重复测量资料的方差分析

浙江大学医学院流行病与卫生统计学教研室 沈毅
协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素（方差）
相等、非主对角线元素（协方差）为零。用Mauchly氏法
检验协方差阵的球形性质。Mauchly氏检验的 P值若大于
研究者所选择的显著性水准α时，说明协方差阵的球形性
质得到满足。否则，必须对与时间有关的F统计量的分子、
（1）Greenhouse-Geisser调整系数

(G

G


)
为：


a2 (sk2k s2 )2
(a
1)

k
l
(sk2l )2 (2a)(
k
(sk2
)2
)

a
2
(
s
2
)2

(10 2)
式（10-2）中的 sk2l 是矩阵（10-1）中第k行第l列元素，
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SAS程序给出本例的协方差阵Mauchly球形性检验的结果为P
＝0.1628，故不必进行自由度的调整。查F界值表得：F0.01（3，24） ＝3.01，F0.01（3，24）＝4.72。本例处理因素的F值为8.22，大于 F0.01（3，24），故拒绝无效假设，说明处理因素间的差别具有统计 学意义。
当 1.0时，取＝1.0。
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2．调整规则 只对具有重复测定性质的时间效应的
F值的自由度，和处理时间交互作用的F值的自由度进行
调整。由于F值有两个自由度v1和v2，调整的分子自由
度
v1' v1× ,
，分母自由度 v2'

v2
×。具体计算时可用


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一、协方差阵的球形性检验
方差是指在某一时点上测定值变异性的大小，而协方 差是指在两个不同时点上测定值相互变异性的大小。如 果在某个时点上的取值不影响其他时点上的取值，则协 方差为0，反之，则不为0。由方差协方差构成的矩阵称 协方差阵。
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由表10-2看出，受试对象内离均差平方和等于处理因素的离均 差平方和与误差的离均差平方和两项之和。
SAS程序给出G

G

0.7774,
H

F
1.1169 。用


调整的处理因素
的分子自由度为0.77743 2.33 2.0 ；分母自由度
为 0.7774*24 18.66 19 。查F界值表得调整自由度后的F临界值
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第一节 重复测量资料方差分析对协方差阵的要求
在对重复测量资料进行方差分析时，除要求样本是随机 的、在处理的同一个水平上的观察是独立的以及每一水平上 的测定值都来自正态总体外，特别强调协方差阵 （covariance matrix）的球形性（sphericity）或为符合对称 性（compound symmetry）。Box（1954）指出，若球形性 质得不到满足，则方差分析的F值是有偏的，这会造成过多 的拒绝本来是真的无效假设(增加Ⅰ型错误)。
或 代替ε。用调整所得的
及 v1'
v
' 2
的值查
F界值表，
得 Fa(v1' ,v2' ) 。由于ε≤1，所以调整后的F临界值要大于调整 前的F临界值。
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第二节 单因素重复测量资料的方差分析
一、单因素重复测量资料的例子
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重复测量数据结构与独立数据结构的区别及其优缺点 为了解重复测量数据与独立观察数据之间的区别，下面用一个完全随机设计的
独立数 据结构与具有一个受试者内因素(时间)的重复测量数据结构进行比较。 完全随机设计的独立数据结构：从正常人、可疑硅沉着病者及一期硅沉着病病人
设 k、l为两个测定时点，sk2l 代表协方差阵中的元素。当 k＝l时为方差，k≠l时为协方差。共有a个测定时点，将这a 个方差和（a-1）/2个协方差排成协方差阵V为：

s121
s122
V


s221
s222

sa21
sa22
s12a

s22a

sa2a
(10 1)
分母自由度进行调整，以便减少犯Ι类错误的概率。调整
系数为ε（epsilon）。
s121 s222 ... sa2a

s121
V

0
0 s222
0 0
0
0
sa2a
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二、自由度调整方法
1. 调整系数ε的计算 有两种调整系数。
根据以上4种离均差平方和与自由度计算所得的均方见表 10-2。
3. 计算F值 由于主要是处理因素的统计学检验，故只计算处理因素的F 值。
F处理＝MS处理/MS误差，F处理服从v1＝v处理与v2＝v误差的F分布
本例，F处理＝395.14/48.08＝8.22；v1＝3，v2＝24。所有计算结果均列 于表10-2中。
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2．计算离均差平方和、自由度及均方 有总离均差平方 和、处理因素离均差平方和、受试对象间离均差平方和及受 试对象内离均差平方和等。计算公式为：
（1）总离均差平方和SS总及总自由度v总的计算
an
2
SS总
Yij Y S T 2 / N, v总 N 1
上表的下部及右侧所列的数据均从表体部分的原始测量 值派生而来，是为方差分析而准备的。本例药物水平数a＝ 4，每组观察例数n＝9，观察值总个数N＝a×n＝36。
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二、方差分析的步骤
1．提出检验假设 检验假设为： H0：μ1＝μ2＝μ3＝μ4； H1：μi≠μh，至少有一个不等式成立。

a
1
(10 5)
本例，SS处理

1 9
7182 6062
6242 26652 / 36 1185.42，v处理 4 1 3
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（3）受试对象间离均差平方和SS对象间及自由度v对象 间的计算
n
SS对象间 a×
例10-1 一项关于不同药物治疗心律失常效果的对比研 究。对9例经常出现心室早搏的病人于用药前测定其心率后 进行随机化给药。一部分病人按A药→安慰剂（C药）→B药 的顺序给药，另一部分病人按B药→安慰剂（C药）→A药的 顺序给药。安慰剂（C药）持续一周作为药物后效的清除期。 比较用药前与各种药物及A药与B药之间的心律差别。表101列出9名受试病人在用药前、安慰剂（C药）期及用药（A 与B）期的心率。
在实际工作中，重复测量资料比独立观察资料往往更为多见。如在临床研究中， 需要观察病人在不同时间的某些生理、生化或病理指标的变化趋势，不同时间或 疗程的治疗效果。在流行病学研究中观察队列人群在不同时间上的发病情况。在 卫生学研究中，纵向观察儿童的生长发育规律等。重复测量资料在自然科学和社 会科学的很多领域内都有元素的总平均值，sk2k ( sl2l ) / a2 是主对角
kl
l
线元素的平均值， sk2 ( sk2l ) / a
是第k行的平均值。


