求空间角和距离

2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

1．两条异面直线所成角的求法

设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则

l 1与l 2所成的角θ a 与b 的夹角β 范围

⎝⎛⎦⎤0，π2 [0，π] 求法

cos θ＝|a ·b ||a ||b |

cos β＝a ·b |a ||b |

2.直线与平面所成角的求法

设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝

|a ·n ||a ||n |. 3．求二面角的大小

(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小

θ＝〈AB →，CD →〉．

(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 概念方法微思考

1．利用空间向量如何求线段长度？

提示 利用|AB →|2＝AB →·AB → 可以求空间中有向线段的长度．

2．如何求空间点面之间的距离？

提示 点面距离的求法：

已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离为 |BO →|＝|AB →||cos 〈AB →，n 〉|.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )

(4)两异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦

⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]． ( √ )

(5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( × )

题组二 教材改编

2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )

A ．45°

B ．135°

C ．45°或135°

D ．90°

答案 C

解析 cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°. ∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.

3．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为______．

答案 π6

解析 如图，以A 为原点，以AB →，AE →(AE ⊥AB )，AA 1→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴(如图)

建立空间直角坐标系，设D 为A 1B 1的中点，