符号动力系统简介[开题报告]

毕业论文开题报告

数学与应用数学

符号动力系统简介

一、选题的背景、意义:

符号动力学研究符号动力的学科。这种系统的状态均可表示为有限个符号的无穷序列，而由任一状态点引出的运动轨道可由表示该状态的无穷序列通过简单的移位规则来确定。许多复杂动态系统均可经过变换等价于这类系统，从而可通过对比较简单的符号动力系统的分析来研究一般动力系统的行为。这种方法特别在混沌等复杂行为研究中占有重要地位。实际上，可以证明移位映射是一种混沌映射。

符号动力学产生于20世纪初阿达马的工作中，起源于动力系统的抽象拓扑理论的研究。三十年代莫尔斯和郝德隆进一步发展了符号动力学并将它用于变分学和微分几何中。从20世纪60年代起逐渐在应用于一维映射的研究过程中得到发展和完善。斯梅尔研究的马蹄映射就是一个可用符号动力系统很好地描述的典型。由于这种映射的迭代过程的特征使它成为经典的混沌系统，因此符号动力系统也被视为混沌系统的原型；进而还可将符号动力系统的运动特征作为混沌的描述并成为混沌的一种严格的数学定义。符号动力系统在其他领域也有广泛的应用。例如研究离散事件动态系统控制问题的代数方法就与符号动力学有密切的联系。

符号动力系统一直是动力系统的一个重要的分支,有关符号动力系统的应用,在1988年,由美国Berkeley加州大学的著名教授L.O.Chua教授提出了一个非线性模拟电路的数学模型CNN(细胞神经网络)。

文献[7]中说，CNN结合了Hopfield神经网络模型和Neumann细胞自动机两者的优势，既具有高速并行处理功能，同时又容易在超大规模集成器的芯片上实现。从数学角度看，CNN 是一个非线性动力系统，它的功能与意义已经超过了神经系统。

符号动力系统推广到一般情况，文献[2]还讨论符号动力系统的浑沌性，讨论关于

在一般连续自映射所生成的离散半动力系统中的应用。

从动力系统的产生,以及分支,现在国内外学术界已经有一个较完整的体系,在这里,有一个最著名的模型,最富思想性,并且影响最为深远的,当属1965年构造出来的斯梅尔马蹄

模型(文献[1])，他对解决实际的问题以及符号动力学的发展有着重要的意义。在本篇本科论文中，将利用所学的数学知识，对符号动力系统的性质有一个全面的了解，别且简单分析一下斯梅尔马蹄模型，希望他对科学研究和生产生活都有一定的实际价值。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

论文研究的基本内容主要是要弄清楚符号动力系统的定义，以及对符号动力的性质有一定的了解，并且了解斯梅尔马蹄模型，对其中的命题进行简单的验证，并学会解释某些带根本性的动力系统基本问题，主要包括对以下几个内容的研究：

问题1：

这个问题主要涉及到一般符号动力系统的浑沌性，假设符号动力系统，

是一个浑沌系统，其中X为分度量空间，那么为什么？又设为度量空间，，空间

上的度量一样，在同样的意义下，X是可分的为什么是它的充分必要条件？

问题2：

什么是斯梅尔马蹄模型，斯梅尔马蹄模型中的三个命题：(1)

，因而是对f不变的的紧致子集。（2）是在上的同胚

映射。（3），是从的拓扑共轭，即：。以及这三个命题的证明。

除了以上两个问题之外，我们还要了解关于细胞神经网络的一些基本概念，还有转移不变集以及拓扑熵映射的连续性。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标

本人在大量阅读中文文献的基础上，培养了自己综合分析的能力，并查阅了多本关于此课题的著作和相关期刊，特别是周作领的《符号动力学》对符号动力系统深入浅出的讲解以

及对斯梅尔马蹄模型的命题分析证明对我起到了很大的帮助，我深入了解到这个问题的重要性以及应用性，并结合子集所学的知识，对这些问题进行一系列的概括与描述，对以上的问题做出了一个简单的证明以及解释，但是由于所学知识以及能力所局限，问题不能探讨的那么详细，请读者见谅，经过我的研究与证明，可以对符号动力系统的基本问题以及斯梅尔马蹄模型有一个基本的了解。

四、论文详细工作进度和安排

（一）第七学期第9-10周：

确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料；

（二）第七学期第11-12周：

仔细研读，分析资料，完成外文翻译；（三）第七学期第13-17周：

认真阅读文献资料，加以归纳总结，完成文献综述及开题报告；

（四）第七学期第18周：

并完成网上确认；

（五）寒假期间：

完成论文初稿；

（六）第八学期第1-3周：

修改论文初稿，并确定进入实习阶段；

（七）第八学期第4-10周：

进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。

（八）第八学期第11周：

完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告；

（九）第八学期第12-14周：

对论文进一步修改，并定稿；

（十）第八学期第15-16周：

准备并完成毕业答辩。

五、主要参考文献：

[1] 周作领.符号动力系统[M]. 上海科技教育出版社，1997.

[2] 郑伟谋,郝柏林.实用符号动力学[M]. 上海科技教育出版社 , 1994.

[3] 黎日松,吴华明.符号动力系统((),)Z σ+∑的若干性质[J].湛江海洋大学学

报.2006,26(1):71-74.

[4] 张子芳，徐道义,牛健人.离散动力系统稳定性的判别条件[J].工程数学学

报.2005,22(5):853-858.

[5] Huang W. ,Ye X.D. Complexity of Dynamical System and Tuples, Journal of

the graduate school of the Chinese academy of science [J],2006, 23(5): 701-707.

[6] P.Walters. An Introduction to Ergodic Theory[M]. Springer-Verlay, New

York,Inc. 1982.

[7] 陈芳跃.CNN 符号动力系统[D].上海;上海大学,2004.

[8] 傅新楚，周焕文.一般符号动力系统的浑沌性态[J].应用数学和力

学,1992,13(2):103-109

[9] Morris W.Hirsch , Stephen Smale , Robert Devaney . Differential Equations,Dynamical Systems, and anIntroduction to Chaos[M].人民邮电出版社，2008.

[10] 成丹丹. 乘积符号动力系统[D].西北大学，2009.

[11] 陈秀庆.一般符号动力系统子位移的拓扑混合[D],浙江大学，2003.

[12] 陈尔明.符号动力系统中周期轨的个数估计[D],华侨大学，2003.