高中数学必修5_不等式的性质

1 0<c＝20.3<1，
∴b>c>a.
答案
B
3．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)如果a>b，那么a－c>b－c； a b (2)如果a>b，那么 > ； c c (3)如果ac<bc，那么a<b； (4)如果ac2>bc2，那么a>b.
解
(1)正确，符合性质3；(2)不正确，当c<0时不正确；(3)
规律技巧
解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利
用已知求解，否则易出错，同时在交换过程中要熟练掌握，准 确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减，相除的错误.
易错探究 已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围． 【错解】 ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴0≤a≤4. 又∵1≤a＋b≤5，－3≤－(a－b)≤1，∴－1≤b≤3. ∵0≤a≤4，－1≤b≤3， ∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，∴－6≤3a－2b≤14.
1 1 b－a (3)∵ － ＝ ， a b ab ∵a>b，∴b－a<0. b－a 1 1 1 1 又∵ < ，∴ － <0，∴ <0. a b a b ab ∴ab>0.
三
利用不等式性质求变量的取值范围
【例3】 取值范围． 【分析】 解．
a 已知－6<a<8,2<b<3，分别求2a＋b，a－b， b 的
§3.1
不等关系与不等式
第二课时
不等式的性质
课前预习目标
课堂互动探究
自 学 导 引 1、掌握常用不等式的基本性质． 2、会用不等式的性质，进行数或式的大小比较和不等式的 证明． 3、掌握用不等式(组)研究含有不等关系的问题.
复习回顾
1．实数大小的基本性质 a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
a＋m a ba＋m－ab＋m mb－a (3) － ＝ ＝ ， b＋m b bb＋m bb＋m ∵b>a>0，m>0， mb－a a＋m a ∴ >0，∴ > . bb＋m b＋m b
ac－ab－bc＋ab ca－b a b ⑥ － ＝ ＝ . c－a c－b c－ac－b c－ac－b ∵c>a>b>0，∴a－b>0，c－a>0，c－b>0，c>0， a b ∴ > .∴原式成立． c－a c－b b－a 1 1 1 1 ⑦∵a>b，∴a－b>0，又 a > b ，∴ a － b >0，即 ab >0，而 a>b，∴ab<0且a>b，∴a>0，b<0，∴原式成立．
【解】
①若c＝0时ac2＝bc2，故不正确．
1 1 ②若a>0，b<0，则a>b，故不正确． ③∵ac2>bc2，∴c2≠0，则c2>0，故a>b成立． ④a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0. ∴a(a－b)>0，故a2>ab，而ab－b2＝b(a－b)，又 b<0，a－b<0，∴ab>b2.∴原式成立． ⑤a2－b2＝(a－b)(a＋b)，∵a<b<0，∴a－b<0， a＋b<0，∴a2－b2>0，∴a2>b2.∴原式成立．
解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求
【解】 ∵－6<a<8,2<b<3，∴－12<2a<16. ∴－10<2a＋b<19. 又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. 1 1 1 又3<b<2， a (1)当 0≤a≤8 时，0≤b<4； a (2)当－6<a<0 时，－2＜b＜0. a 由(1)(2)得－2<b<4.
证明：(1)
bc－ad≥0⇒bc≥ad ⇒ 1 又bd>0⇒bd>0
c＋d a＋b a＋b c＋d c a c a d≥b⇒d＋1≥b＋1⇒ d ≥ b ⇒ b ≤ d . (2)c>a>b>0⇒c－b>c－a>0⇒ 1 1 > >0 a b c－a c－b ⇒ > . c － a c － b a>b>0
性质2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性) 即a>b，b>c⇒ a>c
证明：根据两个正数之和仍为正数，得
a ba-bo b c b-c 0

( a b ) ( b c ) 0 a c 0 a c.
不等式的传递性可以推广到n个的情形．
【正解】
设x＝a＋b，y＝a－b，
x＋y x－y 则a＝ 2 ，b＝ 2 ， ∵1≤x≤5，－1≤y≤3， 1 5 ∴3a－2b＝2x＋2y. 1 1 5 5 5 15 又 ≤ x≤ ，－ ≤ y≤ ， 2 2 2 2 2 2 1 5 ∴－2≤2x＋2y≤10. 即－2≤3a－2b≤10.
随堂训练 1.设a，b为非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是 ( ) A．a2<b2 1 1 C.ab2<a2b B．ab2<a2b b a D.a<b
证明：∵a>b, ∴a+c>b+c ①
又∵c>d, ∴b+c>b+d. ② 由①②得a+c>b+d
例1 已知a>b，c<d，求证：a-c>b-d．
(相减法则)
证明：∵a>b,c<d, ∴a>b,-c>-d.
根据性质3的推论2，得a+(-c)>b+(-d),
即a-c>b-d
性质4：如果a>b，且c>0，那么ac>bc； 如果a>b，且c<0，那么ac<bc。（可乘性） ① a>b,c>0 ⇒ ac>bc。 证明：ac-bc= (a-b)c, ∵ a>b, ∴a-b>0, 又∵c>0,根据同号相乘得正， ∴ (a-b)c>0 ⇒ac>bc。
质，对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式．
2 2 b a b －a 证明 (1) － ＝ ， a b ab
∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴a2>b2. 故b2－a2<0. b2－a2 b a 又∵ab>0，∴ <0，∴ < . ab a b (2)∵a>b>0，∴ a> b>0.① 1 1 1 又∵a>b>0，两边同乘正数ab，得b>a>0.② a b ①②两式相乘，得 > . b a
⑧a>b时，a、b不一定为正数，故lga与lgb可能无意义，故 应填③④⑤⑥⑦.
