线性代数同济版答案

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)

;

解

=2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)

b a

a c

c b

;

解

=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3.

(3)

;

解

=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a).

(4)y x y

x x y x y y x y x +++.

解 y

x x y x y y x y x

+++

=x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y3-(x +y)3-x3 =3xy(x +y)-y3-3x2 y -x3-y3-x3 =-2(x3+y3).

2. 按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2;

解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;

解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;

解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n);

解逆序数为

2)1(-n n : 3 2 (1个)

5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?

(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个)

(6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n) (2n -2) ? ? ? 2. 解逆序数为n(n -1) : 3 2(1个)

5 2, 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ?

(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

? ? ? ? ? ?

(2n)2, (2n)4, (2n)6, ? ? ?, (2n)(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解含因子a11a23的项的一般形式为 (-1)ta11a23a3ra4s ,

其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是

(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式:

(1)

100

251020214214;

解

7110025102021421401

00142310

20211021

473234-----======c c c c 34)1(1431022110

14+-?---=

143102211014--=0

14171720010

99323211=-++======c c c c .

(2)

232112131412

解

052

32112131412

-26050

3212213

041224--=====c c 04

1203212213

041224--=====r r

000

32122130

14=--=====r r .

(3)

;

解

adf

abcdef adfbce4

(4)

解

=====

)(

(12

=====cd

=+1

)(

(23

=abcd+ab+cd+ad+1.

5.证明:

(1)

=(a-b)3;

证明

1112222b b a a b ab a +0

0122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====

a b a b a b a ab 22)1(2

221

3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b)3 .

(2)

y x z x z y z

y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;

证明

bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++

bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=

bz ay y x by

ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22

z y x y

x z x z y b y x z x z y z y x a 33+=

y x z x

z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= y x z x

z y z y x b a )(33+=.

(3)

0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

2222222

222222

2=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;

证明

222

2222222222

2)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c4-c3, c3-c2, c2-c1得)

5232125

232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c4-c3, c3-c2得)

022

122

212221222122222=++++=d d c c b b a a .

(4)

422221111d c b a d c b a d c b a

=(a -b)(a -c)(a -d)(b -c)(b -d)(c -d)(a +b +c +d);

证明

4422221111d c b a d c b a d c b a

)()()(0)

()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=

)()()(1

11))()((2

22a d d a c c a b b d

c b a

d a c a b +++---=

))(())((001

11))()((a b d b d d a b c b c c b

d b c a d a c a b ++-++------=

)

()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=

=(a -b)(a -c)(a -d)(b -c)(b -d)(c -d)(a +b +c +d).

(5)122

1 1

000 00 1000 01

a x a a a a x x x

n n n

??-?????????????????????-???---Λ=xn +a1xn -1+ ? ? ? +an -1x +an .

证明用数学归纳法证明. 当n =2时,

2121

221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立.

假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即

Dn -1=xn -1+a1 xn -2+ ? ? ? +an -2x +an -1, 则Dn 按第一列展开, 有

1 11

00 100 01

)1(11-?????????????????????-???--+=+-x

x a xD D n n n n

=xD n -1+an =xn +a1xn -1+ ? ? ? +an -1x +an . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.

6. 设n 阶行列式D =det(aij), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转, 依次得

nn n a a a a D 11111 ????

???????????=,

1112 n nn

n a a a a D ????

???????????= ,

113 a a a a D n n

nn ????

???????????=,

证明

(

, D3=D .

证明因为D=det(aij),所以

(

???

?????????

???

?????????

???

??????

???

-)1

(

1)1

(

+???+

同理可证

???

?????????

???

(

D n n

(

. 7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):

(1)

, 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;解

a a a a D n 0 0010 000 00 00

00 0010 00?????????????????????????????????=(按第n 行展开)

)

1()1(1

0 000 00 00

00 0010 000)1(-?-+????

??????????????????????????-=n n n a

a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n

a a a

n n n

n a a a

??-?-=--+)

2)(2(1 )1()1(=an -an -2=an -2(a2-1).

(2)

x a a a x a a a x D n ?

????????????

????????= ;

解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得

a x x a a

x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 ,

再将各列都加到第一列上, 得

a x a

x a x a

a a n x D n -?

?????????????????-???-???-+=00

00 0 000 0

0 )1(=[x +(n -1)a](x -a)n -1.

(3)1 11 1 )( )1()( )1(11

11???-?????????-?

?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n

n n n ;

解根据第6题结果, 有

n n

n n n n n n n n a a a n a a a n a a a

D )( )1()( )1( 11

1)1(1112)1(1-???--?????????-?

?????-???-???-=---++

此行列式为范德蒙德行列式.

∏≥>≥++++--+--=1

)1(1)]

1()1[()

1(j i n n n n j a i a D

∏≥>≥++---=1

)1()]

([)

1(j i n n n j i

∏≥>≥++???+-++-?

-?-=1

)1(2

)1()

()

1()

1(j i n n n n n j i

∏≥>≥+-=

(j i n j i .

(4)n

n n

n d c d c b a b a D ?

???????????=

1112;

解

n n

n d c d c b a b a D ?

???????????=

1112(按第1行展开)

n n n n n

d d c d c b a b a a 000

11111111----?

?????

??????=Λ

0)1(11

1111

12c d c d c b a b a b n

n n n n n

n ----+?

???????????-+.

再按最后一行展开得递推公式

D2n =andnD2n -2-bncnD2n -2, 即D2n =(andn -bncn)D2n -2.

