连续介质力学复习题a20121210

连续介质力学复习题

（1）1.10， 1.19 答：

120

122

22m

32

()()()()11(

)|1211

()

12

1

(1)(2)M(x)k 1=x =const D C (1)(2)2-2m=0.m=1.

m

x

x

m m m x

m m m M x x kD d x k d kC x m m kC x x m m kC x m m m m ξξξξξ

ξξ+++++-=-=-=-++=-++=++++????令D(x)=Cx Cx 所以：

（2）2.13，考察一个被约束在圆形轨道上作匀速运动的质点。设v 是任意时刻的速度，质点的加速度是多少，即力量dv/dt 是多少？

2.19，两个矢量123u=,,u u u （）和123v=,,v v v （）的矢量积是矢量w=u v ?，

其分量为证明上式可以简写为 =i ijk j k u v ωε

证明：反证法：有 =i ijk j k u v ωε

所以有11=jk j k u v ωε 22=jk j k u v ωε 33=jk j k u v ωε

1111111121211313123231212113232122221313113333=++++++++u v u v u v u v u v u v u v u v u v ωεεεεεεεεε 2211112121221312221212222222323231312323223333

3311113121231313321213222232323331313323233333

=++++++++=++++++++u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v ωεεεεεεεεεωεεεεεεεεε

由此得出：12332

2311331221

=-=-=-u v u v u v u v u v u v ωωω

2.37将下列方程写出展开的形式2

,,21

()12i i kk k ki i u G u u X v t

ρ?++=-?

答： 222221

(+*)+=1-2i k i i k k i u u u G X x v x x t

ρ???????

=1当i 时。

2222222311112112222

1231121312222222122222

2222222221

+++*++)+=1-21v +++*++)+=1-2i=2,31v +++*++1-2u u u u u u u G X x x x v x x x x x x t u u u u u w G X x y z v x y x z x t u v v v G x y z v x y x ρρ????????????????????????????????????????????（（）（（）同理有

（（2222

2222222322222

)+=1v +++*++)+=1-2w v X z x t u w w w w w G X x y z v x y x z x t ρρ?????????????????????）（（）

（3）3.9，在无体力情况下，如下应力分布是否处于平衡状态： 答：根据

0i j

ij

X x σ?+=?得到处于平衡状态。 即

++=0yx x zx x y z τστ??????，++=0y xy zy y x z σττ??????，++=0yz xz z z z y

ττ

σ?????? 又因：。。。。。。。。。

3.22库埃特流动。两个同心圆筒间的空间中充满了流体，如图P3.22。令内筒静止，外筒以每秒w 弧度的角速度旋转。若测得内筒的扭矩为T ，作用在外筒的扭矩是多少？为什么？ 答：

2

221212112212

0;();0

11()0

101

=;,(,)

;r z z

r v v v r v v v rv r r r z

dv dv v dr r dr r

v r v r

B

v Ar A B r

r r B B r Ar r Ar r r θθθθθ

θθθθωω===???++=???+-===+=+=+?速度场：不可压缩流体连续方程：不计体力，并按抽对称旋转进行计算，环向运动方程为：易证明，均满足以上方程

所以其一般解为为常数设，为内外筒的半径；，为内外筒的半径则：22

222211211222

22212122

222211211222

2221212222

2211211222

21222121222

211212()

;()111[()()]2()1=()=0===0r r r r A B r r r r r r r r v r r r r r r

r r r r r r r r

v r r d r dr r r r r θθ

ωωωωωωωωωωωωμωωτμωωωωωω--==

----?=+

--=

-+----=

-壁面剪应力为当，或，时，单位长222

212221

42T r r M r r r πμω

πτ===-度扭矩为：常数

所以内外筒扭矩相等。为。

（4）4.12用锤子打击一个无限大的弹性体，应该设置什么样的边界条件？答：

（5） 分别推导拉格朗日应变张量和欧拉应变张量,

答：变形前物体中有三个相邻点p 、p ’、p ”。变形后他们移到Q 、Q ’、Q ”点。 考察连接点123(a ,a ,a )p 和相邻点112233'(a +da ,a +da ,a +da )p

