张禾瑞高等代数第四章课件 ppt
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第四章 线性方程组
4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式
-
1
伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都 把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 ——克莱因（Klein F，1849－1925）
-
2
4.1 消元法
1.内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别
c 11
c12
c 21 c 22
a 1t c2t
c s1
cs2
c st
叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵，
c ij 叫做这个矩阵的元素.
注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不 同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩 阵仅仅是一个表.
-
10
矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组.
x1(即把x1的系数化为) 零
-
5
得到：
1 2
x1
1 2
x3
1 2
x1
5 3
x2
3x3
3
2x2 x3 4
为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二
个方程交换，得：
x1
5 3
x2
3x3
3,
x1 x3 1
2x2 x3 4.
把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程 中的未知量 x 2 ，得到
2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法
-
3
前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种 方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系 数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性 方程组：
（1）
a11x1 a12x2 a1nxn b1, a21x1 a22x2 a2nxn b2,
-
6
x1
5 3
x2
3x3
3
x2 x3 1
x3 2.
现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程
减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三
个方程，得
5 x1 3 x2 9
x2 3
x3 2 再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：
x1 4
x2 3
这样我们就求出方程组的解.
x3 2
a1n
a2n
amn
-
13
通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为
以下形式：
1 * * * * *
r行 0 1 * * * *
源自文库
(5)
0 0 0 1 *
*
0
0
0
0
0
-
14
进而化为以下形式，
（6）
1 0 0 0 c1,r 1 c1n
0 1 0 0 c 2,r 1 c 2 n
-
12
在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵
1 2
1
2
1
1
3
5 3
3
先化为
4 3
5
1 5 3
3
0 1 1
0
0
1
然后，进一步化为
1 0 0 0 1 0 0 0 1
定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵：
a11
A
a 21 a m1
a12 a22 am2
0 0 0 1 c r ,r 1 c rn
0
0
0
0
这里 ro ,rm ,rn , * 表示矩阵的元素，但
不同位置上的 * 表示的元素未必相同.
证 若是矩阵A的元素 a ij 都等于零，那么A
已有（5）的形式
-
15
设某一 a ij 不等于零，必要时交换矩阵的行和
列，可以使这个元素位在矩阵的左上角.
-
11
显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于 对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简 线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题. 下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵 来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.
在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的 目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个 线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方 便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即 允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于 交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研 究.
am1x1 am2x2 amnxn bm.
在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.
-
4
例1 解线性方程组：
（2）
11 2 x1 3 x 2 x 3 1,
x1
5 3
x2
3x3
3,
2 x1
4 3
x2
5x3
2.
从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2 倍，来消去这两个方程中的未知量
定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换：
1) 交换矩阵的两行（列）
2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素；
3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）的对应元素上.
（3）
a11 a12
a 21 a 22
am
1
am2
a1n
a2n
a mn
而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：
（4）
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
-
9
4.1.2矩阵的初等变换
定义1 由st个数 c ij 排成一个s行t 列的表
1 a ij 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适 当倍数，矩阵A化为
1 * *
B
0
0
* *
*
*
若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，
-
16
那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m – 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为
-
7
4.1.1 线性方程组的初等变换
线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换：
①交换两个方程的位置； ②用一个不等于零的数某一个方程； ③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.
这三种变换叫作线性方程组的初等变换.
定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组
-
8
线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：
4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式
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1
伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都 把理论和应用视为同等重要而紧密相关。 ——克莱因（Klein F，1849－1925）
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2
4.1 消元法
1.内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别
c 11
c12
c 21 c 22
a 1t c2t
c s1
cs2
c st
叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵，
c ij 叫做这个矩阵的元素.
注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不 同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩 阵仅仅是一个表.
-
10
矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组.
x1(即把x1的系数化为) 零
-
5
得到：
1 2
x1
1 2
x3
1 2
x1
5 3
x2
3x3
3
2x2 x3 4
为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二
个方程交换，得：
x1
5 3
x2
3x3
3,
x1 x3 1
2x2 x3 4.
把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程 中的未知量 x 2 ，得到
2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法
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3
前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种 方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系 数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性 方程组：
（1）
a11x1 a12x2 a1nxn b1, a21x1 a22x2 a2nxn b2,
-
6
x1
5 3
x2
3x3
3
x2 x3 1
x3 2.
现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程
减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三
个方程，得
5 x1 3 x2 9
x2 3
x3 2 再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：
x1 4
x2 3
这样我们就求出方程组的解.
x3 2
a1n
a2n
amn
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13
通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为
以下形式：
1 * * * * *
r行 0 1 * * * *
源自文库
(5)
0 0 0 1 *
*
0
0
0
0
0
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14
进而化为以下形式，
（6）
1 0 0 0 c1,r 1 c1n
0 1 0 0 c 2,r 1 c 2 n
-
12
在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵
1 2
1
2
1
1
3
5 3
3
先化为
4 3
5
1 5 3
3
0 1 1
0
0
1
然后，进一步化为
1 0 0 0 1 0 0 0 1
定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵：
a11
A
a 21 a m1
a12 a22 am2
0 0 0 1 c r ,r 1 c rn
0
0
0
0
这里 ro ,rm ,rn , * 表示矩阵的元素，但
不同位置上的 * 表示的元素未必相同.
证 若是矩阵A的元素 a ij 都等于零，那么A
已有（5）的形式
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设某一 a ij 不等于零，必要时交换矩阵的行和
列，可以使这个元素位在矩阵的左上角.
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11
显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于 对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简 线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题. 下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵 来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.
在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的 目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个 线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方 便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即 允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于 交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研 究.
am1x1 am2x2 amnxn bm.
在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.
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例1 解线性方程组：
（2）
11 2 x1 3 x 2 x 3 1,
x1
5 3
x2
3x3
3,
2 x1
4 3
x2
5x3
2.
从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2 倍，来消去这两个方程中的未知量
定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换：
1) 交换矩阵的两行（列）
2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素；
3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）的对应元素上.
（3）
a11 a12
a 21 a 22
am
1
am2
a1n
a2n
a mn
而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：
（4）
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
-
9
4.1.2矩阵的初等变换
定义1 由st个数 c ij 排成一个s行t 列的表
1 a ij 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适 当倍数，矩阵A化为
1 * *
B
0
0
* *
*
*
若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，
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16
那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m – 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为
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4.1.1 线性方程组的初等变换
线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换：
①交换两个方程的位置； ②用一个不等于零的数某一个方程； ③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.
这三种变换叫作线性方程组的初等变换.
定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组
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线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：