人教版数学高二用函数的观点理解数列

用函数的观点理解数列

题型1：数列与函数性质

例1.已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则n a n

的最小值 . 【解析】由1133,2n n a a a n +=-=，可得：233n a n n =-+，则

3311n a n n n

=+-≥

（当n = 考虑n 只能取正整数，所以在5n =和6n =之间比较，最终6n =时，min 21()2n a n = 【答案】212

题型2：数列和函数不等式

例2.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足585,n n S n a n N *=--∈

（1）证明：{}1n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .

解：（1）由585,n n S n a n N *=--∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①

令1n =，则1111585a S a ==--，即114a =-

同时11(1)585n n S n a ++=+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅②

②-①得：1115()n n n a a a ++=--，即1615n n a a +=+

11551(1)156661116

n n n n n n a a a a a a ++---===--- 所以{}1n a -是首项1115a -=-，公比为5

6

为等比数列 从而15

115()6n n a --=-⨯，即15

115()6n n a -=-⨯

（2）数列{}n S 的通项公式（略）

由1n n S S +>，即10n a +>，551115()0,()6615n n -⨯><即， 解得11514.8532lg 5lg 6

g n ->≈-，从而15n = 题型3：数列与函数导数的综合应用

例3.已知函数x x n x f -+=212)(，在[)+∞,0的最小值为n a .

(1)求n a ;

(2)已知数列{}n b 中，对任意*∈N n ，都有12=n n a b 成立，设数列{}n b 的 前n 项和为n S ，证明：12

解：（1）令0112)(2,=-+=x nx

x f ，则：1412-=

n x 所以：n a n n f x f =-=-=14)141

()(22min

（2）由12=n n a b ，得：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=+-=-==12112121)12)(12(1141122n n n n n a b n n 所以：n S ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--++-+-=+++=121121513131112121n n b b b n =2

1121121<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n ，即：12

放缩法：所谓放缩的技巧：即欲证 ，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤；常用放缩技巧有：

1.211111111(1)(1)1

n n n n n n n n n -=>>=---++； 2.2221111111112231223(1)n n n n +

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-⨯⨯-；

例4.求证：2222111171234

n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n <=--- 2222211111111151171()().1232231424

n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处.