的无限小线元。初始构形中线元pp ’长度ds 。的平方

222201232222123222201232222123220;;,i i i j i j j j

j

i ij i j ij l m

l m

i i

ij i j ij l m

l m

i j ij i i j ds da da da ds dx dx dx x a

dx da da dx x x a a ds da da da da da dx dx x x x x ds dx dx dx dx dx da da a a x x ds ds da da da da a a βααβδδδδδδ=++=++??=

=???=++==??=++==???-=-220()()1

()21

()

2j ij i j

i j

ij i j i j ij i j

i j i j

ij ij i j

ij ij i j

x

x da da a a OR

a a

a a ds ds dx dx dx dx dx dx x x x x x x E a a a a e x x βααβββαααβαββααββααβδδδδδδδδδδ??=-?????-=-=-???=

-??=-

5.2 血管是不可压缩的，即其体积不会变化。在通常情况下，血管可以看作一个圆柱壳。假设因某种原因人的血压上升了，使该血管的内径由a 增加至a+da ，而轴向长度不变。试计算因血压升高引起的血管内环向和径向应变的变化。

解：设血管外径为b ，血压上升后外径'=+b b b ?

r 2222

22r r b -)=(+)-(+)+2*-2*-=0

e =-=--=0=r 11e =+-)=0

2r 1=+=

rr r a b b a a b b b a a a b b b a b a r r a e r r a θθθθθθθππμμμμμμθμμθ??????

???????????????则有：（血管为圆形截面

根据对称性，，（）（

5.9

答：

答：（a ）11;02ln r u u r r a θπθ

?Φ?Φ

====?? （b ）1;0u v x y

?Φ?Φ====?? （c ）1cos ;sin n n r u Anr n u Anr n r θθθθ-?Φ?Φ=

===-?? （d ）2cos sin ;r u u r r r

θθθ

θ?Φ?Φ==-==-??

（a ）

答：

1()

21;;()

2j i

ij i j

xx yy xy u u e x x u v u v

e e e x y y x

??=+???????===+????

（b ）

2

2

222222

2

2

221;;()21()2yy xy xx xy

yy xx e e e u v u v

y x y x x y x y x y x y e e e x y y x

????????===+????????????????=+????

（c ）将已知（c ）中的式子代入（b ）中得：

22

22

2'

2

2222

20b 2-2k=2k' k'=-k

xx

yy xy yy

xy xx e k y e x e k x y

e e e y x x y ?=-??=??=?????+=????由（）中知若要协调则有

即 即

则应变系是协调的

(7) 给出牛顿流体和非牛顿流体的本构方程

答：牛顿流体本构方程ij ij ijkl kl p D V σδ=-+ （粘性效应与变形率呈线性关系） 各向同性时，

()2ijkl ij kl ik jl il jk

ij ij kk ij ij

D p V V λδδμδδδδσδλδμ=++=-++

平均正应力1/3kk σ与体积膨胀率kk v 无关

2

=-+2-3

ij ij ij kk ij p uv v σδμδ 不可压

=-+2ij ij ij p uv σδ

非牛顿流体本构方程

7.14航天员上了月球，并带回一些岩石样本。我们很关心这些岩石的力学性能。试设计一个实验大纲，以便用这些少量的岩石得到尽可能多的信息。

答：硬度：刻痕

抗拉：a ，制成标准试件受拉 b ，劈裂

抗压：a ，单轴抗压 圆柱形试件 半径4.8--5.2cm ，H=（2--3）倍半径 长方体试件： 变长L=4.8--5.2cm ，H=（2--2.5）L 抗剪：单面剪切、双面剪切、冲击剪切

弹性模量E ，剪切模量G,破送比u:标准试件作应力应变曲线，观察曲线特征 刚度试验机 F 应力应变曲线

（8）8.1区别均匀和各向同性两个词

（a ）如果你涉及高空探测火箭，你是否认为大气是均匀的或各向同性的？ （b ）如果问题涉及围绕火箭邻区域的流动，该火箭以不产生激波的速度飞行，能否把空气处理为均匀的或各向同性的？

（c ）如果在（b ）问题中发生了激波，又该怎样考虑？

答：均匀性是指某种物理特性在空间各点测量结果相同，可以看作平移对称性，各向同性是指力学性质和方向无关的，可以看作空间转动对称性

例如流动的河水是均匀的，但不是各向同性的

（a ）不考虑紧邻区域流动，火箭速度不产生激波，则可处理为均匀，各相同性。 （b ）考虑紧邻区域流动，不产生激波速度飞行，可处理为均匀，各向异性。 （c ）考虑紧邻区域流动，产生激波速度飞行，不均匀，各向异性。

