构件的静力分析(题+案)

例1.1 重W的均质圆球O，由杆AB、绳索BC与墙壁来支持，如图l.11a所示。

各处摩擦与杆重不计，试分别画出球O和杆AB的受力图。

解
(1)以球为研究对象
1)解除杆和墙的约束，画出其分离体图；
2)画出主动力：球受重力W；
3)画出全部约束反力：杆对球的约束反力N D和墙对球的约束反力N E(D、E两处均为光滑面约束)。

球O的受力图如图1.11b所示。

(2)以AB杆为研究对象
1)解除绳子BC、球O和固定铰支座A的约束，画出其分离体图。

2)A处为固定铰支座约束，画上约束反力X A、Y A；
3)B处受绳索约束，画上拉力T B；
4)D处为光滑面约束，画上法向反力N D′，它与N D是作用与反作用的关系。

AB杆的受力图如图1.11c所示。

例1.2图1.12a所示的结构，由杆AC、CD与滑轮B铰接组成。

物重w、用绳子挂在滑轮上。

杆、滑轮及绳子的自重不计，并忽略各处的摩擦，试分别画出滑轮B、重物、杆AC、CD及整体的受力图。

解
(1)以滑轮及绳索为研究对象。

解除B、E、H三处约束，画出其分离体图。

在B处为光滑铰链约束，画出销钉对轮孔的约束反力X B、Y B。

在E、H处有绳索的拉力T E、T H。

其受力图如图1.12b所示。

(2)以重物为研究对象。

解除H处约束，画出其分离体图。

画出主动力重力w。

在H处有绳索的拉力T H＇，它与T H是作用与反作用的关系。

其受力图如图1.12c所示。

(3)以二力杆CD为研究对象(在系统问题中，先找出二力杆将有助于确定某些未知力的方向)。

画出其分离体图。

由于CD杆受拉(当受力指向不明时，一律设在受拉方向)，在C、D处画上拉力S C与S D，且S C=-S D。

其受力图如图1.12d所示。

(4)以AC 杆为研究对象。

解除A 、B 、C 三处约束，画出其分离体图。

在A 处为固定铰支座，故画上约束反力X A 、Y A 。

在B 处画上X B ′、Y B ′，它们分别与X A 、Y A 互为作用力与反作用力。

在C 处画上S C ′，它与S C 是作用与反作用的关系，即S C ′=-S C 。

其受力图如图1.12e 所示。

(5)以整体为研究对象。

解除A 、E 、D 处约束，画出其分离体图。

画出主动力重力W 。

画出约束反力X A 、Y A 。

画出约束反力S D 和T E 。

其受力图如图1.12f 所示(对整个系统来说，B 、
C 、H 三处受的均是力作用，在受力图上不能画出)。

例1.3 在螺栓的环眼上套有三根软绳，它们的位置和受力情况如图1.17a 所示，试用几何法求三根软绳作用在螺栓上的合力的大小和方向。

解 规定每单位长度代表300 N ，按比例尺画出力多边形（图 1.17b ），由图量得合力F R 的长度为5.5单位，即
F R =5.5×300N=1650N=1.65kN
设以合力作用线和x 轴的夹角ϕ表示合力的方向，由图1.17a 用量角器量得'1610o ϕ=
例1.4 用解析法重解例1-3题。

解 先利用式(1.6)计算合力在x 轴和y 轴上的投影，为
F Rx =()
KN N N 46.046045cos 150030sin 600300==+--
F Ry =()KN N N 58.1158045cos 150030cos 600-=-=--
再用式(1.7)计算合力F R 的大小和方向，为 =R F KN KN F F Ry Rx 654.158.146.02222=-=+
654
.158.1cos ==R Ry F F ϕ 0116'= ϕ
例1.5 圆筒形容器的重力为G ，置于托轮A 、B 上，如图1.21a 所示，试求托轮对容器的约束反力。

图1.22
解 取容器为研究对象，画受力图(见图1.21b)。

托轮对容器是光滑面约束，故约束反力NA F 和NB F 。

应沿接触点公法线指向容器中心，它们与y 轴的夹角为3O °。

由于容器重力也过中心O 点，故容器是在三力组成的平面汇交力系作用下处于平衡，于是有：
∑X=0 030sin 30sin =- NB NA F F
∑Y=0 030cos 30cos =-+G F F NB NA
解之得 NA F =NB F
及 NA F =NB F =2
G cos30°=0.58G 可见，托轮对容器的约束反力并不是2
G ，而且二托轮相距越远，托轮对容器的作用力越大。

例1.6 如图1.22a 所示，重物P=20KN ，用钢丝绳挂在支架上，钢丝绳的另二端缠在绞车D 上。

杆AB 与BC 铰接，并以铰链A 、C 与墙连接。

如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的尺寸，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。

