不定积分运算法则

（注:此性质可推广到有限多个函数之和）
(2) kf (x)dx k f ( x)dx.（k 是常数，k 0)
14
题型4.2 直接积分法（P226）
知识要求 1、函数变形（化和差、化幂指、化分式、化三角）; 2、积分运算法则(3条)； 3、积分基本公式(9条)。
方法步骤
函数变形---法则拆项--公式计算
公式1/2
x

6
5
x3

3
7
x3
C
57
19
化和
4 ex 3 2x dx [3ex 2ex ] dx
法则
3
ex
dx



2e
x
dx
式4/3 3ex
2e x C
ln 2e
3ex 2x ex C 1 ln 2
20
凑微分法（第一换元法）（P227）
且曲线过0, 2点,试求该曲线的方程.
解 依题意 F x 3x2 1
两边积分F x 3x2 1dx x3 x C
即曲线方程由y x2 x C 确定.
又因曲线过0, 2点,将x 0, y 2代入y x3 x C得C 2.
(3)
1 u

u
'
dx

ln
|
u
|
C
(4) au u ' dx a u C; ln a
(5) eu u 'dx eu C; 22
(6)sin xdx cos x C; (6) sin u u 'dx cosu C;
(7) cos xdx sin x C; (7) cosu u 'dx sin u C;
2



x
1 x

sin
x

dx;
4 ex 3 2x dx.
解
1
x2

2 x3
化幂
dx
x2 2x3
dx
法则
x2dx 2 x3dx
公式2
1 3
x3

1 x2
C
18
(2)
x 1 sin x x
知识要求 1.会求函数的导数和不定积分; 2.熟悉函数f (x)与它的原函数F (x) 的关系，即
f (x) F '(x) f (x)dx F(x) C
方法步骤:
1.已知函数F '(x) f (x)求其原函数F(x)： f (x)dx F(x) C
(可代一点坐标确定C） 2.已知原函数F(x)求其函数f (x)：f (x) F '(x)
C q 2q 3dq q2 3q C C是积分常数
由固定成本为2,即q 0，C0 2,
代入可得 C 0 C 2即C0 2;
因此,生产成本函数为 C q q2 3q 2
10
历届试题
（0601，3分）
（0701，3分） （070，3分）
1.选u确定函数f (u）:化被积函数f (u） g x __ f (u）u '(x);
其中f (u）有对应的积分公式,g x g x dx ' 常数u '(x)
公式
2.由f (u）选公式: f (u） g x dx f (u）u 'dx F(x) C
1
1 ex
5
c
5 u1ex ,u 'ex
28
1
公式7 sin u u ' dx cos u C
3
sin
公式7
x dx
x2
u

1 x
,u
'
1 x2

sin

1 x


1 x

dx
公式7

cos

1 x

11
基本积分公式
(1) dx x C (2) x dx x1 C ( 1);
1
(3) 1 dx ln | x | C x
(4) axdx ax C; (a 0且a 1) ln a
(5) exdx ex C;
12
(6) sin xdx cos x C;
于是所求曲线方程为 y x3 x 2
9
P222例2
例2 经过调查发现,某产品的边际成本函数为2q 3; 其中q是产量.已知生产的固定成本为2, 求生产成本函数.
解 设所求生产成本函数为C q,
Cq 2q 3 又 q2 3q C 2q 3
dx
化和

1 1 sin x x
dx
法则
1dx


1 x
dx


sin
xdx
公式1/3/6
x ln x cos x C
3
1 3 x2
2
dx
化和化幂

2 4
1 2x3 x3 dx


法则
2
4
1dx 2 x3 dx x3dx

c
公式2 u u ' dx 1 u 1C
1
4 x 1 x2dx
公式2 u1x2 ,u '2x
1 2
1
1 x2 2 1 x2 ' dx
公式2


1
1 x2
3
2 c
3
29
补充例1
求
(
x

2
1) dx
y F x F ' xdx 2xdx x2 C
因为曲线过点1,2,以x 1, y 2代入式,可得C 1
故所求过1, 2点的曲线方程为y x2 1.
8
P293例1
例1 已知曲线y F(x)在任一点x处的切线斜率为3x2 1,
ax , ex, sin x, cos x.
u
'

x 1
,

1 x2
,
1, 2x
1 , a x ln a, ex , cos x, sin x. x
24
题型4.3 凑微分积分法
知识要求 1.凑微分:把一个函数写成另一个函数的导数：
g(x)dx=u’(x)dx 2.熟记：凑微分积分公式(9条). 方法步骤
3
3
3
2
公式练习 根据基本导数公式写出函数的原函数
函数（导数）----原函数
函数（导数）----原函数
(1) 0 C
7cos x sin x
(2)
x

