 热运动的规模，即第四项与第二项相比要小得多，故一 般可以忽略分子扩散项的影响，则上式可化简为：
Einstein认为，Ｚ=5 可作为给定的 水流和泥沙条件下，泥沙是否进入悬 浮状态的临界判别值。
Einstein还提出，在有床面形态时， 上面推导过程中的剪切流速U* 都应代
之以沙粒阻力对应的剪切流速 U*。
Rouse公式的缺陷
Sv Sva
h y
y
h
a
a
Z
1、得出的只是相对含沙浓度，没有参考值的话，
数y与动量交换系数m 相等的缘故，不少研究者进行了
试验研究，结果表明两者并不相等，应作出如下修正：
y m
Z
kU*
计算比例系数的大小时，需要通过试验得出m和y值，
一般是通过测量流速和含沙浓度的脉动值、以及含沙浓度 的时均值Sv，再根据定义式进行计算如下：
m uv
dU dy
y vsv
扩散理论：
从泥沙颗粒在紊流中的随机运动出发对泥沙浓度垂向分布 进行研究，称为扩散理论。是通过把泥沙颗粒或液体微团的运 动与分子热运动相比拟而得出的.
基本论点：
当空间不同部位存在某种物质的浓度差异时，则此种物质 将从浓度大的一方朝浓度小的一方扩散，其扩散强度，即单位 时间穿过单位截面的扩散量，应与浓度梯度成正比，等于浓度 梯度与扩散系数的乘积，扩散系数的大小决定于产生扩散现象 的原动力。
在主流区可以看作主要是由于流体脉动导致的相邻流层
间动量的交换所引起的，可以仿照分子粘性应力的表达
方式给出其表达式：
m
du dy
m
du
dy
Rouse公式
两个重要假设：
1、ω沿水深为定值； 2、视泥沙紊动扩散系数εy等于相应的动量交换系数εm 。
εm可以根据卡曼－普兰特尔对数流速公式来求得：
u 1 ln y u* k h
生产实际中：
渠道引水口的设置 ❖ 闸坝排沙底孔的设置 沉沙池的设计（准静水沉降法，非饱和输沙法）
泥沙扩散系数的试验研究
大量的野外实测和试验室资料表明，实测的悬浮指 数Z和理论值之间不甚一致，一般都小于理论值，即实 测的悬浮质沿垂线的分布要比理论计算的结果更为均匀。
一种观点认为，悬移质扩散理论中的理论指数和实 测指数不尽相符，是由于Rouse公式中假定泥沙扩散系
线为清水中的动量交换系数理论分布。
可见，在这一试验所研究的含沙水流中，浑水中的动
亿t（，涪占陵长到江全河段部）输沙量(D的50=5918m.m2)%。 (D50=0.14mm)
(D50=0.034mm)
寸滩水文站资料统计表明，涪陵长江河段多年平均卵石推移
质(D50研=5究1m认m为)输：沙推量移为质2输8.沙97量万与t，悬沙移质质推输移沙质量(D相50比=0，.14在m平m原) 为 60地0万区t河，流而中悬仅移占质到(D总50=的0.输03沙4m率m的)输1%沙~量5为%4；.6丘亿陵t，地占区到河全流部为输沙 量5的%9~81.57%%；。山区河流为15%~30%。
y
dSv dy
Sv
0
y
m
ku*(1
y)y h
h y κU* y h
dSV dy
SV
0
dSV SV
κU*
1 y
h
1
y
dy
悬浮指标
Z kU*
ln SV
ln
h
y
y Z
lnC
令 y＝a 为参考点，该点
泥沙浓度记为Sva ,则可得：
Z
Sv Sva
h y
y
h
a
a
悬浮指标
Z kU*
悬浮指标Z反映了重力作用与紊动扩散作用的比值，其 大小决定了泥沙在垂线上分布的均匀程度。Z值越小，悬移 质分布越均匀。
式中负号表示溶解物质总是从浓度高的地方向低 的地方扩散。
在二维水流中，设Ut、Vt分别为纵垂向的瞬时流速, Svt为瞬时含沙浓度。如果在水中注入一团染色物质，由 于水流的扩散作用，这团染色物质随着水流向前运动的 同时，将不断向上下左右扩散。由于垂向上的时均流速 为零，所以垂向上的染色水体扩大与时均运动无关，而 是纯粹的扩散作用引起；纵向上的染色水体扩大与扩散 作用和时均剪切离散作用都有关。
河 流 动 力 学 概 论
黄河壶口瀑布
第五章 悬移质运动和水流挟沙力
5.1 泥沙扩散方程 5.2 悬移质含沙量的垂线分布
扩散理论、泥沙扩散系数的试验研究、重力理论
5.3 悬移质输沙率
Einstein公式、维利卡诺夫和张瑞谨公式、Bagnold 公式
5.4 水流挟沙力
理论公式、经验或半经验公式、天然河流挟沙力公式
y]xt
Vt Svt
y
xyt
由于分子的扩散作用而进入和流出该隔离体的 染色物质的差值为 ：
( g
Svt y
xt) [ g
Svt y
y
( g
Svt )y]xt y
y
( g
Svt )xyt y
由于泥沙下沉而进入和流出该隔离体的染色物 质的差值为 ：
[Sv
Svt y
y]xt
Svxt
Svt y
=0.4为Kárman常数
对上式微分可得流速梯度：
du dy
u* ky
对二维水流来说，剪切应力在垂线上呈线性分布，
0(1
y) h
床面处最大，水面处为0。
则：
y
m
du
0 (1
y) h
du
u*2 (1 u*
y) h
ku* (1
y )y
h
dy
dy
ky
Rouse公式（悬移质含沙量沿垂线分布公式）
y]xt
g
S vt x
yt
U t S vt yt
[ g
Svt x
x
(
g
Svt x
)x]yt
[U t
S vt
(U t S vt x
)
x]yt
g
S vt y
xt
Vt Svt xt
Svtxt
x方向：
由于水体流动而进入和流出该隔离体的染色物 质的差值为 ：
Ut Svtyt
[Ut Svt
Ut Svt x]yt
xyt
根据质量守恒定律，当进入和离开隔离水体的染色 物质的体积不等时，将引起水体内染色物质的浓度随 时间的变化如下：
Svt t
xyt
(Ut Svt ) x
(Vt Svt ) y
ω Svt y
x
(ε g
Svt x
)
y
(ε g
vt y
)xyt
对于紊动水流，流速和浓度均具有脉动，可将流速和含 沙浓度的瞬时值分解成时均值和脉动值，即：
紊流中沿水深不同高度处各层水体之间存在水团的紊动 交换，其结果是形成一个向上运动的泥沙通量qs1。
另一方面，由于泥沙比水重，往下沉降形成一个向下运 动的泥沙净通量qs2。
如果悬移质含沙量沿垂线出现稳定的时均泥沙浓度分布， 说明qs1与qs2达到了动平衡状态，即悬移质含沙量沿垂线分布 达到平衡状态。
研究悬移质含沙量沿垂线分布的有关理论：扩散理论和 重力理论。
§5.1 泥沙扩散方程
以悬移形式运动的泥沙颗粒具有较细的粒径，可 以随着水流的紊动在水体中随机运动。
在垂向上，泥沙颗粒的运动可以看成是两种运动的 叠加，即重力驱动下的沉降运动和水流紊动驱动下的 随机运动。
当颗粒的数量很大时，宏观上将形成泥沙垂向运 动的动态平衡，此时泥沙浓度在垂向上有一个稳定的 分布。