解 (1)取滑轮B 为研究对象，由于AB 和BC 两直杆都是二力杆，所以它们所受的力均沿杆的轴线，假设。

AB 杆受拉力，B C 杆受压力，如图1.22b 所示。

(2) 画滑轮B 的受力图。

滑轮受有钢丝绳的拉力T 1、T 2以及AB 、BC 两杆的约束反力AB F 、BC F ，如图1.22c 所示，已知T 1=T 2=P 。

由于忽略滑轮的尺寸，且不计摩擦，故这些力可以认为是作用在B 点的平面汇交力系。

(3) 取坐标轴xBy ，如图1.22c 所示。

为使未知力在一个轴上有投影，在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量取在与作用线相垂直的方向。

这样，在一个平衡方程中便只有一个未知量,可不必解联立方程。

(4)列平衡方程
∑X=0 030cos 60cos 21=-+-
T T F AB
∑Y=0 060cos 30cos 21=-+ T T F BC
解得 KN P F KN P F BC AB 32.27266.1,32.7366.0==-=-=
所求结果F BC 为正值，表示这个力的假设方向与实际方向相同，即杆BC 受压。

AB F 为负
值，表示该力的假设方向与实际方向相反，即杆AB 也是受压。

例1.7 如图1.24所示，电线杆OA 上端两根钢丝绳的拉力为F 1＝120N ，F 2＝100N 。

试求Ｆl 与Ｆ2对电线杆下端O 点之矩。

解 从矩心向力Ｆl 与Ｆ2的作用线分别作垂线，得Ｆl 与Ｆ2
的力臂Ｏa 和Ｏb 。

由式(1.11)得
m N m N OA F Ob F F M m
N m N OA F Oa F F M o o ⋅-=⨯⨯-=⨯=⨯-=⋅=⨯⨯=︒⨯=⨯=4805/38100sin )(4805.0812030sin )(222111θ
例1.8 圆柱直齿轮传动中，轮齿啮合面间的作用力为F 。

如图1.26所示。

已知F n =500N ，α=20°，节圆半径r ＝D ／2＝150mm 。

试计算齿轮的传动力矩。

解 应用合力矩定理
∑∑∑+=)()()(r o t o n o F M F M F M
＝－F n ·rcos α+０
＝－500×0.15×cos20°
＝－70.48（Ｎ·m ）
例1.9 图1.32所示的电动机轴通过联轴器与工作轴相联接，联轴器上四个螺栓Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的孔心均匀分布在一直径为0.15m 的圆周上，电动机传给联轴器的力偶矩Ｍ为2.5k Ｎ·m ，试求每个螺栓所受的力的大小?
解 取联轴器为研究对象。

作用于联轴器上的力
有M和四个螺栓的反力，方向如图1.32所示。

现假设四个螺栓受力均匀，即Ｆl＝Ｆ2＝Ｆ3＝Ｆ4＝Ｆ，则它们组成两个力偶(F1，F3)和(F2，F4) 并与Ｍ平衡。

由式(1.12)有
∑Ｍ＝０，Ｍ－Ｆ×AC－Ｆ×BD＝０
而 AC＝BD＝0.15m
所以Ｆ＝Ｍ／2AC＝2.5kN·m／0.3m
＝8.33KN
例1.10梁AB一端固定、一端自由，如图1.35a所示。

梁上作用有均布载荷，载荷集度为q(kN／m)。

在梁的自由端还受有集中力F和力偶矩为M的力偶作用，梁的长度为，试求固定端Ａ处的约束反力。

图l.35 悬臂粱受力分析
解
(1)取梁AB为研究对象并画出受力图，如图1.35b所示。

(2)列平衡方程并求解。

注意均布载荷集度是单位长度上受的力，均布载荷简化结果为一合力，其大小等于q与均布载荷作用段长度的乘积，合力作用点在均布载荷作用段的中点。

∑F x＝０，XＡ＝０
∑F y＝０，YＡ－ql－Ｆ＝０
∑ＭＡ(Ｆ)＝０，ＭA－ql×l／2－Ｆl－Ｍ＝０
解得
XＡ＝０
YＡ＝ql＋Ｆ
ＭA＝ql２／2＋Ｆl＋Ｍ
例l.11图1.37a所示为一手动水泵，图中尺寸单位均为cm，已知P＝200N，不计
各构件的自重，试求图示位置时连杆BC 所受的力、手柄Ａ处的反力以及液压力Q 。

解 分别取手柄ABD 、连杆BC 和活塞C 为研究对象。

分析可知，BC 杆不计自重时为 二力杆，有S C ＇＝S B ＇。

由作用力与反作用力原理知S B ＝S B ＇，S C ＝S C ＇。

所以S B ＝S C ，各力方向如图所设。

1)以手柄ABD 为研究对象，受力图如图l.37b 所示，对该平面任意力系列出平衡．方程： 0cos 848 ,0)(=-=∑αB A S P F M N P P S B 120020
822048cos 84822≈⨯+==α ∑=+-=0cos ,0αB A x S X F N S X B
A 1202202022=+=
∑=-+-=0cos ,0P S Y F B A y α N P S Y B A 10002202022=-+=
2)取连杆BC 为研究对象。

受力图如图1.37c 所示。

对二力杆BC ，结合作用力与反作用力原理，有
S B ＇＝S Ｃ＇＝S B ＝1200N
3)取活塞C 为研究对象。

由受力图(图1.33d)可知，这是一个平面汇交力系的平衡问题，列出平衡方程求解
C
C C y S S S Q F '==-=∑　因为　0cos ,0α 于是 )(120022020
1200cos 22N S Q C ≈+⨯==α
例l.12 在图1.38中，若F n =1410N ，齿轮压力角α=20°，螺旋角β=25。

