概率论与数理统计(二维随机变量函数的分布)

将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴 影部分．
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
e y , y 0 , 1 , 0 x 1 , fY ( y ) fX ( x) 0 , 其它 , 0 , 其它,
fZ ( z )


f X ( x ) fY ( z x )dx
定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2 ，…，Xn 为相互独立的随机变量，且 X i ~ N (i , i 2 ), i 1,2,...,n C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
C X
i 1 i
n
i
~ N ( C i i , C i i )
2 2 i 1 i 1
i 1 n
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
(2) 将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中， 得 n
FY ( y) [F ( y)] FZ ( z ) 1 [1 F ( z )]n
(3) Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可 由上述两式分别对y和z求导得到
fY ( y) n[F ( y)]n1 f ( y) fZ ( z ) n[1 F ( z )]n1 f ( z )
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.22】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为
f(x，y)，求Z = X + Y的概率密度．
解：事件X + Y Z所占有的区域如图，
由 FZ ( z ) P{ X Y z }
x y z
f ( x, y)dxdy
f ( x, y)dx]dy
t 2




e
x2 2
e
( z x )2 2
dx
其 中 z 令 t x ，得 2 z2 z2 t 2 1 1 4 fZ ( z ) e e dt e 4, 2 2
1 dt 1 e e 2 e 2
[


z y

对积分

z y
z y
f ( x, y )dx 作变量变换x = u – y得：
f ( x, y )dx
z
z


f (u y, y )du
z
于是 FZ ( z ) [ f ( u y, y)du]dy [ f ( u y, y)dy]du
n
n
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.24】设X和Y是两个相互独立的随机变量，其 概率密度分别为
1 , 0 x 1 , f X ( x) 0 , 其它,

e y , y 0 , fY ( y ) 0 , 其 它,
求：随机变量Z = X + Y的概率密度．
P{( X ,Y ) DZ } f ( x , y )dxdy
其中 DZ {( x, y) g( x, y) z}.
(2)FZ(z)对z求导数，得Z的概率密度为
DZ
d f Z ( z ) FZ ' ( z ) f ( x, y )dxdy dz DZ
3.5.2
(1) Xi～Fi (x)，i = 1，2，…，n (2) Xi同分布，即Xi～F(x)，i = 1，2，…，n (3) Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的概率密 度为f(x)，i = 1，2，…，n．
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
解：(1) Y max(X1 , X 2 ,..., X n ) 的分布函数为
3.5.1
二维离散型随机变量函数的分布,
(1 2 )k ( 1 2 ) k k! 1 i 2 k i P{ Z k } e i!(k i )! ( ) ( ) k! i 0 1 2 1 2 (1 2 )k ( 1 2 ) 1 2 k e ( ) k! 1 2 1 2
1/3 0.1
1/2 0.1
1 0.1
3.5.1
二维离散型随机变量函数的分布,
【例3.21】设 X ~ P(1 ),Y ~ P(2 ) , 且 X与Y独立，证 明 Z X Y ~ P(1 2 ) ． 证：
Z X Y
取值为0，1，2，…，
{Z = k}是互不相容事件 { X i ,Y k i }, i 0,1,, k 的和, 考虑到独立性，对任意非负整数k，有
FZ ( z ) P{min(X1 , X 2 ,, X n ) z}
1 P{min(X1 , X 2 ,, X n ) z} 1 P{ X1 z, X 2 z,, X n z} 1 P{ X1 z}P{ X 2 z} P{ X n z} 1 [1 Fi ( z )]
Z3 = min{X，Y} -1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
3.5.1
P (X，Y)
二维离散型随机变量函数的分布
0.2 (1,-1) 0.1 (1,0) 0.1 (1,1) 0.1 (2,-1) 0 (2,0) 0.1 0 0.3 (3,0) 0.1 (3,1) (2,1) (3,-1)
Z1 = X
Z2 = Y/X Z3 = min{X， Y}
fZ ( z )

f X ( z y) fY ( y)dy 和 fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx


这两个公式称为卷积公式，记为:
f X fY

f X ( z y ) fY ( y )dy

f X ( x ) fY ( z x )dx
二维连续型随机变量y)，Z=X+Y的概率密度．
f Z (z)

f ( z y, y )dy
f Z (z)


