三对角矩阵的特征值及其应用

正文 1．三对角矩阵的特征值
1.1 三对角阵的定义
定义 1：若矩阵 A = (aij )1≤i, j≤n 的非零项位于由主对角线及其之上的一条对角 线与其之下的一条对角线组成的带内,如下式
Hale Waihona Puke Baidu
1
⎡d1 ⎢⎢b2 ⎢0 A=⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣0
a1 0 0
0⎤
d2 a2 0
0
⎥ ⎥
b3 d3 a3
0⎥ ⎥
−c −b
= (λ − a) −c λ − a
− (−b) 0 λ − a
−b
−c λ − a n−1
−c
−b λ − a n−1
= (λ − a) Dn−1 − bcDn−2 ．
证毕．
引理 2：Dn 为三对角阵 An 的特征多项式,若α , β 分别为 x 2 − (λ − a)x + bc = 0
i = 1, 2, , n ；
2) Y (Z , A) 与 Z 无关,主方程(1-1)为:
Y '( A) = nnvσ n r ( A −1)Y ( A −1) + λm ( A +1)Y ( A +1) + λ0 ( A)Y ( A) + λ1( A +1)Y ( A +1) + λ2 ( A + 2)Y ( A + 2) + λ3 ( A + 3)Y ( A + 3) − nnvσ n r ( A)Y ( A) − λm ( A)Y ( A) − λ( A)Y ( A) 将 Z 和 A 的取值范围分别记为 i = 1,2, , n 和 j = 1,2, , m ,则主方程可表示为:
1.2.3 三条对角线上的元素分别相等
2
⎛a b 0⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
c 0
a c
b a
⎟ ⎟⎟⎠
λ − a −b 0 解：由 λE − A = −c λ − a −b
0 −c λ − a
=
(
λ
−
a
)
⎡⎣(
λ
−
a
)2
−
bc
⎤ ⎦
−
bc
(
λ
−
a
)
=
(
λ
−
a
)
⎡⎣(
λ
−
a
)2
−
2bc⎤⎦
=
0
可知当 bc > 0 时： λ1 = a , λ2 = a + 2bc , λ3 = a − 2bc ．
这里考虑Y (Z , A) 分别与 A 和与 Z 无关的情况下方程（1-1）的解:
1) Y (Z , A) 与 A 无关,主方程（1-1）为:
Y '(Z ) = λ(Z −1)Y (Z −1) − λ(Z )Y (Z )
n
∑ 容易求出其解为:Y = vi exp(−λit) ，其中 vi 是相应于 λi 的特征向量， i =1
∴ Dn = (α + β ) Dn−1 − αβ Dn−2
( ) ( ) ∴ Dn − α Dn−1 = β Dn−1 − α Dn−2 = = β n−2 D2 − α D1 = β n
同理： Dn − β Dn−1 = α n
⎧ α n+1 − β n+1
∴由(3-7),(3-8)得
Dn
=
⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩(n
⎢
⎢0 0 0 0 0 ⎢
⎢⎣ 0 0 0 0 0
0 0 0
− bn−1 an−1
0⎤
0
⎥ ⎥
0⎥
⎥
⎥
cn
⎥ ⎥
− bn ⎥⎦
由于这是一个与通常的排队论中出现的完全不同的模型.根据线性代数的知 识,在一般情况下,要求出微分方程（1-2）的本征值的精确值是非常困难的,本文 的第一部分将研究一些特殊情况,其中,任意三阶三对角阵的特征值完全解决；在 三条斜对角线上元素分别相等的情况下四阶、五阶和 n 阶三对角阵的特征值也基 本解决,又对该情况下 2m + 1 阶与 m 阶三对角阵的特征值的关系给出了证明．第 二部分对对称三对角阵的特征值的范围给出估计．
⎧ α n+1 − β n+1
的两个根,则
Dn
=
⎪⎪ ⎨ ⎪⎪⎩(n
α
+ 1)
⎛ ⎜⎝
− λ
β − 2
a
, ⎞n ⎟⎠
,
α ≠β ．
α =β
证明：∵ α , β 为 x 2 − (λ − a)x + bc = 0 的两个根,
∴ α + β = λ − a ,α ⋅ β = bc
又由引理 1 得： Dn = (λ − a) Dn−1 − bcDn−2
1.2.2 对称的三对角阵
⎛a b 0⎞
