简谐运动的动力学方程

自自然 然长 长度度b
静平衡位置
OOOO
静平衡位置 m
静平衡
m d2x kx dt 2
位置静平衡
位置
x
即
d2x k x0
dt2 m
简谐运动的动力学方程
简谐运动的角频率（固有角频率）为
k g
mb
初始条件:
x t0
x0 b
v
dx dt
t0
v0
0
代入计算振幅和初相的公式得: Ab, π
简谐运动表达式为: x bcos( g t π) b
Fτ mgsin
切向运动方程为
mgsin maτ ml
d2
dt2
即
d2 g sin 0
dt2 l
为非简谐运动.
简谐运动的动力学方程
Fτ
当θ很小时 < 50 0.0873rad sin
为简谐运动 d22
dt2
0
单摆的角频率和周期分别为
g
l
T2π2π l
g
通过测量T,,确定该地点的重力加速度确
在振动过程中, 物体所受到的合外力与其相对于平衡位 置的位移成正比而反向(始终指向平衡位置), 这样的力称为 线性恢复力.
简谐运动的动力学方程
由牛顿第二定律
m d 2x kx dt2
或
d2x k x 0
dt2 m
令
2 k
m
得
d2x2 x 0
dt2
—简谐运动动力学方程
微分方程的解为 x Acos(t)
大学物理
振动学基础
第4讲 简谐运动的动力学方程
简谐运动的动力学方程
(1)作简谐运动物体的动力学特征是什
么?
(2)角频率或周期与什么因素有关?
简谐运动的动力学方程
简谐运动的动力学方程
一、简谐运动的动力wk.baidu.com特征
仍以弹簧振子为例作动力学分 析, 由胡克定律:
F kx
k— 劲度系数, “－”号表示 F与 x方向相反.
(1)单摆
如图, 细线的上端固定, 另一 端悬挂一可看作质点, 质量为 m 的重物, 细线的质量和伸长可忽 略不计. 这一振动系统叫做单摆. 重物叫做摆球, 细线叫做摆线.
若把摆球从平衡位置略为拉 开后放手, 摆球就在竖直平面内 来回摆动.
解: 规定: 右方顺时针 > 0 左方逆时针 < 0
在忽略空气阻力的情况下, 合外力沿 切线方向的分力(即重力分力) 为
点使自后达,放式弹 然解小手.簧长:取球.保度平平求持然衡衡证m自后位时:g放然先置,k手有长用b为后度手0坐小将标然球重原后作先物简用上谐手托运将使动重弹自自,物 簧并然 然上 保写长长托 持出度度使 自其弹 然振簧 长动k保 度表持 然
小球运动到 x处时, 有
F mgkxb kx
故小球作简谐运动, 且
结论: 在线性恢复力的作用下, 物体一定作简谐运动.
简谐运动的角频率(固有角频率)为
简谐运动的动力学方程
k
m
简谐运动的周期(固有周期)为
T 2π 2π m
k
弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质(k和mmmm) 有关, 而与其它因素无关.
二、简谐运动实例 ——单摆和复摆
简谐运动的动力学方程
dt2
J
令
2 mgl
J
即
d2 2 0 为简谐运动
dt2 为简谐运动为简谐运动
得复摆的角频率和为周简期谐分运别动为
mgl
mgl J
T 2π 2π J
mgl
J
简谐运动的动力学方程
例题 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m的小球的
小球的小球的小球,,弹簧弹簧弹簧弹簧伸长量为 b..先用手
将重物上托使弹簧 保持自然长度然后先用手将重物上托
定该 地点的重力加速度确定该地点的重
力加速度确定该地点的重力加速度 gggg.
运动方程表达式为
0 cost
θ0000为摆角的振幅为摆角的振幅为摆角 的振幅为摆角的振幅,,为初相为初相为
简谐运动的动力学方程
A
l
m O
(2)复摆
如图, 质量为 m的的任意形状的物 体, 被支持在无摩擦的水平轴 O上, 将
它拉开一个微小角度 θ后释放. 若忽
略阻力和摩擦力, 则物体将绕轴 O作微 小的自由摆动. 这样的装置叫做复摆.
简谐运动的动力学方程
简谐运动的动力学方程
解: 复摆在力矩 M的作用下的作用下的作用下的作用下,,由
定定轴律转动定M律由m定g轴l转J动定d律2由定轴转动定律由定轴转动
dt2
动力学方程为 d2 mgl