第1讲 组合概率

二.足球门的危险区域问题
问题提出
在足球比赛中,球员在对方球门前不同的的位 置起脚射门对球门的威胁是不一样的.在正前方 射门的威胁大于两侧,近距离对球门的威胁大于 远射.已知标准球场长104米,宽为69米,球门高 2.44米,宽为7.32米.
对于职业球员假设基本素质差别不大.根据资 料显示,射门时球的速度在10米/秒左右.结合球 场和足球赛是实际研究问题:
利用概率模型的例题 一.报童的诀窍 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没 有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b， 零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售 出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购 进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够 卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸 的数量，以获得最大收入。
数｛N(t)，t>0｝是一个泊松过程.
例4. 穿越公路模型 用均值为1/q 的指数分布随机变量模拟两车经 过同一地点的时间间隔，相当于假设通过该点 的汽车流构成了一个泊松流，[0, t]时间内到达 的汽车数目N(t) 服从泊松分布.
5．二项分布
随机变量X～B(n,p)，其分布律为 P{X k} Cnk pk (1 p)nk , (k 1,2, , n)
称 {N(t), t＞ 0｝为顾客的到达过程,通常关心 1) 对每一时刻 t，在[0，t]时间内到达的顾客数
N(t) 的分布； 2) 事件流A1，A2，…，Ai，…中两个事件发生 的间隔时间具有什么分布.
形成泊1.2.doc松流的条件
重要定理： 1.如果顾客的到达过程是一个泊松过程，
则在[0, t]期间内有n个顾客到达的概率为
模型假设和符号说明:
1.模型假设 (1)在理想状态下,认为球员是同质的,即基本素质相同; (2)不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响.设球速为10米/
秒; (3)球员射门只在前半场进行,为此假设前半场为有效射门区域; (4)只考虑标准球场:104X69(m)和球门7.32X2.44(m). 2.符号说明
有
P( A)
k n
A包含的样本点 中样本点的总数
*中学学过的利用排列组合计算的概率.
2．几何概型
具有如下特点的试验模型为几何概型: (1)试验的样本空间有无限个样本点; (2)试验中落入A中的可能性与A的面积成正比, 而与A的位置和形状无关.
P( A) S A S
例5 甲、乙两人约定在6时到7时会面,并约定先 到者应等候另一个人20分钟,过时即可离去,求两人 能够会面的概率.
优点：完全与观察数据相符,并且随实际问题 的复杂程度增大不会产生更大的困难,仅增大工 作量而已.
缺点：不便于进行数学分析,不得不依赖于模 拟得到的统计结果.
应用中常将两种模拟方法结合使用
二.利用理论分布
重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论分 布来模拟随机变量.
需掌握几种重要的概率理论分布
1．均匀分布
(1) ----半场上的一个球门所在的地面以上的半平面;
(2)A(x,y)-----球场上的点,(x,y)为其坐标; (3)B(x,z)-----球门内的点,(x,z)为其坐标; (4)P(x,y)--从球场上A点对准球门内B点射门时,命中球门的概率; (5)D(x,y)-----球场(x,y)上点对球门的威胁度; (6)k -----球员的基本素质; (7)d -----球场上A点到球门内B的直线距离;
f
(
x)
b
1
a
0
a x b, 其 他.
有 P{c X d} d c ba
均匀分布随 机变量X的 取值具有 “均匀性”.
其中 (c,d) (a,b)
均匀性特点 均匀分布随机变量X 落在(a, b) 内任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而 与子区间的位置无关.
可以假设具有这种性质的随机变量服从均匀分布
x!
称X 服从参数为λ的泊松分布.
xR
事件流：随时间的推移，逐个出现的随机事件列 A1，A2，…An，…
A1 A2 A3
An
0
t
例3 在渡口模型中，从渡船靠岸开始计时，
将第i 辆汽车的到达看成随机事件Ai发生，随汽 车连续不断地开到码头，就形成了一个事件流
A1，A2，…，Ai，…；
*工作台上工件的逐件到达； *机场跑道中飞机的逐架到达；
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r0
r n1
求 n 使 G(n) 最大
求解 将r视为连续变量 f (r) p(r) (概率密度）
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)dr
n
(a
b)np(r
)dr
dG (a b)np(n)
*港口船舶的逐艘到达； *电话交换台电话的到达；
N(t)是随 机变量
*餐厅顾客的到达;
*工厂中机器故障的发生,… 记 N(t) 为 [0, t]时间内各事件发生的总次数
N(t)=3
0
)
)
t
N(t)=7
随机变量族 ｛N(t), t＞ 0｝
是一个随机过程(计数过程).
将工件、飞机、船只、电话、就餐的顾客及破 损的机器等统称为顾客.
准 调查需求量的随机规律——每天 备 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
r n 售出r 赚(a b)r
退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
(3)球员在球门前某处向球门内某目标点射门 时,球员到目标点的距离决定了到达目标点的概 率.当位置固定时,球飞向球门所在的平面上的落 点将呈现固定的概率分布(二维正态分布);
(4)球员从球场上某点射门时,必定在球门平面 上确定一个目标点,射门后球依据该概率分布落 入球门所在平面.将球门视为平面上的一个区域, 在该区域内对该分布积分可得到该次射门的命 中率.由于射门的目标点是任意的,因此遍历球门 区域内的所有点,对命中率作积分,将其定义为球 场上某点对球门的威胁度,根据威胁度的大小来 确定球门的危险区域.
即有
lim
h0
1 h
P
t
T
t
t T
t
寿命T则服从参数为λ的指数分布.
上述假设从技术上讲就是电子元件未出现 “老化”现象. 对一些寿命长的元件,在稳定运 行的初期阶段老化很轻微,这种假设是合理的.
