连续介质力学复习题a20121210

连续介质力学复习题

（1）1.10， 1.19 答：

120

122

22m

32

()()()()11(

)|1211

()

12

1

(1)(2)M(x)k 1=x =const D C (1)(2)2-2m=0.m=1.

m

x

x

m m m x

m m m M x x kD d x k d kC x m m kC x x m m kC x m m m m ξξξξξ

ξξ+++++-=-=-=-++=-++=++++⇒⇒⎰⎰令D(x)=Cx Cx 所以：

（2）2.13，考察一个被约束在圆形轨道上作匀速运动的质点。设v 是任意时刻的速度，质点的加速度是多少，即力量dv/dt 是多少？

2.19，两个矢量123u=,,u u u （）和123v=,,v v v （）的矢量积是矢量w=u v ⨯，

其分量为证明上式可以简写为 =i ijk j k u v ωε

证明：反证法：有 =i ijk j k u v ωε

所以有11=jk j k u v ωε 22=jk j k u v ωε 33=jk j k u v ωε

1111111121211313123231212113232122221313113333=++++++++u v u v u v u v u v u v u v u v u v ωεεεεεεεεε 2211112121221312221212222222323231312323223333

3311113121231313321213222232323331313323233333

=++++++++=++++++++u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v ωεεεεεεεεεωεεεεεεεεε

由此得出：12332

2311331221

=-=-=-u v u v u v u v u v u v ωωω

2.37将下列方程写出展开的形式2

,,21

()12i i kk k ki i u G u u X v t

ρ∂++=-∂

答： 222221

(+*)+=1-2i k i i k k i u u u G X x v x x t

ρ∂∂∂∂∂∂∂

=1当i 时。

2222222311112112222

1231121312222222122222

2222222221

+++*++)+=1-21v +++*++)+=1-2i=2,31v +++*++1-2u u u u u u u G X x x x v x x x x x x t u u u u u w G X x y z v x y x z x t u v v v G x y z v x y x ρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂（（）（（）同理有

（（2222

2222222322222

)+=1v +++*++)+=1-2w v X z x t u w w w w w G X x y z v x y x z x t ρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂）（（）

（3）3.9，在无体力情况下，如下应力分布是否处于平衡状态： 答：根据

0i j

ij

X x σ∂+=∂得到处于平衡状态。 即

++=0yx x zx x y z τστ∂∂∂∂∂∂，++=0y xy zy y x z σττ∂∂∂∂∂∂，++=0yz xz z z z y

ττ

σ∂∂∂∂∂∂ 又因：。。。。。。。。。

3.22库埃特流动。两个同心圆筒间的空间中充满了流体，如图P3.22。令内筒静止，外筒以每秒w 弧度的角速度旋转。若测得内筒的扭矩为T ，作用在外筒的扭矩是多少？为什么？ 答：

2

221212112212

0;();0

11()0

101

=;,(,)

;r z z

r v v v r v v v rv r r r z

dv dv v dr r dr r

v r v r

B

v Ar A B r

r r B B r Ar r Ar r r θθθθθ

θθθθωω===∂∂∂++=∂∂∂+-===+=+=+⇒速度场：不可压缩流体连续方程：不计体力，并按抽对称旋转进行计算，环向运动方程为：易证明，均满足以上方程

所以其一般解为为常数设，为内外筒的半径；，为内外筒的半径则：22

222211211222

22212122

222211211222

2221212222

2211211222

21222121222

211212()

;()111[()()]2()1=()=0===0r r r r A B r r r r r r r r v r r r r r r

r r r r r r r r

v r r d r dr r r r r θθ

ωωωωωωωωωωωωμωωτμωωωωωω--==

----⇒=+

--=

-+----=

-壁面剪应力为当，或，时，单位长222

212221

42T r r M r r r πμω

πτ===-度扭矩为：常数

所以内外筒扭矩相等。为。