线段垂直平分线的性质和判定用

3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义， 会用线段的垂直平分线定理进行简单的证明
BYE BYE!
线段垂直平分线的 性质和判定
一、教学目标
1. 了解轴对称图形中，对应点所连线段被对称轴垂 直平分的性质；
2. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂 直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，到线 段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上的 定理；
3. 初步理解线段的垂直平分线的集合定义，有意 识渗透数学的研究方法，渗透集合思想，促进学生 数学认知的科学建构
用尺规作线段的垂直平分线.
C
已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
A
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1、分别以点A和B为圆心,以大于 AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.
2、作直线CD.
D
3、则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.
老师提示:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,
线段垂直平分线上的点与这条
l
线段两个端点的距离相等(垂直
P
平分线的性质)
∵PC⊥AB,AC=CB ∴PA=PB
A
C
B
老师希望同学们证明这个命题!
已知：PC⊥AB , AC=CB 注意：文字叙述题要根据题
求证：PA=PB 证明：∵ PC⊥AB
意画出图形写出已知求证
l P
∴ ∠ACP=∠BCP=90º 在△ACP和△BCP中，
P
●
l
1. 已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂
直平分线相交于点P.
A
求证：PA=PB=PC
证明：∵△ABC中，
边AB、BC的垂直平分
P
线
B
C
相交于点P
∴PA=PB，PB=PC
∴PA=PB=PC
如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交
AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求
△AEC的周长
AC=CB（已知）
∠ACP=∠BCP（已证）
A
PC=PC（公共边）
C
B
∴△ACP≌△BCP(SAS)
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
以后知道直线MN是线段AB的垂直平分线时，可以直接得 到PA=PB 。书写格式如下：
数学表达：
∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上
解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线
∴EB=EA ∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
C E
=AC+CE+EB
=AC+BC
B
=4+5 =9
D A
小结：
1. 了解轴对称图形中，对应点所连线段被对 称轴垂直平分的性质；
2. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段 的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等，到线段两端点的距离相等的点在线段 的垂直平分线上的定理；
∴PA=PB
也可以说：
∵直线MN垂直平分AB，点P在MN上
∴PA=PB
还可以说：
A
∵P是线段AB垂直平分线上的点，
∴PA=PB
PM
C
B
N
依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢？
通过探究可以得到：（垂直平分线的判定）
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条
所以我们也用这种方法作线段的中点.
随堂练习 1
挑战自我
如图,已知AB是线段CD的垂直平 分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=600,那 么∠EDC= 60 0.
C
AE
老师期望:
你能说出填空结果的根据.
B D
驶向胜利 的彼岸
试一试 2
梦想成真
1.已知直线和上一点P,利用尺规作的垂线,使它经过 点P.
C
A
DB
答：（1）过C点的直线不一定是线段
AB的垂直平分线，
反例：如图，CA=CB，但直线CD不是
线段AB的垂直平分线.
（2）过C和D两点的直线是
C
线段AB的垂直平分线。因
为点C、点D到线段AB的两
端点距离相等，它们一定都
在线段AB的垂直平分线上，
由“两点确定一条直线”可
知过C和D两点的直线必是 A
线段的垂直平分线上。
l
书写格式：
P
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上 A 同学们能证明这个命题吗？
C
B
已知：PA=PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB,垂足为C
∴∠ACP=∠BCP= 90o
l
在Rt△ACP和Rt△BCP中
PAPB PCPC
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL)
A
C
B
∴AC=BC
P
∴点P在线段AB的垂直平分线上
注意：PA=PB只能说明点P在线段AB的垂直平分线上， 不能说明直线L是线段AB的垂直平分线。
在线段AB垂直平分线l上的点与A、B距离都
相等；反过来，与两点A 、B的距离相等的
点都在l上,所以直线l可以看成与两点A、B的
距离相等的所有点的集合
l
P
书写格式：
4. 从运动变化的角度加深对平面图形的认识，发 展几何直觉，增进对数学的理解。
二、重点、难点
1. 重点：线段垂直平分线定理、逆定理.
2.难点：线段垂直平分线定理、逆定理的正 确理解和应用.
3.难点的突破方法：利用多媒体手段直观引 入，引导学生自主研究发现规律，加深对定 理的理解。
通过演示可以发现，点P,P,到点A的距离与它们到 点B的距离分别相等。由此我们可以得出：
∵PA=PB,DA=DB
∴PD⊥AB,AC=CB
A
C
B
注意：由“两点确定一条直线”可知，
两点到同一条线段两个端点的距离相
D
等，那么经过这两点的直线才是这条
线段的垂直平分线。
已知线段AB （1）若CA=CB，问：过C点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例.
（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
DB
线段AB的垂直平分线
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
证明:
A
∵AC=AD ∴点A在CD的垂直平分线上（ 与一条线段两
个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上）
同理， ∵BC=BD ∴点B在CD的垂直平分线上 ∴AB垂直平分CD（两点确定一条直线）
C
O
B
D
做一做 1 尺规作图