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
b 0
a b
b a
⎟ ⎟⎟⎠
λ − a −b 0 解：由 λE − A = −b λ − a −b
0 −b λ − a
=
(
λ
−
a
)
⎡⎣(
λ
−
a
)
2
−
b2
⎤ ⎦
−
b2
(
λ
−
a
)
=
(
λ
−
a
)
⎡⎣(
λ
−
a
)2
−
2b2
⎤ ⎦
=
0
得： λ1 = a , λ2 = a + 2 b , λ3 = a − 2 b ．
把方程(3-2)的各个根减去 − b 即 a1 + a2 + a3 ,并且设：
3a
3
p =3ac − b2 = 3c − b2 , q =2b3 − 9abc + 27a2d = 2b3 − 9bc + 27d ,
3a2
3
27a3
27
(3-2)
这样就将方程(3-2)变换成一个不含二次项的方程： λ3 + pλ + q = 0
⎥
0
bn−1
d n−1
an−1
⎥ ⎥
0 bn d n ⎥⎦
(2-1)
那么就称矩阵 A = (aij )1≤i, j≤n 为三对角阵([4]),(即：(2-1)－带状矩阵．)此时有
aij = 0 （ | i − j |> 1）．
1.2 三阶三对角阵的特征值
1.2.1 全部非零元素相等
⎛a a 0⎞
A
=
dy j dt
= a j−1 y j−1 − b j y j
+ c j+1 y j+1 + d j+2 y j+2 + e j+3 y j+3 ,
j = 1,2,
,m , a0 = 0
此时线性算子
(1-2)
⎡− b1 c2 d3 e4 0
⎢ ⎢
a1
− b2
c3
d 4 e5
⎢ R=⎢
0
a2 − b3 c4 d5
=0 问题转换为解方程(3-1)．
(3-1)
令： a = 1 , b = − (a1 + a2 + a3 ) , c = a1a2 + a2a3 + a3a1 − b2c2 − b1c1 ,
d = −a1a2a3 − a1b2c2 + a3b1c1 ．
方程(3-1)变为: λ3 + bλ 2 + cλ + d = 0
(1-1)
+ λ0 (Z −1, A)Y (Z −1, A) + λ1(Z −1, A +1)Y (Z −1, A +1) + λ2 (Z −1, A + 2)Y (Z −1, A + 2)
+ λ3 (Z −1, A + 3)Y (Z −1, A + 3) − nnvσ n r (Z , A)Y (Z , A) − λm (Z , A)Y (Z , A) − λ(Z , A)Y (Z , A) 这里 Y (Z , A) 表示在一个 R 过程中产生的含质子数 Z 和原子量 A 的原子核
在过去十年中,人们对 R 过程的认识有了重要进展.文献[3]总结了针对 R 过程的 参变量研究、天体物理学模型和观测研究方面的最新研究结果. 强调核物理和天体 物理学之间的相互影响,并就 R 过程的进一步理论研究、实验研究和观测研究提出了 建议.文中给出了 R 过程中的主方程为：
Y '(Z , A) = nnvσ n r (Z , A −1)Y (Z , A −1) + λm (Z , A +1)Y (Z , A +1) +
⎟ ⎟
引理
1：对 n
阶三对角阵
An
=
⎜ ⎜
⎜
ca
⎟ ,有 ⎟ b⎟
⎜⎝
c a ⎟⎠
Dn = (λ − )a Dn−1 − bcDn−2 ,其中 Dn 为 An 的特征多项式．
4
λ − a −b
−c λ − a −b
证明： Dn = λ E − An =
−c λ − a −b
−c λ − a n
λ − a −b
= (λ − a1 ) ⎡⎣(λ − a2 )(λ − a3 ) − b2c2 ⎤⎦ − b1c1 (λ − a3 )
( ) ( ) = λ3 − a1 + a2 + a3 λ 2 + a1a2 + a2a3 + a3a1 − b2c2 − b1c1 λ − a1a2a3 − a1b2c2 + a3b1c1
4 27
2
q2 + p3 , 4 27
λ3
=
u3
+
v3
=
w2
⋅
3
−
q 2
+
q2 + p3 + w⋅ 3 − q −
4 27
2
q2 + p3 ． 4 27
至此,任意三阶三对角阵的特征值问题已全部解决．
1.3 四阶三对角阵的特征值
本文以下均假设 An 为三条线上元素分别相等的矩阵．
⎛a b
⎞
⎜ ⎜
c
a
b
=
α n+1 α
− −
