控制系统数字仿真理论

第7章控制系统数字仿真理论

7.1弓I言

仿真主要采用相似性原理。因实际系统是连续的，而计算机系统是离散的（尽管计算机的主频目前可达1 GHz以上，但仍然是断续的），故用计算机进行仿真有两种关键技术：1）建立实际系统的数学模型。

2）实际系统的离散方法。

系统的离散化方法主要分为两大类，即数值积分方法和直接离散化方法。

常用数值积分方法按递推时所需数据步数分为单步法、多步法和预估一校正法。

（1）数字仿真的特点

连续系统的数学模型一般是微分方程或偏微分方程，因此数字仿真中的主要数值计算工

作是微分方程（或偏微分方程）数值解的问题。数字仿真的整个过程是由事先编好的仿真程序来控制。在大系统实时或超实时仿真中，仿真速度成为一个十分突出的问题。

（2）系统仿真技术新动向

一个实际的系统可分为连续系统、离散系统、混合系统和定性系统（模糊理论）。而仿真根据其采用的对象可分为计算机仿真、半实物仿真、比例模型仿真和人在回路中仿真。根据

信号的类别可分为数字仿真、模拟仿真、混合仿真。根据仿真时间可分为实时仿真、超实时

仿真（n:1）和欠实时仿真（1:n）。根据应用情况可分为工程系统仿真和非工程系统仿真。还可根

据分布情况分为集中式和分布式仿真。

系统仿真技术的新动向是：采用分布式、开放式、交互式构架体系，面向对象、网络和数据库的标准化的应用多媒体和虚拟现实技术进行系统仿真。其发展目标是构成可操作性、可移植性、交互性强，开放式的仿真体系构架。

（3）仿真的可信度

仿真的可信度取决于模型的准确性、环境模拟的准确性和干扰处理等3个因素。

⑷虚拟现实（virtual reality或灵境，缩写为VR）

1989年，美国计算机科学家Jaron Lanier赋VR以现在的含义。虚拟现实综合运用了计算机图形学、仿真技术、人机接口技术、多媒体技术、传感器技术等，能感知方向、听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，使人有身临其境的感觉。

传感器主要有：头盔显示器、数据手套、触觉与力度传感器；跟踪球；空间探针等。

1）VR 的4 个重要特征：multi-se nsory 多传感器；immersio n（prese nee）临场感；in teraction

交互；aut onomy自主性。

2）VR的5个研究内容及关键技术：动态环境建模技术；实时3D 图形生成技术，最好30帧/s

以上；立体显示和传感器技术；VR环境的开发平台（VRT，WTK）;系统集成技术，包括信

息同步技术、模型标定技术等。

7.2仿真理论

要在数字计算机上进行连续系统的仿真，必须先将连续模型变换为离散化的模型，然后迭代递推出要仿

真的变量结果。系统的离散化方法主要分为两大类，即数值积分方法和直

接离散化方法。

7.2.1数值积分法

常用的数值积分方法按递推时所需数据步数分为单步法、多步法和预估衣正方法3种。

(1) 单步法

属于单步法的主要有欧拉(Euler)法和龙格—库塔(Runge-Kutta)法。其中欧拉法最简单，但由于它有明显的几何意义，可以比较清楚地看出其数值解是如何逼近微分方程精确解的。

1) 欧拉法

设有一微分方程

y(t) =f(t,y(t)),且y(0) =y°(7-2-1) 若把式(7-2-1)在某一区间(t n ,t n 1 )上积分，则可得

y n i —yn 二t n n 1 f(t, y(t))dt

上式右端积分若以一近似公式代之，即

n1 f(t, y(t))dt =hf n

t n

其中，h=t n1 -t n，即步长。

令f n二f(t n，y(t n))，Y n 1二y(t n 1)，Y n二y(t n)，只要h取值比较小，就可以认为：在该

步长内的导数近似保持前一时刻t n时的导数值f n。这样用欧拉法离散式(7-2-1)后的递推

公式为

y n 1 =y n hf n (7-2-2) 因已知y(O)=y°,所以由式(7-2-2)可以求出力，然后求出y，以此类推。其一般规律即是：由前—点t n上的数值y n就可以求得后一点t n 1上的数值y n 1。这种方法称为单步法。由于它可以直接由微分方程已知的初始值y0作为它递推计算时的初值，而不需其他信息，

因此它是一种自启动的算式。

下面用一简单例子说明欧拉法的应用及其数值解与精确解的误差。

【例7.2.1】设一微分方程为y • y2=0, y(0)=1,试用欧拉法求其数值解。

解：因欧拉法递推公式为y n = y n hf n，现y = - y2，所以f (y^ - y2。

若取步长h=0.1，由t=0开始积分，则可得

2

y1 =1+(0.1)( -1 )=0.9

y2=0.9+(0.1)[ -(0.9)2]=0.819

2

y3=0.819+(0.1)[ _ (0.819)2]=0.752

y io =0.482

该例的精确解为：y =1/(1 t)。

以上结果与精确解比较如下：

t00.10.20.3 1.0精确解y(t)10.909 090 90.833 333 30.769 230 70.5

数值解y n10.90.8190.7520.482

欧拉法的几何意义为：对微分方程求解的几何意义为求微分函数曲线下面的面积，

而欧拉离散法是用采样区间的矩形面积代替其实际的曲线下的面积，然后把所有矩形面

积相加得到微分方程的近似解。见图7.2.1所示。

欧拉法的代数意义为：微分函数的泰勒级数在t n处展开并保留到一阶。

欧拉法可由给定的初值一直递推，而不需其他信息，直到递推出满足精度要求的结

y n 1 二y n hf n (h2/2)(f n f y n f n) •(7-2-4)

为避免计算f n , f y n等导数项，可以令y n出由以下算式表示:

由本例已可看出欧拉法的误差是比较大的,其误差的数量级在10工左右。

果为止。其缺点是精度较低，其误差的数量级在10 °左右。

2)龙格-库塔法

为得到精度较高的数值积分方法，龙格和库塔两人先后提出了用函数值f的线性组合来代替f的高阶导数项，则既可避免计算高阶导数，又可提高数值积分的精度。其方法如

下：

先将精确解y(t)在

y(t n

t n附近用泰勒级数展开成

- h2•• h3-

h) =y(t n) hy(t n) y(t n) y(t n) 2 3!

(7-2-3)

y(t n) y(t n)二f n - f y n f n

y n 1 =yn h'b j k j