＊指数分布比较确切地描述了电子元件在稳定 阶段的寿命分布情况.
指数分布具有无后效性(马氏性):对任意的实
数学建模与数学实验
概率模型
河南师范大学概率教研室
概率模型
现
实
世
界
充
满
不
确 定
不存在确定的函数关系
性
往往借助于模拟仿真方法
随机现象的模拟 一. 随机变量的模拟
掌握成功模拟具有特定分布的随机变量的方法,
是模拟随机现象的重要方面. 例 1 老鼠在哪个房间？
在任一时刻观察老鼠在有3 个房间的迷宫内的
情况,老鼠所在房号X 是一个随机变量, 模拟X的
p(r)dr
P2
p
P ab 1
P bc 2
a-b ~售出一份赚的钱 b-c ~退回一份赔的钱
P1 P2
0
n
r
(a b) n , (b c) n
即购进的份数应该使卖不完与卖完的概 率之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退 回一份赔的钱之比。
练习:
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价 为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元， 需求量服从均值500份，均方差50份的正态 分布，报童每天应购进多少份报纸才能使 平均收入最高，最高收入是多少？
例2 穿越公路模型 穿越公路者在60 秒的期间内的每一时刻都可
能到达公路旁,用[0, 60](单位:秒)上的均匀分布随 机变量模拟穿越公路者到达路旁的时刻是合理的.
渡口模型中假设车身长度服从均匀分布, 处 理起来虽然较简单但却显然不合理.
2．正态分布
正态分布随机变量X的概率密度函数是
f (x)
1
2
exp[
1 2
(
x
)2 ],
x R.
正态分布由两个参数μ和σ唯一确定：
f(fx(x) )
σ小
σ大
00
μμ
xx
位置 参数
有3σ—原则：
P{ X 3} 0.9974 分布特点：
*单峰、对称； *数学期望μ确定概率曲线的中心位置； *标准差σ确定概率曲线的“宽窄”程度. 实用判别方法: 较多独立的、微小变量叠加而成的随机变量, 可以用正态分布来模拟.
密度函数为
f 其中方差
(x, z)
1
2
2
e
(
x
x1
)2 (z
2 2
z1
)2
, (x,
z)
与球员素质k成反比,与射门点A和目标点B之间的距
离d成正比,偏角 越大方差 越小,当夹角为90度时(即正对球
门中心),方差仅与k、d有关.由此确定 的表达式为
d (ctg 1),
k
其中ctg | x1 x0 | , d (x1 x0 )2 y02 z12
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)Leabharlann Baidur
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b bc
结果解释
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
ab bc
取n使
n
0
p(r)dr
P1 ,
n
(8) -----直线AB在地面上的投影与球门平面 的夹角,为锐角.
模型建立与求解:
首先建立空间坐标系,一球门的底边中点为原点o,地面为xoy面,
球门所在的平面为xoz面.
问题(1):
x , z 根据前面对问题的分析,假设素质为k的球员从A( x0 , y0 )
点面向距上离的为落d的点球为门二内维目正标态点分B布( ,且随1机变量1x),射z是门相时互,球独在立目的标.其平
分布律.
例1 1.1.doc两种模拟方法
1．利用理论分布，基于对问题的实际、合理 的假设,选择适当的理论分布模拟随机变量.
2.基于实际数据的频率做近似模拟.
方法评价
* 方法1 优点：可以计算各种可能结果的概率,便于进
行数学分析和处理. 缺点：限于十分简单的情况.问题越复杂,数学处
理变得越困难,并且丢失了试验数据的信息. *方法2
判别方法1.2.doc原理分析
例 *考试成绩服从正态分布；
* 测试误差服从正态分布； * 人的身高服从正态分布；… 3．指数分布
指数分布随机变量X的概率密度函数为
f
(
x
)
e
x
,
0,
x0 x0
f(x)
０
x
指数分布常用来描述“寿命”问题. 设电子元件的寿命为T，假定元件在t时刻尚正
常工作的条件下,其瞬时失效率总保持为常数λ,
(1)针对球员在不同位置射门对球门的威胁度 进行研究,绘制出球门的危险区域;
(2)在有一名守门员防守的情况下,对球员射门 的威胁度和危险区域作近一步的研究.
问题分析
(1)球员无论从哪个地方射门都有进与不进两 种可能,是随机事件;
(2)影响球员射门的命中率的因素主要有球员 的基本素质和射门时的位置.我们主要研究同质 球员在球场上任意一点射门时对球门的危险度.
P( N (t )
n)
Pn (t )
(t )n
n!
e t
,
n 1,2,
并且，顾客相继到达的时间间隔
T1，T2，…，Ti，… 相互独立,都服从参数为λ的指数分布.
2. 若顾客流到达的间隔时间是相互独立的随 机变量序列：T1, T2,…,Ti，…且Ti，i=1,2,…均服 从参数为λ指数分布,则在［0，t］内顾客到达
数s>0，t>0，均有
PT s t T s PT t
永远年 轻性
人类在50岁或60岁以前的寿命分布接近指数
分布.
思 考
若瞬时失效率是时间的函数λ(t),试
确定寿命Ｔ的分布.(参见电子科大教材
《概率论与数理统计》p76).
4．泊松分布和泊松流
离散型随机变量X的分布律为
P{ X x} P( x) x exp( ) ,
0 p1
随机变量X是 n 次独立贝努里试验中, 事件A 发生的总次数, 其中p=P(A).
三.利用概率模型
重点阐述利用概率的特点计算某些特定概率.
需掌握几种重要的概率模型. 1．古典概型
具有如下特点的试验模型为古典概型:
(1)试验的样本空间只包含有限个样本点;
(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望