1 x 1
1
8sin x cos x
3 ax
ax ln a
e (4) ex x
即 若F '(x) f (x),则 f (x) dx F (x) C
积被 积 分积 分 号函 变
数量
一 个 原 函 数
任 意 常 数
例: 2x (x 2) ' 2x dx x 2 C
cos x (sin x) ' cos xdx sin x C
简单说：不定积分与导数互为逆运算。
6 1 ln x
x
(9)
1 cos 2 x

sec2
x

tan
x
1 (10) sin 2x
csc x
co t x
3
不定积分的定义(P220)
定义1.2 设函数F (x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，
则f (x)的全体原函数F (x) C称为f (x)的不定积分，记作: f (x)dx.
关键：函数变形.
15
助记词
直接积分好简单，
函数变形最常见，
先用法则后公式！
16
函数的代数变形
1.化为代数和形式,如:
1 3 x2
2
2
2

2
4
1 x3 1 2x3 x3

2.化为幂(xα)指(ax)形式,如:
3
x2
21
x3 2
1
x6,
x
11
31
7
x x x x(x x2 )2 x(x2 )2 x4
21
基本积分公式与凑微分积分公式
求导
(1)1dx x C
(1)1u 'dx u C
(2)
x
dx

x 1
1

C
(3)
1 x
dx

ln
|
x
|
C
(4) axdx ax C ln a
(5) exdx ex C;
(2) u u ' dx u1 C ( 1); 1
(7) cos xdx sin x C;
(8)

1 cos2
x
dx

sec2
xdx

tan
x

C;
(9)

1 sin2
x
dx csc2
xdx
cot
x C;
13
不定积分运算法则(P226)
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
一、不定积分
1.原函数与不定积分的定义； 2.不定积分的性质； 3.不定积分的运算法则； 4.基本积分公式； 5.计算不定积分的方法。
1
原函数概念(P220) 简单说：
F ' f F是f 的一个原函数 F C是f 的全体原函数
例 ( 1 x 3) ' x 2 1 x 3是x 2的一个原函数 1 x 3C 是x 2的全体原函数.
a2xa3x a5x , (e2x )3 e6x
3.把有理假分式函数化为整式与真分式之和,如:
x2 1 x 1
x2 1 x 1 ,
x 1
x
x
17
P226例1
例1 求下列不定积分 :
1


x2

2 x3
dx;
2
3 1 3 x2 dx;


1 u
u
'
dx

ln
|
u
|
C
公式3 1 ln 3x 1 c
3
公式2 u u ' dx 1 u 1C
1
2
ex
1 ex
4 函数?公式?
dx
1 ex 4 1 ex dx
u?,u '?
公式2
6
助记词
函数积出原函数， 原函数导出函数！
f (x) 积求分导' F(x) C
7
P221例1
例1 已知曲线y F(x)在任一点x处的切线斜率为2x,且曲线过(1, 2)点, 求此曲线的方程.
解 曲线的切线斜率为2x,即k Fx 2x; 现在要求F x.
复习：
求微分 du u 'dx
例: d(x 3) 3x 2 dx
凑微分 (x)dx u '(x)dx du 例: 2dx ( 2x ) 'dx d ( 2x )
规律 du 求 凑微 微分 分 u 'dx (x)dx
难点:把一个函数写成另一个函数的导数,即 (x) u '(x).
(3)___x1_2_=( 1 )'; x
(4)___2_x_=(1 x2 )';
27
解
1
1 1
函数?公式?
dx
1 3dx
3x 1 u?,u '? 3 3x 1
公式3 1 1 3x 1 'dx
3 u3x1,u '3 3x 1
公式3
化和
解法一 (x 1)2dx (x 2 2x 1) dx
公式1,2

1 3
x3

x2

x
C
凑微分
解法二 (x 1)2dx
x 12 x 1 'dx
u x1,u '1
公式 u u 'dx u 1 C 1
25
助记词
函数写成积形式， 一个用来选公式， 一个用来凑微分u’！
26
P229例3
例3 求下列不定积分 :
1

1 dx; 3x 1
sin 1
3
x d源自文库; x2
2 ex 1 ex 4 dx;
4 x 1 x2 dx.
预备练习
(1)___3__=(3x 1)'; (2)__e_x__=(1+ex )';
4
性质
(1)[ f (x)dx]' f (x) 或d[ f (x)dx] f (x)dx; (先积后导) (2) F(x)'dx F(x) C或 dF(x) F(x) C. (先导后积)
记忆： 先积后导等本身，先导后积差常数。
5
题型4.1 已知函数f (x)及其原函数F (x) 中的一个, 求另一个.
(8)
1 cos2
x
dx

tan
x

C
(8)
1 cos2
u
u 'dx

tan u
C;
(9)
1 sin2
x
dx
cot x C
(9)
1 sin 2
u

u
'
dx

cot u C;
注：这组公式与基本积分公式有什么不同？
23
常见函数u的8种形式
u x , 1 , x
x , ln x,