高中数学必修5_不等式的性质
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1 0<c=20.3<1,
∴b>c>a.
答案
B
3.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)如果a>b,那么a-c>b-c; a b (2)如果a>b,那么 > ; c c (3)如果ac<bc,那么a<b; (4)如果ac2>bc2,那么a>b.
解
(1)正确,符合性质3;(2)不正确,当c<0时不正确;(3)
规律技巧
解决此类问题,要注意题设中的条件,充分利
用已知求解,否则易出错,同时在交换过程中要熟练掌握,准 确使用不等式的性质,不能出现同向不等式相减,相除的错误.
易错探究 已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的范围. 【错解】 ∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,∴0≤a≤4. 又∵1≤a+b≤5,-3≤-(a-b)≤1,∴-1≤b≤3. ∵0≤a≤4,-1≤b≤3, ∴0≤3a≤12,-6≤-2b≤2,∴-6≤3a-2b≤14.
1 1 b-a (3)∵ - = , a b ab ∵a>b,∴b-a<0. b-a 1 1 1 1 又∵ < ,∴ - <0,∴ <0. a b a b ab ∴ab>0.
三
利用不等式性质求变量的取值范围
【例3】 取值范围. 【分析】 解.
a 已知-6<a<8,2<b<3,分别求2a+b,a-b, b 的
§3.1
不等关系与不等式
第二课时
不等式的性质
课前预习目标
课堂互动探究
自 学 导 引 1、掌握常用不等式的基本性质. 2、会用不等式的性质,进行数或式的大小比较和不等式的 证明. 3、掌握用不等式(组)研究含有不等关系的问题.
复习回顾
1.实数大小的基本性质 a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
a+m a ba+m-ab+m mb-a (3) - = = , b+m b bb+m bb+m ∵b>a>0,m>0, mb-a a+m a ∴ >0,∴ > . bb+m b+m b
ac-ab-bc+ab ca-b a b ⑥ - = = . c-a c-b c-ac-b c-ac-b ∵c>a>b>0,∴a-b>0,c-a>0,c-b>0,c>0, a b ∴ > .∴原式成立. c-a c-b b-a 1 1 1 1 ⑦∵a>b,∴a-b>0,又 a > b ,∴ a - b >0,即 ab >0,而 a>b,∴ab<0且a>b,∴a>0,b<0,∴原式成立.
【解】
①若c=0时ac2=bc2,故不正确.
1 1 ②若a>0,b<0,则a>b,故不正确. ③∵ac2>bc2,∴c2≠0,则c2>0,故a>b成立. ④a2-ab=a(a-b),∵a<b<0,∴a-b<0. ∴a(a-b)>0,故a2>ab,而ab-b2=b(a-b),又 b<0,a-b<0,∴ab>b2.∴原式成立. ⑤a2-b2=(a-b)(a+b),∵a<b<0,∴a-b<0, a+b<0,∴a2-b2>0,∴a2>b2.∴原式成立.
解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求
【解】 ∵-6<a<8,2<b<3,∴-12<2a<16. ∴-10<2a+b<19. 又∵-3<-b<-2,∴-9<a-b<6. 1 1 1 又3<b<2, a (1)当 0≤a≤8 时,0≤b<4; a (2)当-6<a<0 时,-2<b<0. a 由(1)(2)得-2<b<4.
证明:(1)
bc-ad≥0⇒bc≥ad ⇒ 1 又bd>0⇒bd>0
c+d a+b a+b c+d c a c a d≥b⇒d+1≥b+1⇒ d ≥ b ⇒ b ≤ d . (2)c>a>b>0⇒c-b>c-a>0⇒ 1 1 > >0 a b c-a c-b ⇒ > . c - a c - b a>b>0
性质2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性) 即a>b,b>c⇒ a>c
证明:根据两个正数之和仍为正数,得
a ba-bo b c b-c 0
( a b ) ( b c ) 0 a c 0 a c.
不等式的传递性可以推广到n个的情形.
【正解】
设x=a+b,y=a-b,
x+y x-y 则a= 2 ,b= 2 , ∵1≤x≤5,-1≤y≤3, 1 5 ∴3a-2b=2x+2y. 1 1 5 5 5 15 又 ≤ x≤ ,- ≤ y≤ , 2 2 2 2 2 2 1 5 ∴-2≤2x+2y≤10. 即-2≤3a-2b≤10.
随堂训练 1.设a,b为非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是 ( ) A.a2<b2 1 1 C.ab2<a2b B.ab2<a2b b a D.a<b
证明:∵a>b, ∴a+c>b+c ①
又∵c>d, ∴b+c>b+d. ② 由①②得a+c>b+d
例1 已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d.
(相减法则)
证明:∵a>b,c<d, ∴a>b,-c>-d.
根据性质3的推论2,得a+(-c)>b+(-d),
即a-c>b-d
性质4:如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 如果a>b,且c<0,那么ac<bc。(可乘性) ① a>b,c>0 ⇒ ac>bc。 证明:ac-bc= (a-b)c, ∵ a>b, ∴a-b>0, 又∵c>0,根据同号相乘得正, ∴ (a-b)c>0 ⇒ac>bc。
质,对已知不等式进行变形,从而得出要证的不等式.
2 2 b a b -a 证明 (1) - = , a b ab
∵a<b<0,∴-a>-b>0,∴a2>b2. 故b2-a2<0. b2-a2 b a 又∵ab>0,∴ <0,∴ < . ab a b (2)∵a>b>0,∴ a> b>0.① 1 1 1 又∵a>b>0,两边同乘正数ab,得b>a>0.② a b ①②两式相乘,得 > . b a
⑧a>b时,a、b不一定为正数,故lga与lgb可能无意义,故 应填③④⑤⑥⑦.