f ( x, z x )dx
特别地，当X和Y独立时, X，Y的概率密度分别为 和 f X ( x ) fY ( y )，则上述两式可分别写成
0, z0 f Z ( z ) 1 e z , 0 z1 ( e 1)e z , z 1
1
z
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.25】（最大值与最小值分布）设X1，X2，…， Xn是相互独立的n个随机变量 Y max(X1 , X 2 ,..., X n ) , 若 Z min(X1 , X 2 ,..., X n ) ，试在以下情况下求Y和Z的分 布．
第3章 多维随机变量及其分布
3.5 二维随机变量函数的分布
3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布
设(X,Y)为二维离散型随机变量，
则函数 Z g( X ,Y ) 是一维离散型随机变量．
若已知(X,Y)的分布律，
如何得到 Z g( X ,Y )的分布律?
3.5.1
二维离散型随机变量函数的分布
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.26】设随机变量X与Y相互独立，且同服从
(0，1)上的均匀分布，试求Z = | X – Y |的概率密度．
解：因为 FZ ( z ) P{| X Y | z}
z0 0, P{ z X Y z }, 0 z 1 1, z1 z0 0, 1 (1 z )2 , 0 z 1 1, z1
1
-1 -1
1
0 0
1
1 1
2
-1/2 -1
2
0 0
2
1/2 1
3
-1/3 -1
3
0 0
3
1/3 1
易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并)：
Z1 pi Z2 pj -1 0.2 1 0.4 2 0.2 3 0.4 Z3 -1 0 1
pk
0.3
0.4
0.3
-1/2 0.1
-1/3 0
0 0.4
Y X -1 0 1
【例3.20】设(X，Y)的分布律为
1
2
0.2
0.1
0.1
0
0.1
0.1
3
0
0.3
0.1
试求：Z1 = X，Z2 = Y / X，Z3 = min{X，Y}的分布律．
解：将(X，Y)及各个函数的取值对应列于同一表中
P (X，Y) Z1 = X Z2 = Y/X 0.2 (1,-1) 1 -1 0.1 (1,0) 1 0 0.1 (1,1) 1 1 0.1 (2,-1) 2 -1/2 0 (2,0) 2 0 0.1 (2,1) 2 1/2 0 (3,-1) 3 -1/3 0.3 (3,0) 3 0 0.1 (3,1) 3 1/3
解：因 fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx,欲使 f X ( x ) fY ( z x ) 0，
即使 f X ( x) 0, fY ( z x ) 0 ，
x与z必须满足 0 x 1, z x 0, 即
0 x 1, z x .
2 x t z 42
z ( x )2x 2 2 2
e dx dx
即Z～N(0，2)．
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
一般地，设X，Y相互独立，且 X ~ N ( 1 , 12 ) ， 2 2 Y ~ N ( 2 , 2 ) ，则 X Y ~ N ( 1 2 , 12 2 ) 更一般地，可以证明，有限个相互独立的正态 随机变量的线性组合仍服从正态分布．即
(1) z 0 时，由于 f X ( x ) fY ( z x ) 0 ，故 fZ ( z ) 0
(2) 0 z 1 时， fZ ( z ) e ( z x )dx 1 e z 0
(3) z 1 时，fZ ( z ) 0 e ( z x )dx (e 1)e z 综上所述，得到：
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
z
由 FZ ( z ) [
f ( u y, y)dy]du 对z求导数得

f Z (z)

f ( z y, y )dy
由X，Y的对称性，又有:
f Z (z)

f ( x, z x )dx
3.5.2
FY ( y) P{max(X1 , X 2 ,, X n ) y}
P{ X1 y, X 2 y,, X n y}
P{ X 1 y}P{ X 2 y} P{ X n y} Fi ( y )
i 1 n
Z min( 1 , X 2 ,..., X n ) 的分布函数为 X
P{ Z k } P{ X i }P{Y k i }
k i 0 k
(
i 0
1
i
i!
e
1
)(
2
k i
( k i )!
e 2 )
(1 2 )k ( 1 2 ) k k! 1 i 2 k i e i!(k i )! ( ) ( ) k! i 0 1 2 1 2
(1 2 )k ( 1 2 ) e , k 0,1, k!
即证明了 Z X Y ~ P (1 2 ) 例3.21的结论说明，泊松分布具有可加性 .
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
设(X，Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为 Z f(x，y)， g( X ,Y )为X，Y的函数，它也是连续型随机 变量． 求Z的概率密度的一般按下面两步进行: (1)求Z的分布函数 FZ ( z ) P{ Z z} P{ g( X ,Y ) z}
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
【 例 3.23】 （ 正 态 分 布 的 可 加 性 ） 设 X 和 Y 都 服 从 N(0,1)且相互独立，求Z = X + Y的概率密度．
解：由卷积公式 f Z ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx
1 ( x ) ( z x )dx 2