第二节 简单几何体的表面积和体积

为
,该三棱锥的外接球体积为
.
解析:由三视图得几何体的直观图是:
所以 S 表=2× 1 ×2×2+ 1 ×2 3 × 5 + 1 ×2 3 ×1=4+ 15 + 3 .
2
2
2
以 D 为原点,DB 为 x 轴,DA 为 z 轴,建立空间直角坐标系,
则 D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(-1, 3 ,0). 因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2, ①
【例 3】 (1)若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S2,则
S1 =
;
S2
解析:(1)设正四面体棱长为 a,
则正四面体的表面积为 S1=4· 3 ·a2= 3 a2, 4
2来自百度文库
正四面体的高 h=
a2


3 3
a

=
6a , 3
由 1 r·S1= 1 · 3 a2·h 知
V 锥= 1 S·h 3
S 表=S 侧+S 上底+S 下底
圆柱的底面半径和母线长分别为 r,lS 表= 2π r2+2π rl 圆锥的底面半径和母线长分别为 r,lS 表= π r2 +π rl 圆台的上、下底面半径和母线长 分别为 r,r′,l,S 表=π (r′2+r2+r ′l+rl)
球 球半径为 R,S 球=4π R2
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在训练中掌握方法
考点一 几何体的表面积
【例1】 (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、 侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面 体的最大面的面积是( )
(A)2 (B)2 2
(C)2 3
(D)4
解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为 2,2,2 2 ,2 2 ,2 2 ,2 3 , 所以四面体的四个面的面积分别为
2sin
2 sin
底面的直三棱柱,得外接球的半径 R= r2 1 ⇒ S=4πR2=4π( 2 +1), 1 cos
所以 S∈[ 28π ,20π]. 3
答案:(4)[ 28π ,20π ] 3
反思归纳 (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空 间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的 处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平 面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
迁移训练 (2016·宁波二模)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的体积为
cm3.
解析:该几何体是一个边长为 4 的正方体内,挖掉了半径为 4 的 1 球,故几何体的体 8
积为 43- 1 × 4 π×43=64(1- π ).
83
6
答案:64(1- π ) 6
考点三 与面积、体积相关的综合问题
直角三角形,若四棱锥 S-ABCD 的体积取值范围为[ 4 3 , 8 ],则该四棱锥外接球表面 33
积的取值范围是
.
解析:(4)四棱锥 S-ABCD 中,可得 AD⊥SA,AD⊥AB⇒ AD⊥平面 SAB⇒ 平面 SAB⊥平面 ABCD, 过 S 作 SO⊥AB 于 O,
则 SO⊥平面 ABCD,
.
解析:(2)如图所示正方形 ABCD 及折叠后的直观图. 易知在直观图中,A′B′=B′C′=C′D′=D′A′=a, 且 A′D′⊥D′C′,A′B′⊥B′C′, 取 A′C′的中点 E,连接 D′E,B′E,
2.求面积或体积中相关联的结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①正方体的外接球,则 2R= 3 a;②正方体的内切球,则 2R=a;③球与正方体的各棱相 切,则 2R= 2 a. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2R= a2 b2 c2 .
2
2
2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球 的表面积为( A )
(A) 81π (B)16π (C)9π (D) 27π
4
4
解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为 R, 则(4-R)2+( 2 )2=R2,解得 R= 9 ,
4 所以球的表面积为 4π×( 9 )2= 81 π.故选 A.
迁移训练 1.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为( A )
(A)8+4 2 (C)6+4 2
(B)6+ 2 +2 3 (D)6+2 2 +2 3
解析:把该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥 A-BCDE,其表面积
为 2×2+2× 1 ×2×2+2× 1 ×2×2 2 =8+4 2 .故选 A.
3
34
r= 1 h= 6 a. 4 12
因此内切球的表面积为 S2=4πr2= πa2 , 6
则 S1 = 3a2 = 6 3 .
S2 π a2
π
6
答案:(1) 6 3 π
(2)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,点A、B、C、D折叠后对应点A′、
B′、C′、D′,使B′D′=a,则三棱锥D′-A′B′C′的体积为
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
温故知新
1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )
(A)4π S (B)2π S (C)π S (D) 2 3 π S 3
解析:由πr2=S 得圆柱的底面半径是 S , π
故侧面展开图的边长为 2π· S =2 πS , π
设∠SAB=θ,故 VS ABCD
=
1 3
SABCD·SO=
8 3
sin
θ,
所以 sin θ∈[ 3 ,1]⇒ θ∈[ π , 2π ]⇒ - 1 ≤cos θ≤ 1 ,
2
33
2
2
在△SAB 中,SA=AB=2,
则有 SB=2 2 1 cos ，
所以△SAB 的外接圆半径 r= SB = 2 1 cos ,将该四棱锥补成一个以 SAB 为一个
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空间几何体的表面积和体积公式如下
S 表=S 侧+2S 底
表面积
棱柱的底面积为 S, 高为 h,V=S·h
体积
