材料力学经典例题

Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
工程上采用空心截面构件：提高强度， 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约 材料， 材料，重量轻 结构轻便，应用广泛。 结构轻便，应用广泛。
Ip =
例题2.4 例题2.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。 D=350mm，油压p=1MPa 螺栓许用应力[σ]=40MPa p=1MPa。 [σ]=40MPa， D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F = D 2 p
目录
FN 1 = 2 F1 ≤ [σ ] A1
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
3、根据水平杆的强度，求许可载荷 根据水平杆的强度， 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2 =2×
FN 2 = − FN 1 cos α = − 3F
FN 2 = 3F2 ≤ [σ ] A2
FN 1
（kN·m） ）
MT
2. 校核强度
MT1 10×103 ×16 ×103 = 50.9MPa＜ [τ] (τmax )1 = W = π×1003 p1
MT2 3×103 ×16 τmax ) 2 = = ×103 = 70.7 MPa ＞ [τ] ( Wp2 π×603
MT1 180 10×103 ×32 180 ⋅ = ⋅ = 0.7 o m ＜[θ] θ1 = GIp1 π 80×109 ×π×1004 ×10−12 π MT2 180 3×103 ×32 3 180 ⋅ = ×10 ⋅ = 1.7 o m ＞[θ] θ2 = GIp2 π 80×π×604 π
0.8m
解： 当载荷W移到 点时，斜杆AB 移到A点时 当载荷 移到 点时，斜杆AB
受到拉力最大，设其值为Fmax。 受到拉力最大，设其值为Fmax。 讨论横梁平衡
W
Fmax
Fmax
∑M
c
=0
Fmax sin α ⋅ AC − W ⋅ AC = 0
Fmax W = sin α
目录
FRCx
C
α
FmaxA
P P Me = 9549×0.735 = 7024 n n
例题已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 例题已知：一传动轴， ， 已知 PC=500kW，从动轮输出 PA=150kW，PB=150kW， ， ， ， PD=200kW，试绘制扭矩图。 ，试绘制扭矩图。
MeA
MeB
MeC
p D
π 4
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6 每个螺栓承受轴力为总压力的1/6 即螺栓的轴力为
FN = F π 2 = D p 6 24
FN ≤ [σ ] 根据强度条件 σ max = A πd 2 πD 2 p FN ≥ 得 A≥ 即 [σ ] 4 24[σ ]
0.352 ×106 D2 p = = 22.6 ×10−3 m = 22.6mm d≥ 螺栓的直径为 6[σ ] 6 × 40×106
例:
功率为200 ，转速为1200 1200转 功率为200kW，转速为1200转/分钟的电动机转子轴如 200
试校核其强度。 图，许用切应力[τ]=30 Pa, 试校核其强度。 许用切应力[ =30M Me Me C D2=75 D1=70 解：①求扭矩
A
B D3 =135 扭矩图略
200 MT = Me = 9.55 1200 = 1.592kN⋅ m
0.8m
Fmax
FN = Fmax = 38.7 kN
W
Fmax
斜杆AB横截面上的应力为 斜杆AB横截面上的应力为 AB
FRCx
C
α
FmaxA
FRCy
W
FN 38.7 ×103 σ= = = A π (20×10−3 )2 4 123×106 Pa = 123MPa
目录
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
∑F
FN 1
FN 2 α
y
=0
FN 1 sin α − F = 0
y
A F
FN 1 = F / sin α = 2 F FN 2 = − FN 1 cos α = − 3F
x
2、根据斜杆的强度，求许可载荷 根据斜杆的强度， =2× 查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2
1 1 F1 ≤ [σ ]A1 = ×120 ×106 × 2 × 4.8 ×10 − 4 2 2 = 57.6 ×103 N = 57.6kN
②计算并校核切应力强度
τ max
M T 1.592 × 106 = = = 23.6MPa ≤ [τ ] 3 Wp π ⋅ 70 16
③此轴满足强度要求。 此轴满足强度要求。
§3.5 圆轴扭转时的变形和刚度
一、扭转变形
1. 单位长度扭转角
MT dϕ = d x GIp
( rad/m)
MTl ϕ= GIp
MeD
n A B C D
解：①计算外力偶矩
MeA
MeB
MeC
MeD
P MeC = 9.55 C n A 500 = 9.55⋅ =15.9(kN⋅ m) 300
n B C D
P 150 A MeA = MeB = 9.55 = 9.55⋅ = 4.78 (kN⋅ m) n 300
P 200 D MeD = 9.55 = 9.55⋅ = 6.37 (kN⋅ m) n 300
②求扭矩（扭矩按正方向设） 求扭矩（扭矩按正方向设） MeA 1 MeB 2 MeC 3 n A 1 B 2 C 3 D
x
MeD
MeA=4.78KN·m MeB=4.78KN·m MeC=15.9KN·m MeD= 6.37KN·m
MT = ΣMe MT1 = −MeA = −4.78kN⋅ m
MT2 = −MeA − MeB = −9.56kN⋅ m MT3 = MeD = 6.37kN⋅ m
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2.2 例题2.2
A 1
45° 45°
C
2
FN 1
y
图示结构，试求杆件AB、CB的 图示结构，试求杆件AB、CB的 AB 应力。 =20kN；斜杆AB AB为直 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 20mm的圆截面杆 水平杆CB 的圆截面杆， CB为 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆 的方截面杆。 15×15的方截面杆。 计算各杆件的轴力。 解：1、计算各杆件的轴力。 B 设斜杆为1 水平杆为2 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） 用截面法取节点B 用截面法取节点B为研究对象 F