答案
③④⑤⑥⑦
二
利用不等式的性质证明简单的不等式
证明下列不等式.
【例2】
b a (1)已知a<b<0,求证:a<b; a b (2)已知a>b>0,求证: b > a ; 1 1 (3)已知a>b, < ,求证:ab>0. a b 【分析】 首先作差,对差进行分析或利用不等式的性
(开方法则) 证明:用反证法。
假定
n
a b,即 a b
n
n n
或n
a b
n
根据性质4的推论2和根式性质,得a<b或a=b.
这都与a>b矛盾,因此 n
a b
n
不等式的基本性质总结
b<a 性质1:对称性 a>b 性质2:传递性 a>b,且b>c⇒ a>c 性质3:可加性 a>b ⇒ a+c>b+c 推论1:移项法则 a>b ⇔a+c>b+c 性质4:可乘性 a>b,且c>0 ⇒ac>bc a>b,且c<0⇒ac<bc 性质5:相加法则 a>b, c>d ⇒ a+c>b+d
(2)性质 6
a>b>0 且 c>d>0⇒ac>bd.不但要求两个不等式同
向,而且不等式两边必须为正值,否则结论不一定成立,假设 去掉大于 0 这个条件,取 a=3,b=2,c=-4,d=-5,则有 3×(-4)>2×(-5)的错误结论.
(3)性质 7
a>b>0⇒an>bn(n∈N 且 n≥2),若忽略 n∈N,且
【错因分析】
在错解中,由已知条件推出不等式-6≤3a
-2b≤14的各个步骤,均实行了不等式性质中的推出关系,但 结论是不正确的,事实上,由1≤a+b≤5与-1≤a-b≤3,得 到0≤a≤4,-1≤b≤3,但这并不意味着a与b可各自独立地取 得区间[0,4]与[-1,3]的一切值.如取a=4,b=3时,a+b=7, 就已超出题设条件1≤a+b≤5中的范围,细究缘由,就是推出 关系并非等价关系.
性质6:如果a>b >0,且c>d>0,那么ac>bd。 (相乘法则) 证明:由性质3得
a b 0 ac bc o c0 ac bd c d 0 bc bd 0 c0
思考感悟: 若a>b>0,c>d,则ac>bd成立吗?
解析
用a=-1,b=1,试之,易排除A,D.ห้องสมุดไป่ตู้取a=1,b
=2,易排除B.
答案 C
1 1 2.设a=log1 2,b=log1 ,c=20.3,则( 2 3 3
)
A.a<b<c C.b<c<a
B.a<c<b D.b<a<c
解析
1 1 易知a=log1 2<0,b=log1 >log1 =1, 3 2 3 2 2
不正确,当c<0时不正确;(4)正确,因为ac2>bc2,所以c2>0, 所以由性质4,可得a>b.
4.(1)若bc-ad≥0,bd>0, a+b c+d 求证: b ≤ d ; a b (2)已知c>a>b>0,求证: > ; c-a c-b a+m a (3)已知a,b,m均为正数,且a<b,求证: > . b+m b
性质6 :相乘法则 a>b >0,且c>d>0⇒ac>bd 性质7:乘方法则 a>b>0 性质8:开方法则
a b (n N,n>1)
n n
a>b>0 ⇒ n
N,n>1) a b(n
n
例2 已知a>b,ab>0,求证: 1 1 .
a b
名 师 讲 解 1.在应用不等式的性质时应注意的问题 在使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的条件,不 能盲目套用,否则就会出错.例如: (1)性质 5 a>b,c>d⇒a+c>b+d,即两个同向不等式可以 相加,也可以表示为 a<b,c<d⇒a+c<b+d.
n n a b 0, 则 a b (n N且n 1) 性质7 : 若
(乘方法则)
证明:因为
a b 0 a b 0 n个 ... a b 0
根据性质4的推论1,得
a b
n
n
n n a b 0, 则 a b (n N且n 1) 性质8: 若
n≥2,就会引出错误的结论.如取 a=3,b=2,n=-1,则有 3
-1
1 1 >2 ,即3>2的错误结论.
-1
(4)注意不等式性质的单向性或双向性.也就是说每条性质 是否具有可逆性.仅有 a>b⇔b<a,a>b⇔a+c>b+c 具有可逆 性.其余几条性质是不可以逆推的.
一
典 例 剖 析 利用不等式的性质判断命题的真假
下列说法正确的是________.
2 2
【例1】
1 1 ①若a>b,则ac >bc ;②若a>b,则 < ;③若ac2>bc2,则 a b a>b;④若a<b<0,则a2>ab>b2;⑤若a<b<0,则a2>b2;⑥若 a b 1 1 c>a>b>0,则 > ;⑦若a>b且 > ,则a>0,b<0;⑧若 a b c-a c-b a>b,则lga>lgb.
性质3:如果a>b,那么a+c>b+c. 即a>b ⇒ a+c>b+c(可加性)
证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0, ∴a+c>b+c.
推论1:不等式中任何一项改变符号后,可以 把它从—边移到另一边.(移项法则) 如果a+b>c,那么 a>c-b 即a+b>c ⇒a>c-b
性质5:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相 加法则) 即a>b, c>d ⇒ a+c>b+d.
2.做差比较法的基本步骤及要点:
作差→变形(通分、因式分解、配方、根式有理化) →定号→确定符号。
不等式的基本性质 性质1:如果a>b,那么b<a,如果b<a,那 么a>b.(对称性) 即:a>b⇔ b<a.
证明:a>b⇒ a-b>0 ⇒-(a-b)<0 ⇒b-a<0 ⇒b<a
b<a⇒ b-a<0 ⇒-(b-a)>0 ⇒a-b>0 ⇒a>b