β n+1 β
=
0．
定 理 1 ： 当 An 为 4 阶 三 对 角 阵 时 , 特 征 值 λ 分 别 为
λ1 = a +
3bc + 5 bc 2
,
λ2 = a −
3bc + 5 bc 2
,
λ3 = a +
三对角矩阵的特征值及其应用
从宇宙创始时的仅有氢、氦元素一直到后来的超重元素,超新星爆发成了新 元素形成的宝库. 因此研究超新星爆发的过程是十分重要的,而 R 过程是超新星 爆发时的一个主要过程,研究超新星爆发时的 R 过程也就十分必要了([1]). R 过 程即快中子俘获过程,与发生在低中子密度、低温条件下的 S 过程相反,是发生在 高中子密度,高温条件下的中子俘获过程([2]).在俘获过程中,当中子照射量较
⎜ ⎜⎜⎝
a 0
a a
a a
⎟ ⎟⎟⎠
λ − a −a 0 解：由 λE − A = −a λ − a −a
0 −a λ − a
=
(
λ
−
a
)
⎡⎣(
λ
−
a
)2
−
a
2
⎤ ⎦
−
a2
(
λ
−
a
)
=
(
λ
−
a
)
⎡⎣(
λ
−
a
)2
−
2a2
⎤ ⎦
=
0
得： λ1 = a , λ2 = a + 2 a , λ3 = a − 2 a ．
(3-3)
设 λ = u + v ,于是： λ3 = (u + v)3 = u3 + v3 + 3uv (u + v) = u3 + v3 + 3uvλ ,
3
( ) 即得： λ3 − 3uvλ − u3 + v3 = 0
(3-4)
( ) 从而有： p = −3uv , q = − u3 + v3 ．根据一元多项式根与系数的关系,可知 u3 , v3 是
当 bc < 0 时： λ1 = a , λ2 = a + i 2bc , λ3 = a − i 2bc ． 1.2.4 一般的三对角阵
⎛ a1 b1 0 ⎞
A
=
⎜ ⎜
c1
a2
b2
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 c2 a3 ⎟⎠
λ − a1 解： λE − A = −c1
0
−b1 λ − a2
−c2
0 −b2 λ − a3
二次方程 y2 + qy − p3 = 0 的两个根． 27
解二次方程得：
u3 = − q + q2 + p3 , v3 = − q − q2 + p3 ．
2 4 27
2 4 27
(3-5)
且满足：
uv = − p 3
(3-6)
设 u1 是(3-5)的任意一个解,则 u 的另外两个解分别为：u2 = u1w , u3 = u1w2 ,这里 w 是
α
+
1)
⎛ ⎜⎝
− λ
β − 2
a
, ⎞n ⎟⎠
,
α ≠β ．证毕．
α =β
根据引理 1 和引理 2 有以下结论：
(1)α = β 时, (λ − a)2 = 4bc
(3-7) (3-8)
易得存在 λ1 = a + 2 bc , λ2 = a − 2 bc ．
5
(2)
α
≠
β
时,要求 λ
即要解决 Dn
大时,即使是不稳定的核,只要有较长的寿命,在发生 β 衰变之前就可以吸收下一
个中子. 而且在变成寿命较短的核之前,不断添加中子,然后再衰变. 这样一来,
如果中子照射量很大,可以跨过作为终点的 207 Bi 的α 衰变,形成直到铀及超铀元
素. 由于 R 过程的产生要求有大量的中子和迅速的反应,使得产生 R 过程的情况 受到很大限制,故多半应该考虑爆发时的异常情况,最可能的就是超新星爆发.
（ Z, A ）的数量,Y ' 表示Y 对时间 t 的导数, nn 是中子的数量密度, nnvσ n r (Z , A) 是 热平均中子俘获率, λm (Z , A) 是光致分裂率, λ0 (Z , A) 、 λ1(Z , A) 、 λ2 (Z , A) 、 λ3 (Z, A) 分别表示释放 0、1、2、3 个中子的 β 裂变,又 λ = λ0 (Z , A) + λ1(Z , A) + λ2 (Z , A) + λ3 (Z , A)
1 的三次单位根．
由(3-6)得与 u1 、 u2
、 u3
相应的 v
的三个解是 v1
=
−
p 3u1
, v2
=
v1w2 , v3
=
v1w ．因
此：
λ1
=
u1
+
v1
=
3
−
q 2
+
q2 + p3 + 3 − q −
4 27
2
q2 + p3 , 4 27
λ2
=
u2
+
v2
=
w⋅
3
−
q 2
+
q2 + p3 + w2 ⋅ 3 − q −