答案
③④⑤⑥⑦
二
利用不等式的性质证明简单的不等式
证明下列不等式．
【例2】
b a (1)已知a<b<0，求证：a<b； a b (2)已知a>b>0，求证： b > a ； 1 1 (3)已知a>b， < ，求证：ab>0. a b 【分析】 首先作差，对差进行分析或利用不等式的性
（开方法则） 证明：用反证法。
假定
n
a b，即 a b
n
n n
或n
a b
n
根据性质4的推论2和根式性质，得a<b或a=b.
这都与a>b矛盾，因此 n
a b
n
不等式的基本性质总结
b<a 性质1：对称性 a>b 性质2：传递性 a>b，且b>c⇒ a>c 性质3：可加性 a>b ⇒ a+c>b+c 推论1：移项法则 a>b ⇔a+c>b+c 性质4：可乘性 a>b,且c>0 ⇒ac>bc a>b，且c<0⇒ac<bc 性质5：相加法则 a>b， c>d ⇒ a+c>b+d
(2)性质 6
a>b>0 且 c>d>0⇒ac>bd.不但要求两个不等式同
向，而且不等式两边必须为正值，否则结论不一定成立，假设 去掉大于 0 这个条件，取 a＝3，b＝2，c＝－4，d＝－5，则有 3×(－4)>2×(－5)的错误结论．
(3)性质 7
a>b>0⇒an>bn(n∈N 且 n≥2)，若忽略 n∈N，且
【错因分析】
在错解中，由已知条件推出不等式－6≤3a
－2b≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但 结论是不正确的，事实上，由1≤a＋b≤5与－1≤a－b≤3，得 到0≤a≤4，－1≤b≤3，但这并不意味着a与b可各自独立地取 得区间[0,4]与[－1,3]的一切值．如取a＝4，b＝3时，a＋b＝7， 就已超出题设条件1≤a＋b≤5中的范围，细究缘由，就是推出 关系并非等价关系．
性质6：如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd。 (相乘法则) 证明:由性质3得
a b 0 ac bc o c0 ac bd c d 0 bc bd 0 c0
思考感悟： 若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd成立吗？
解析
用a＝－1，b＝1，试之，易排除A，D.ห้องสมุดไป่ตู้取a＝1，b
＝2，易排除B.
答案 C
1 1 2．设a＝log1 2，b＝log1 ，c＝20.3，则( 2 3 3
)
A．a<b<c C．b<c<a
B．a<c<b D．b<a<c
解析
1 1 易知a＝log1 2<0，b＝log1 >log1 ＝1， 3 2 3 2 2
不正确，当c<0时不正确；(4)正确，因为ac2>bc2，所以c2>0， 所以由性质4，可得a>b.
4．(1)若bc－ad≥0，bd>0， a＋b c＋d 求证： b ≤ d ； a b (2)已知c>a>b>0，求证： > ； c－a c－b a＋m a (3)已知a，b，m均为正数，且a<b，求证： > . b＋m b
性质6 ：相乘法则 a>b >0，且c>d>0⇒ac>bd 性质7：乘方法则 a>b>0 性质8：开方法则
a b (n N,n>1)
n n
a>b>0 ⇒ n
N,n>1) a b(n
n
例2 已知a>b,ab>0,求证： 1 1 .
a b
名 师 讲 解 1.在应用不等式的性质时应注意的问题 在使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的条件，不 能盲目套用，否则就会出错．例如： (1)性质 5 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以 相加，也可以表示为 a<b，c<d⇒a＋c<b＋d.
n n a b 0, 则 a b (n N且n 1) 性质7 ： 若
(乘方法则）
证明：因为
a b 0 a b 0 n个 ... a b 0
根据性质4的推论1，得
a b
n
n
n n a b 0, 则 a b (n N且n 1) 性质8： 若
n≥2，就会引出错误的结论．如取 a＝3，b＝2，n＝－1，则有 3
－1
1 1 >2 ，即3>2的错误结论．
－1
(4)注意不等式性质的单向性或双向性．也就是说每条性质 是否具有可逆性．仅有 a>b⇔b<a，a>b⇔a＋c>b＋c 具有可逆 性．其余几条性质是不可以逆推的．
一
典 例 剖 析 利用不等式的性质判断命题的真假
下列说法正确的是________．
2 2
【例1】
1 1 ①若a>b，则ac >bc ；②若a>b，则 < ；③若ac2>bc2，则 a b a>b；④若a<b<0，则a2>ab>b2；⑤若a<b<0，则a2>b2；⑥若 a b 1 1 c>a>b>0，则 > ；⑦若a>b且 > ，则a>0，b<0；⑧若 a b c－a c－b a>b，则lga>lgb.
性质3：如果a>b，那么a+c>b+c． 即a>b ⇒ a+c>b+c(可加性）
证明：∵(a+c)-(b+c)=a-b>0, ∴a+c>b+c.
推论1：不等式中任何一项改变符号后，可以 把它从—边移到另一边．（移项法则） 如果a+b>c,那么 a>c-b 即a+b>c ⇒a>c-b
性质5：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相 加法则) 即a>b， c>d ⇒ a+c>b+d．
2．做差比较法的基本步骤及要点：
作差→变形（通分、因式分解、配方、根式有理化） →定号→确定符号。
不等式的基本性质 性质1：如果a>b，那么b<a，如果b<a，那 么a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
证明：a>b⇒ a-b>0 ⇒-(a-b)<0 ⇒b-a<0 ⇒b<a
b<a⇒ b-a<0 ⇒-(b-a)>0 ⇒a-b>0 ⇒a>b