的取
l
值在1.0与1/（a-1）之间。
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（2）Huynh－Feldt调整系数
F0.05（2，19）＝3.52，比未调整的F临界值大。未调整的概率 P＝
0.0006，

G G
调整概率P＝0.0020。
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三、平均值之间的多重比较 以上用单因素重复测量方差分析方法对心率资料进行分 析之后所得到的统计学结论是：拒绝无效假设，即在治疗药 物的四个水平中，至少有一个水平的总体平均值不同于其他 水平的总体平均值。为了确定这个特殊总体，必须进行平均 值之间的多重比较。但此处不能采用上一讲中介绍的多重比 较方法，因为那些方法都是建立在独立样本基础之上的。这 里可采用配对样本的差值t检验，因为配对样本就是重复测量 试验中一种最简单的对比研究设计。其检验步骤如下：
重复测量设计的主要优点是可以减少样本含量，其次是能够控制个体变异， 即个体差异。例如在单因素实验中，可以用随机区组(或称配伍组)设计方法来 缩小随机误差。而重复测量设计是以同一个受试者作为一个区组，故可以把它 看成为是随机区组设计的一种极端形式。但在随机区组设计下的每一测量都是在 不同受试者身上进行的，它们对某种处理因素的反应是独立的，符合独立性的假 定。而在重复测量设计下的测量是在同一受试者身上进行的，它们对同一处理因 素在不同时间上的反应可能是不独立的，后一次的测量结果可能受到前一次测量 结果的影响。因此，对同一个体在不同时间上的测量值之间就可能存在相关关系。 这给分析工作带来了一定的复杂性。
方差分析（三）： 重复测量资料的方差分析
浙江大学医学院公共卫生系 流行病与卫生统计教研室
沈毅 2005.3
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重复测量（repeated measure）是指对同一观察对象 的同一观察指标在不同时间点上进行的多次测量，用于分 析该观察指标在不同时间上的变化特点。这类测量资料在 临床和流行病学研究中比较常见。例如，为研究某种药物 对高血压病人的治疗效果，需要定时多次测定受试者的血 压，以分析其血压的变动情况。一些传统的统计方法，如t 检验、方差分析、线性回归模型等，都要求各次观察是相 互独立的。而重复测量资料由于是对同一受试者的某项观 察指标进行的多次测量，在同一受试者的多次测量之间可 能存在某种相关性，用通常的统计方法就不能充分揭示出 其内在的特点，有时甚至会得出错误的结论。因此，有关 重复测量资料的分析方法是近代统计学研究的热点之一。
i 1
Yi Y
2

1 a

n i 1
Ti 2


T2 N
, v对象间

n
1
(10 6)
本例，SS对象间

1 4
3182 2332
3262 26652 / 36 2023.72，v对象间 9 1 8
（4）受试对象内离均差平方和SS对象内及自由度v对象内的
中各随机抽取5人，测量他们的血清黏蛋白含量(mg／L)，结果列于下表中第一部分。 重复测量的数据结构：对5名粉尘作业工人的血清黏蛋白含量(mg几)连续3年的测量
结果列于下表中第二部分。
非独立数据
浙江大学医学院流行病与卫生统计学教研室
沈毅
从上表的例子可以看出，独立数据结构的各个观察值是彼此独立的，它适宜于 用通常的方差分析方法做统计分析。重复测量数据结构是对每一受试者的同一 观察指标(血清黏蛋白含量)进行的多次测量。由于这种多次测量之间可能存在相 关性，就需要用特殊的统计方法进行分析。
(10 4)
j1 i1
本例，SS总＝201647-（2665）2-/（4×9）＝4362.97，
v总＝36-1＝35。
（2）处理因素的离均差平方和SS处理及自由度v处理的计算
a
SS处理 n×
j 1
Y j Y
2

1 n

a j=1
T
2 j

T2 N
，v处理
计算
n
SS对象内 a
i 1
Yij Y i
2

n Si
i1
Ti2 a
，v对象内
n
a 1
(10 7)
SS对象内


25914

3182 4


13739

2332 4




26700

3262 4


2339.25
v对象内 9(4 1) 27
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（5）误差的离均差平方和SS误差与自由度v误差的计算
SS误差＝SS总-SS处理-SS对象间，v误差＝（n-1）（a-1）
（10-8）
本例，SS误差＝4362.97-1185.42-2023.72＝1153.83，v误差＝（9-1） （4-1）＝24
研究表明，当ε真值在0.7以上时，用


进行自由度凋整后
的统计学结论偏于保守，故Huynh和Feldt提出用平均调整
值 值进行调整。 值的计算公式为


ng(a 1) 2

(a 1)[n g (a 1) ]
(10 3)
式（10-3）中的g是对受试对象的某种特征（如性别或 年龄）进行分组的组数，n是每组的观察例数。