于是

∏=-=n

i i i i i n D c b d a D 2

2)(.

而

111111

12c b d a d c b a D -==

所以 ∏=-=n

i i i i i n c b d a D 12)

(5) D =det(aij), 其中aij =|i -j|; 解 aij =|i -j|,

0 4321 4 0123

3 10122 2101

1 3

210)det(?

??----??????????????????-???-???-???-???==n n n n n n n n a D ij n

0 4321

1 11111 11111 1111

1 1111 2132?

??----????????????????

?????----???---???--???--???-=====n n n n r r r r

1 5

242321

0 22210 02210 0021

0 0001 1213-???----????????????????

?????----???---???--???-+???+=====n n n n n c c c c

=(-1)n -1(n -1)2n -2.

(6)

n n a a a D +????

??????????????+???+=1 11 1 111 112

1, 其中a1a2 ? ? ? an ≠0.

解

n n a a a D +??????????????????+???+=1 1

1 1 111

112

n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-??????????????????????

?????-???-???-???-=====--10

0001 000 100 0100 0100 00

1133221

2132

121110

00011 000 00 110

00 011

00 001 ------+-???-????

???????????????????????-???-??????=n

n n a a a a a a a a

∑=------+?????????????????????????

??????????????=n i i n n a a a a a a a a 1

131******** 0001

0 000

00 100

00 01000 001

)

11)((121∑=+=n

i i n a a a a Λ.

8. 用克莱姆法则解下列方程组:

(1)?????=++

+-=----=+-+=+++011232

53224254321

32143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解因为

142112

135132

41211

111-=----=D ,

142112

10513241221115

1-=------=D ,

284112

035122

4121

12-=-----=D ,

426110

135

232

422115113-=----=D ,

14202

1321322121

14=-----=D ,

所以

1==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 1

44-==D D x .

(2)??

???

?=+=++=++=++=+15065065065165545434323

212

1x x x x x x x x x x x x x .

解因为

665

5100065100065100

065100065==D , 150751001651000651000650000611==D ,

1145510106510006500

06010001

52-==D ,

703511006500006010

0005100165

3==D , 39551

060100005100

0651010654-==D ,

21211

00510006510

0651100655==D ,

所以

66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x ,

665212

4=x . 9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组?????=++=++=++0

200

321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

解系数行列式为

μλ

μμμλ-==121111

1D .

令D =0, 得

μ=0或λ=1.

于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.

10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组?????=-++=+-+=+--0

)1(0)3(20

42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？

解系数行列式为

λλλλλλλ--+--=----=1011

124

31111132421D

=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得

λ=0, λ=2或λ=3.

于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.

第二章矩阵及其运算

1. 已知线性变换:

?????++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,

求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换. 解由已知:

??? ?????? ?

?=???? ??221321323513122y y y x x x , 故 ???? ?????? ?

?=???? ??-3211

221323513122x x x y y y ?

??? ?????? ??----=321423736947y y y , ?????-+=-+=+--=3

21332123

211423736947x x x y x x x y x x x y .

2. 已知两个线性变换

?????++=++-=+=3

21332123

11542322y y y x y y y x y y x , ?????+-=+=+-=3233

12211323z z y z z y z z y ,

求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解由已知

???? ?????? ?

?-=???? ??221321514232102y y y x x x ????

?????? ??--???? ??-=32131

0102013514232102z z z

???

?????? ?

?----=321161109412316z z z ,

所以有??

3.设

,求3AB-2A及ATB.

解

A T

4.计算下列乘积:

(1)

;

解

(

(2)

;

解

=(1?3+2?2+3?1)=(10).

(3))21(312-????

??;

解 )21(312-?

?????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2????

??---=6321

42.

(4)

?????

??---??? ??-20

4131210131

43110412 ;

解

???

??---??? ??-20

4131210131

43110412???

?---=6520876. (5)

?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解

?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a11x1+a12x2+a13x3

a12x1+a22x2+a23x3

a13x1+a23x2+a33x3)

???

??321x x x

3223311321122

33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.

5. 设??? ??=31

21A , ??? ??=2101

B , 问:

(1)AB=BA吗? 解AB≠BA.

因为

,所以AB≠BA.

(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗? 解(A+B)2≠A2+2AB+B2.

因为

)

但

?+?

所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.

(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?

解(A+B)(A-B)≠A2-B2.

因为

-1

?=?

)

)(

而

?=?

?-?

-7

故(A+B)(A-B)≠A2-B2.

6.举反列说明下列命题是错误的:

(1)若A2=0,则A=0;

解取

,则A2=0,但A≠0.

(2)若A2=A,则A=0或A=E;

解取

,则A2=A,但A≠0且A≠E.

(3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解取

??? ?

?=0001A , ??? ??-=1111X , ???

??=1011

Y ,

则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .

7. 设

?? ??=101λA , 求A2, A3, ? ? ?, Ak . 解

??? ??=??? ????? ??=12011011012λλλA ,

?? ??=??? ????? ??==1301101120123λλλA A A , ? ? ? ? ? ?,

??? ??=101λk A k .

8. 设

???? ??=λλλ001001A , 求Ak . 解首先观察

???? ?????? ??=λλλλλλ0010010010012A ?

?? ?

?=22

002012λλλλλ,

??=?=3232323003033λλλλλλA A A ,

??=?=43423434004064λλλλλλA A A ,