V 柱=S·h S=S′
S 表=S 侧+S 底
表面积即空间几何体暴露 在外的所有面的面积之和
棱锥的底面积为 S, 高为 h,V= 1 S·h
3
V 台= 1 (S′+ SS +S)h 3 S′=0
答案:(2)D
(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π ,则其母线与轴的夹角的大
小为
;
解析:(3)设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,母线与轴夹角为θ,
则
πrl
=2π, r = 3 ,
1 2r l2 r2
l2
2
即 sin θ= 3 ,θ= π .
2
3
答案:(3) π 3
(4)四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 SAD 是以 SD 为斜边的等腰
所以该三棱锥的体积为 V= 1 × 1 ×1×1×1= 1 (cm3),
32
6
故选 C.
答案:(1)C
(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方 体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积
为
.
解析:(2)依题意,易知四棱锥 M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为 2 , 2
x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,
②
(x+1)2+(y- 3 )2+z2=x2+y2+z2,③
所以 x=1,y= 3 ,z=1, 所以球心的坐标是(1, 3 ,1), 所以球的半径是
12 3 2 12 = 5 .
所以球的体积是 4 π×( 5 )3= 20 5 π.
3
3
答案:4+ 15 + 3 20 5 π 3
44
考点二 几何体的体积 【例2】 (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ()
(A) 1 cm3 (B)1 cm3 (C) 1 cm3 (D) 1 cm3
2
6
3
解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知, 该几何体表示一个底面为腰长为 1 的等腰直角三角形,高为 1 的三棱锥, 如图所示,
棱台的上、下底面 面积分别为 S′,S, 高为 h,
V= 1 (S′+ SS +S)h 3
圆柱的高为 h,V=π r2h
圆锥的高为 h,V= 1 π r2h 3
圆台的高为 h,
V= 1 π (r′2+r′r+r2)h 3
V 球=
4 πR3 3
拓展空间
1.概念理解 (1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡. (2)求空间几何体体积的常用方法 ①公式法:直接根据相关的体积公式计算. ②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计 算更容易,或是求出一些体积比等. ③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化 为可计算体积的几何体.
1 ×2×2=2, 2
1 ×2×2 2 =2 2 , 2
1 ×2×2 2 =2 2 , 2
1 ×(2 2 )2sin π =2 3 ,
2
3
因此四面体的最大面的面积是 2 3 .故选 C. 答案:(1)C
(2)(2016·杭州一模)某几何体的三视图及直观图如图所示(单位:cm),则该几 何体的侧面PAB的面积是( )
高为 1 . 2
故
VM
EFGH
=
1 3
×(
2 )2× 1 = 1 .
2
2 12
答案:(2) 1 12
反思归纳 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直 接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形 转化为规则几何体,再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然 后根据条件求解.
(A) 3 cm2 (C) 5 cm2
(B)2 cm2 (D) 7 cm2
解析:(2)由三视图知,该几何体是三棱锥,其中三棱锥的高为 2 cm,底面为边长 为 2 cm 的等边三角形,
所以侧面 PAB 上的斜高为 h= 4 3 = 7 (cm),
所以侧面 PAB 的面积 S= 1 ×2× 7 = 7 (cm2).故选 D. 2
圆锥的底面半径为 1,高为 2, 所以可得该几何体的体积为
1 × 1 ×π×12×2= π ,
23
3
该几何体的表面积为:
1 ×π×12+ 1 π×1× 1 4 + 1 ×2×2=
5 1 π +2.
2
2
2
2
答案: π
5 1 π +2
3
2
4.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球心,OA 为半径的 2
第二节 简单几何体的表面积和体积
备考方向明确
方向比努力更重要
复习目标
学法指导
1.柱、锥、台体的表面积和体积公式. 2.球的表面积和体积公式. 3.一些简单组合体表面积和体积的计算. 4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)
1.搞清楚几何体的表面积包括 侧面积和底面积. 2.求侧面积时,往往需要研究侧 面展开图. 3.会分解简单组合体为常见的 柱、锥、台,进一步求出面积、 体积. 4.所有公式均不要求记忆.
解析:原来毛坯体积为 V=π×32×6=54π, 零件的体积 V1=π×32×2+π×22×4=34π,
所求的比值为 V V1 = 54 34 = 10 .故选 C.
V
54 27
3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)为
,表面积(单位:cm2)为
.
解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥,
球的表面积是
.
解析:设 O 到底面的距离为 h,
则 1 ×3×h= 3 2 ,解得 h= 3 2 .
3
2
2
2
OA=
h2


6 2
=
6 ,故球的表面积为 4π×(
6 )2=24π.
答案:24π
5.(2018·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶
角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积
所以圆柱的侧面积是 4πS.故选 A.
2.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件 的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( C )
(A) 17 (B) 5
27
9
(C) 10 27
(D) 1 3