8.5,说出三种非各向同性的液体

答：（纤维油漆、牛奶、血液、液晶）

8.15，在有些组受拉、其余组分受压而整体处于平衡的复合材料中，残余应力是改进力学性质的很好途径。例如，预应力钢筋增强的混凝土，高强纤维增强的金属和塑料都是改进的结构材料。若希望实现复合材料的各向同性或横观各向同性（在远大于 单根纤维直径的尺度上），纤维应按合乎需要的几何图形来铺设。试设计一种以高强度和各向同性为目的的复合材料。

答：(1)模压板材复合材料，将浸有树脂的随机短纤维模压、固化制成复合材料。由于短纤维的方向随机，因此是横观各向同性。

（2）m

π

叠层板（m=3、4、5.。。）。由复合材料力学知，满足

2

-2

(sin 2,cos 2,sin 4,cos 4)=0h h dz θθθθ?的叠层板是准各向同性叠层板。而

m

π

叠层板满足上式。

（9）9.8考虑具有麦克斯韦模型、有方程（9-6-1）描述的粘弹性材料。把一个正弦变化的力sin F a t ω=加到物体上。其稳态扰度u 是什么？

答：

sin ;

;cos sin (

)sin cos sin cos )[sin()sin ]t

F a t F

F u

aw wt

a wt

u dt

a

a a

u wt wt w w aw

a

a wu wt wt wt A

u wt w

ωμη

μ

η

μ

ηηαμ

ηη

αα==+?=+

?=

-+?=

-+

=

-+

?=

-+? 其中1/2

22A=()+(),tan =

aw w

αμ

αμ

ηη??

??

??

（10）导出雷诺系数，说明雷诺系数的意义，解释为什么雷诺系数很大时，需要边界层理论；

答：雷诺数表示惯性力与剪应力的比值 惯性力量级：2v ρ

剪应力量级：

v L

μ 2==/N V vL

R v L ρρμμ

=惯性力剪应力

大雷诺数表示惯性力效应占优势，小雷诺数表示剪切效应占优势.

''2'''

1

=-+(=1,2,3)i i i N

Du p V u i Dt x R ?? R N →∞时，除非二阶导数2

'

1

u V 极大，否则最后一项总可以略去。 在速度及其导数为有限值的一般流场中，当Re 趋于无限时，粘性效应即不存在。然而，由

于无滑移条件的关系，在固体壁附近，速度会发生迅速变化，有自由由流速变为固体速度。如果此转变层很薄，即使雷诺系数很大，也不能忽略最后一项。

即在边界层内，即使雷诺数非常大，粘性影响亦是很明显的那个流体区域。 量级分析

δ e L

R ρυμ

=

。雷诺数控制了流体的动力相似性，表征了流体的流动状态。雷诺数代表惯性力和粘性力（剪切力相关）的比值。雷诺数小时，粘性力占主导地位；雷诺数大时，惯性力占优势。当其很大时，粘性效应消失，但是由于固体表面无滑移条件，边界层的粘性效应还是存在，需要考虑。

（11）11.11 如果空气真是无粘性的，飞机能够飞行吗？鸟和昆虫能飞行吗？为什么？

答：飞机能飞，机翼上下空气流动速度不一样，上面流动得快，下面流动得慢，使机翼上下面产生向上压力差，给飞机上升的力，所以飞机能飞

鸟和昆虫不能飞，鸟和昆虫的飞行是扇动翅膀依靠空气给翅膀的反作用力飞行，如果空气没有粘性，就无法提供这个反作用力，所以鸟和昆虫不能飞行

(12)写出均匀各向同性弹性体的基本方程,边界条件 答：

1()

2()02j i k k

ij i j i j j i i j

j

i i

i j j i i ij i i

j

ij kk ij ij

u u u u e x x x x v v v v t x v v a v t x v t x a X x e Ge ρρσρσλδ????=++??????=

+????=+????+=???=+?=+应变张量：

质点速度：质点加速度：

连续性方程：欧拉运动方程：

各向均匀同性弹性材料胡克定律