2011年青岛大学615数学分析考研试题

青岛大学2011年硕士研究生入学考试试题 科目代码： 615 科目名称： 数学分析 （共 2 页） 请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效

一、解下列各题（满分30分）

1. 求极限 n

n n n ++++∞→Λ3321lim . 2. 求极限 ∫∫+∞→x

t x t x dt e dt e 0220

22

)(lim .

3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,

00,1sin )(x x x x x f ，问函数在)(x f 0=x 处是否连续？是否可导？

二、解下列各题（满分30分）

1. 证明：若函数在区间)(x f ),[+∞a 连续，则在)(x f ),[+∞a 的任意有限闭区间上一致连续.

2. 证明：若函数在区间连续，且存在有限的极限，则在区间)(x f ),[+∞a )(lim x f x +∞

→)(x f ),[+∞a 上一致连续.

3. 问x

x f 1sin )(=在区间上是否一致连续？为什么？ )1,0(三、（满分10分）设在的某邻域内有定义，且在此邻域内有（或），并在点可导，证明)(x f 0x )()(0x f x f ≥)()(0x f x f ≤0x 0)(0=′x f .

四、（满分10分）计算dx x

x x ∫+⋅23cos 1sin cos .

五、（满分20分）设在区间上连续)(x f ],[b a )(b a <，且；又令0)(>x f ∫∫+=x b x a dt t f dt t f x F )

(1)()(. 证明：（1）2)(≥′x F ；（2）方程在区间内有且仅有一个实根.

0)(=x F ),(b a 六、解下列各题（满分30分）

1. 判定级数 ∑+∞=−1arctan )1(n n

n

n 的敛散性. 2. 设是上的单调函数，)(x u n ],[b a Λ3,2,1=n ，且级数和级数

均绝对收敛，证明函数项级数在上绝对收敛且一致收敛.

∑∞

=1

)(n n a u ∑∞=1)(n n b u

∑∞

=1)(n n x u ],[b a 3. 求级数 ∑∞

=1n n

n x 的收敛域及和函数.

七、解下列各题（满分20分）

1. 设，且具有连续的二阶偏导数，求),(22y x e y x f z +−=f y

x z ∂∂∂2. 2. 计算 ，其中是圆柱面被平

面和所截的部分之外侧.

∫∫++=S

zdxdy ydzdx xdydz I 32S 122=+y x 0=z 3=z