目录
F
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
B d
C 1.9m
α
例题2.2 悬臂吊车的斜杆AB为直径 例题2.2 悬臂吊车的斜杆AB AB为直径 d=20mm的钢杆 载荷W=15kN 的钢杆， W=15kN。 d=20mm的钢杆，载荷W=15kN。当W 移到A点时，求斜杆AB AB横截面上的 移到A点时，求斜杆AB横截面上的 A 应力。 应力。
45° FN 2 45° B
∑ Fx = 0
x
∑F
FN 1 cos 45o + FN 2 = 0 FN 1 sin 45o − F = 0
FN 2 = −20kN
目录
y
=0
F
FN 1 = 28.3kN
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45° 45°
FN 1 = 28.3kN
FN 2 = −20kN
例题
A
已知: 已知 d1=100mm, d2=60 mm ,[τ] = 60 7kN·m 0 GPa 2 校核强度、 校核强度、刚度 C B 800 800 解：1. 内力分析 MT1=10 kN·m, MT2=3 kN·m 10 作扭矩图 3 ＋
MeA
MeB
MeC
MeD
n A B C D
6.37
MT
（kN·m） ） 4.78 9.56
Ip = ∫ A ρ dA
2
称为横截面对圆心O点 称为横截面对圆心 点 的极惯性矩，单位:mm4。 的极惯性矩，单位
四、最大切应力
在横截面周边各点 ρmax =R
MT R τ max = IP
r
令
Wp =
τmax
3. 校核刚 度
结论：第一段满足强度和刚度要求， 结论：第一段满足强度和刚度要求， 第二段则都不满足。 第二段则都不满足。
例题
已知: 已知 m0, a 作扭矩图 解：1. 受力分析 一次静不定 2. 建立相当系统 解除约束B, 代之以多 解除约束 余未知力偶 mB, 4. 建立物理方程
Mi a ϕi = GIP
FRCy
W
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
B d
由三角形ABC求出 由三角形ABC求出 ABC
C 1.9m
α
A
BC 0.8 sin α = = = 0.388 2 2 AB 0.8 + 1.9 W 15 Fmax = = = 38.7kN sin α 0.388
斜杆AB的轴力为 斜杆AB的轴力为 AB
FN 2 α
y
A F
1 1 [σ ]A2 = F2 ≤ ×120 ×106 × 2 ×12.74 ×10 − 4 1.732 3 = 176.7 ×103 N = 176.7kN
x
4、许可载荷
F ≤ {Fi }min {57.6kN 176.7kN}min = 57.6kN
目录
§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形
2、计算各杆件的应力。 计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1
y
F
FN 1 28.3 ×103 = = σ1 = A1 π × 20 2 ×10 −6 4 90 ×106 Pa = 90MPa
45° FN 2 45° B
x
FN 2 − 20 ×103 σ2 = = 2 = −6 A2 15 ×10 − 89 ×106 Pa = −89MPa
某轮传递功率P 如:某轮传递功率 =30kW , 转数 n = 300 rpm, 某轮传递功率 则它对轴作用的外扭转力偶矩为: 则它对轴作用的外扭转力偶矩为
P 30 Me = 9549 = 9549 = 954.9N⋅ m 300 n
如果传递的功率单位为马力， 那么公式会怎样？ 如果传递的功率单位为马力， 那么公式会怎样？ 1马力 马力=0.735kW，则P为马力时： 为马力时： 马力 ， 为马力时
例题2.6 例题2.6 AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 面积为200mm 面积为250mm E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。 =200GPa。 =10kN。 的位移。
FN 1
FN 2
300
y
A F
解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 计算轴力。（设斜杆为1 。（设斜杆为 平杆为2 取节点A 平杆为2杆）取节点A为研究对象 ∑ Fx = 0 FN 1 cos α + FN 2 = 0 ∑ Fy = 0 FN 1 sin α − F = 0 FN 1 = F / sin α = 2 F = 20kN FN 2 = − FN 1 cos α = − 3F = −17.32kN x 根据胡克定律计算杆的变形。 2、根据胡克定律计算杆的变形。
3. 建立几何方程
ϕAB= ϕΑC＋ ϕCD +ϕDB=0
4. 建立物理方程 M1=－mB － M2=－mB＋m0 － M3=－mB － 5.建立补充方程 5.建立补充方程 T 物理方程代入几何方程
M a M2a M3a 1 + + =0 GIP GIP GIP
AC段 段 CD段 段 DB段 段
即 （－mB ）+（－mB＋m0)+( －mB) = 0 － － mB= m0 /3 解得 6. 作扭矩图
目录
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
例题2.5 例题2.5
AC为50×50×5的等边角钢，AB为10 50×50× 的等边角钢， =120MPa。 号槽钢， 号槽钢，〔σ〕=120MPa。确定许可载荷F。
解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆 计算轴力（设斜杆为1 用截面法取节点A 为2杆）用截面法取节点A为研究对象 ∑ Fx = 0 FN 1 cos α + FN 2 = 0
W = p
π D3
16
Ip =
π D4
32
1−α 4 ) (
Wp =
π D3
16
1−α4 ) (
d α= D
六、圆轴扭转强度条件
MT τmax = ≤ [τ ] Wp max
1.强度校核 1.强度校核 解决三 类问题 2.截面设计 截面设计 3.确定许可载荷 确定许可载荷
公式仅适用于各向同性、 公式仅适用于各向同性、 线弹性材料， 线弹性材料，在小变形 时的等截面圆直杆。 时的等截面圆直杆。
τ max
M Tmax = ≤ [τ ] Wp
M Tmax Wp ≥ [τ ]
M Tmax ≤ Wp [τ ]
• • • •
低碳钢试件： 低碳钢试件： 沿横截面断开。 沿横截面断开 铸铁试件： 铸铁试件： 沿与轴线约成45°的螺旋线断开。 沿与轴线约成 °的螺旋线断开。