北师大版正整数指数函数

1 048 576个。
２．电冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气层中的 臭氧层。臭氧含量 Q 近似满足关系式 Q Q0 0.9975 ,
t
其中 Q0 是臭氧的初始量，t 是时间(年)。设 Q0 =1.
(1)计算经过 20，40，60，80，100 年后，臭氧含量 Q . (2)用图像表示每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化. (3)试分析随着时间的增加,臭氧含量 Q 是增加还是减少.
【变式练习】
1.下列函数： ①y＝3x2(x∈N＋)； ②y＝5x(x∈N＋)； ③y＝3x＋1(x ∈N＋)；④y＝3· 2x(x∈N＋)． 其中是正整数指数函数的个数为( B ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
解：由正整数指数函数的定义知，①③④不是
正整数指数函数，②是，故选B.
（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别是1，2， 3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数
分裂次数 （n） 1 细胞个数 （y） 2 3 4 5 6 7 8
2
4
8
16 32 64
128
256
(2)如何用图像表示1个细 胞分裂次数n(n∈N+)与得到 的细胞个数y之间的关系？
随着时间的增加细胞个数在增加。
2.已知正整数指数函数 y＝(2a－1)x(x∈N＋)是增函数，则实数
a>1 ． a 的取值范围是________ 解：∵y＝(2a－1)x(x∈N＋)是增函数， ∴2a－1>1，即a>1.
例题精讲
例题 : 某地现有森林面积为 1000hm , 每年增长 5%，经过 x( x N ) 年，森林面积为 y hm ，写出
4.已知函数y=ax（a＞0，a≠1,x∈N+）在［1，3］上 的最大值与最小值的和是10，求a的值. 解析：当a＞1时，x=3时ymax=a3;
当x=1时，ymin=a, 由题意知a3+a=10，
代入验证a=2正确；
当0＜a＜1时，x=3时，ymin=a3;
当x=1时，ymax=a,此时a3+a=10，
D.y=π x(x∈N+)
【解析】正整数指数函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+) 当0<a<1时是减少的，只有C选项符合题意.
2.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（1个 分裂为2个），这种细菌由1个繁殖成1 024个需要的 时间是( D ) A.120分钟 B.160分钟
C.180分钟
第三章
§1
指数函数和对数函数
正整数指数函数
1.理解正整数指数函数的概念.（重点） 2.能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它 们的特征.（难点） 3.结合生活实际，感受运用函数概念建立模型的过程 和方法.
李明有1万元的压岁钱，你能计算他三年后的本利和 是多少吗?
一种产品的利润原来是a元，在今后10年内，
解： y 与 x 之间的函数关系式为
y 1000(1 5%) ( x N )
x
经过 5 年，森林的面积为
1000(1 5%) 1276.28(hm ).
5 2
小试牛刀
某市2013年开始新建住房400万平方米，预计在
今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上
年增长8%．求经过 x 年以后所建住房的累计面积
2
2
x, y 间的函数关系式，并求出经过 5 年，森林的
面积.
分析：一年后的森林面积为
y 1000 1000 5% 1000(1 5%)
两年后的森林面积为
列举法
y 1000(1 5%) 1000(1 5%) 5% 1000(1 5%) 2
同理,三年后的森林面积为 y 1000(1 5%)3 四年后的森林面积为 y 1000(1 5%)4 五年后的森林面积为 y 1000(1 5%)5
（以2013年为累计的第一年）
解：设累积面积为 y 万平方米
y 与 x 之间的函数关系式为
y 400(1 8%) x ( x N )
1.下列给出的四个正整数指数函数中，在定义域 内是减少的是( C )
A.y=1.2x(x∈N+)
C.y=0.99x(x∈N+)
B.y=3x(x∈N+)
Q
1.0
0.8 0.6 0.4 0.2 0 20 40 60 80 100 t/年
(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加， 臭氧的含量在逐渐减少.
问题探究：正整数指数函数的定义
y 2n，n N
y 0.9975t , t N
对照两个函数的解析式你能分析这两个函数的异 同吗？
代入验证a=2，但0＜a＜1，
故此时无解，故a=2.
1．正整数指数函数的概念.
2. 简单正整数指数函数的图像的画法.
时间应分配得精密，使每年、每月、每日
和每小时都有它的特殊任务。
图像是一 些孤立的
点
（3）你能写出y与n之间的关系式吗？试用科学计算器计 算细胞分裂15、20次后得到的细胞个数.
细胞个数 y 与分裂次数 n 之间的关系式为：
y 2n (n N )
用科学计算器算得
215 32768 220 1048 576
细胞分裂15次、20次后得到的细胞个数分别是32 768个和
一般地，函数 y a (Hale Waihona Puke Baidua 0, a 1, x N )
x
叫作正整数指数函数，
其中 x 是自变量，定义域是正整数集 N .
a>1 时函数在定义域上是增函数， 当_______ 0<a<1 时函数在定义域上是减函数 当_______ 在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中 常见这类函数.
计划使利润每年比上一年增加20%.
问题1：在今后10年内，每年的利润是上一年
的多少倍？
提示：1＋20%＝1.2(倍)．
问题2：在今后10年内每年的利润y随经过年数 x变化的函数关系式是什么？ 提示：y＝a×1.2x.
问题探究：正整数指数函数的定义 1.某种细胞分裂时，由
1个分裂为2个，2个分
裂为4个，……一直分 裂下去（如图）
D.200分钟
【解析】根据题意设由1个细菌繁殖成1 024个需要
分裂x次，则2x=1 024=210, 所以x=10，又每20分钟
分裂一次，所以需要的时间是20×10=200（分钟）.
3．某一电子产品的年产量去年是10万件，今后计划 使年产量每年比上一年增加 7% ，则5年后产量为
5 10 (1 7%) _________________万件.
解:（1）使用科学计算器可算得，经过20,40,60,80,100年后， 臭氧含量Q分别是：
0.9975 0.9512
20
0.997540 0.9047 0.997560 0.8605 0.997580 0.8185 0.9975
100
0.7786
（2）下图表示每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化，它的图 像是由一些孤立的点组成.