曲线积分和格林公式学习总结

高

数

作

业

姓名：徐艳涛

班级：电子商务1133

学号：201161102348

曲线积分和格林公式学习总结

§1对弧长的曲线积分

1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分

化为定积分的计算方法。

1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。

2、s z y x f d ),,(⎰

Γ

为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数

)

,,(z y x f 中的点)

,,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。

若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s

z y x f d ),,(⎰Γ

3、第一类曲线积分的应用：

1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ

2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds

z y x f ),,(⎰Γ

=

;

质心坐标为),,(z y x ，其中M

ds z y x zf z M

ds z y x yf y M

ds

z y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰Γ

Γ

Γ

=

=

=

;

对x 轴的转动惯量ds

z y x f z y Ix

),,()(2

2

+=

⎰Γ

4、第一类曲线积分的计算方法：

若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩

⎪

⎨⎧===)()

()

(t z z t y y t x x ，β

α

≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，

s z y x f d ),,(⎰Γ

=⎰

β

α

))

(),(),((t z t y t x f t

t z t y t x d )]('[)]('[)]('[2

2

2

++。

例1 计算⎰

Γ

ds

z y x )(2

2

2

++，其中Γ：t x cos =，t

y sin =，t z =，π

20≤≤t

解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰

Γ

ds z y x )(2

22++)

3

82(22)1(3

2

20

πππ

+

=

+=

⎰dt t

例2

⎰Γds y ||，其中Γ为球面2

2

2

2

=++z y x

与平面y

x =的交线；

解 Γ的参数方程为t

z t y x sin 2,cos =

==，π

20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=，

根据对称性得到⎰

L

ds

y ||=2

4d cos 24

2

=⎰t t π

例3 计算⎰Γ

ds z y x )(2

2

2

++，其中:Γ⎪⎩⎪⎨

⎧==+1

222z a

y x )0(>a

解

Γ:⎪⎩

⎪

⎨⎧===1sin cos z t a y t

a x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222

∴

⎰Γ

ds z y x )(2

22++)

1(2)1(2

2

20

+=+=

⎰a a adt a ππ

或解：被积函数222z y x ++中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程 ，所以12222+=++a z y x ，⎰

Γ

ds

z y x )(2

22++=⎰

Γ

ds

a )1(2

+=⎰+=+Γ)1(2)1(22a a ds a π

1.2 第一类曲线积分

公式：=

应用前提:

1.曲线L 光滑,方程可以写成为:

2.函数

在L 上有定义，且连续。

公式变形：若L 为平面曲线，L 方程为，则公式可以写成为：

常用计算法：

１．对于曲线L 可以写成为参数形式的，可直接套用公式． ２．对于平面曲线，可以用公式的变形．

３．计算中，根据图形特点，直接将ds 化为dx,dy 或dz ．

如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x

4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．

公式推导及证明

推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．