，求轴向力F r 圆周力F t 和径向力F a 的大小。

图1.37 手动水泵受力
.
解过力Ｆn的作用点Ｏ取空间直角
坐标系，使齿轮的轴向、圆周的切线方向
和径向分别为x、y和z轴。

由式(1.22)
则有
图1.38 斜齿轮的受力分析Ｆa＝Ｆn sin(90°-α)cos(90°-β)＝
1410cos20°sin25°≈560N
Ｆt＝Ｆn sin(90°-α)sin(90°-β)＝14lOcos20°cos25°≈1201N
Ｆr＝Ｆn cos(90°-α)＝1410sin20°≈482N
例1.13一车床的主轴如图l.40所示，齿轮C直径为200mm，卡盘D夹住一直径为100mm
的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。

切削时工件匀速转动，车刀给工件的切削力Ｆx=466N，Ｆy=352N，Ｆz=1400N，齿轮c在啮合处受力为Ｆ，作用在齿轮的最低点如图1.40b 所示。

不考虑主轴及其附件的重量与摩擦，试求力Ｆ的大小及A、B处的约束力。

解选取主轴及工件为研究对象，过A点取空间直角坐标系，画受力图，如图1.40b
所示。

向心轴承B的约束反力为X B和Z B，向心推力轴承A处约束反力为X A、Y A、Z A。

主轴及
工件共受9个力作用，为空间任意力系。

下面分别用两种方法来求解。

方法一：如图1.40b、c所示。

由式(1.24)可得
∑F x＝０，X A+X B-F x-Fcos20°=0
∑F y＝０， Y A-F y=0
∑F z＝０，Z A+Z B+F z+Fsin20°=0
∑Ｍx(Ｆ)＝０，Z A×0.2＋Z B×0.3－Fsin20°×0.05=0
∑Ｍy(Ｆ)＝０，-F z×0.05+Fcos20°×0.1=0
∑Ｍz(Ｆ)＝０，-Fcos20°×0.05-X B×0.2+F x×0.3- F y×0.05=0
解得 X A=730N，Y A=352N，Z A=381N
X B=436N，Z B=-2036N，F=745N
方法二：首先将图1.36b中空间力系分别投影到三个坐标平面，如图1.40d～f所示。

然后分别写出各投影平面上的力系相应的平衡方程式，再联立解出未知量。

步骤如下：
(1)在xAz平面，如图l.40d所示。

由
∑M A(F)=０，F t×0.1－F t×0.05＝0
将F t=Fcos20°代人得 F=745N
(2)在yAz平面，如图1.40e所示。

由
∑M A(F)=０， -F r×0.05＋Z B×0.2＋F z×0.3＝0
将F r=Fsin20°代入得 Z B=-2036N
由∑F z＝０，Z A+Z B+F z+Fsin20°=0
得 Z A=381N
由∑F y＝０，Y A-F y=0
得 Y A=352N
(3)在xAz平面，如图1.36f所示。

由∑M A(F)=０，－F t×0.05－X B×O.2＋F x×0.3－F y×0.05＝0
得 X B=436N
由∑F x＝０，X A+X B-F x-Fcos20°=0
得 X A=730N
对比两种方法可以看出，后一种方法较易掌握，适用于受力较多的轴类构件，因此在程中多采用此法。

)，如图1.44a所示，已例1.14重F G的物块放在倾角为α的斜面上(α大于摩擦角
m
知物块与斜面间的静摩擦系数f ，试求能使物块维持平衡状态的P 值。

解 由经验可知，力P 太大，大于P max 物块将上滑；力P 太小，小于P min 物块将下滑
图1.44a
因此，力P 的数值只要在P max 与P min 之间，物块就能维持平衡状态。

(1)求P min 当力P 为最小值时，物块处于将要下滑的临界平衡状态。

此时，摩擦力F max 的方向沿斜面向上，物块的受力图如图1.44b 所示，这些力构成一平面汇交力系。

根据平面汇交力系平衡的几何条件，作封闭的力三角形(图1.44b)，由三角关系可得
P min =F G tan(α-m ϕ)
(2)求P max 当力P 达到最大值时，物块处于将要上滑的临界平衡状态，此时摩擦力F 的方向沿斜面向下，物块的受力图如图1.44c 所示，这些力构成一平面汇交力系。

根据平面汇交力系平衡的几何条件，作封闭的力三角形(图1.44c)，由三角关系可得
P max =F G tan(α+m ϕ)
可见，维持物块平衡的P 值应为
P min ≤P ≤P max
即 F G tan(α-m ϕ)≤P ≤F G tan(α+m ϕ)
此题中，如果斜面的倾角小于摩擦角，即α≤m ϕ时，上式左端成为负值，即P min 为负值，这说明不需要力P 支持，物块就能静止在斜面上，且无论主动力F G 多大，都不会破坏平衡，即出现自锁现象。