行列式和矩阵测试题

1 1. 填空题. (1) 已知 α, γ, β1 , β2 , β3 都是4 × 1矩阵,|A| = |αβ1 β2 β3 | = 2, |B | = |γβ1 β2 β3 | = . −3, 则 |A + B | = (2) 已知 A 为 3 阶阵. 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B , 再将 B 的第 2 列加 到第 3 列得 C . 若 AQ = C , 则 Q = . ( ) 0 A (3) 已知 A, B 分别为 n 阶与 m 阶可逆阵, 则分块阵 的伴随矩阵 B 0 为 . a1 + 2b1 a2 + 2b2 a3 + 2b3 a1 a2 a3 (4)已知 b1 b2 b3 = m, 则行列式 b1 + 2c1 b2 + 2c2 b3 + 2c3 = . c1 + 2a1 c2 + 2a2 c3 + 2a3 c1 c2 c3 2. 选择题. (1) 设 A, B 为 n 阶方阵. 则必有( ) (A) |AT + B T | = |A + B |; (B) 若 AB = AC 且 A ̸= 0,则 B = C ; (C) (A + B )−1 = A−1 + B −1 ; (D) 若 (AB )2 = E , 则 A−1 = B . (2) 已知 A 为 3 阶阵. 将 A 的第 2 行加到第 1 行后得 B . 再将 B 的第 1 列 1 1 0 的 −1 倍加到第 2 列上得 C . 若记 P = 0 1 0, 则 C =( ) 0 0 1 (A) P −1 AP (B) P AP −1 (C) P T AP (D) P AP T a1 a2 a1 a3 a1 a4 1 + a2 1 2 a2 a4 a2 a1 2 + a2 a2 a3 3. 计算行列式 (其中ai ̸= 0, i = 1, 2, 3, 4) 2 a3 a1 a3 a2 3 + a3 a3 a4 a4 a1 a4 a2 a4 a3 4 + a2 4 4. 设 A = E − ααT , 其中 α 为 n × 1 非零矩阵. 证明: A2 = A 的充要条件 是 αT α = 1. 5. 证明 (AB )∗ = B ∗ A∗ (∗指伴随矩阵). 6. 计算 P 2013 AQ2012 的值,其中 0 1 0 1 2 3 1 0 0 P = 1 0 0 , A = 4 5 6 , Q = 0 −1 0 . 0 0 1 7 8 9 0 0 1 7. 已知 A3 = 2E, B = A2 − 2A + 2E , 求 B −1 . 8. 已知实矩阵 A = (aij )3×3 , aij = Aij 0, 求 |A|. 且 a11 ̸= 1 0 0 9. 设可逆矩阵 A 的逆矩阵为 A−1 = 0 1 0, 且 2ABA−1 = BA∗ + E . 求 1 0 1 矩阵 B . 10. 设 A 为 n 阶可逆阵, 若 B 是交换 A 的第 i行 与第 j 行 (j ̸= i) 后所得到的 矩阵, 证明 (1) B 必是可逆阵; (2) AB −1 = P (i, j ); (3) 交换 A−1 的第 i, j 两列后得 B −1 ; (4) 交换 A∗ 的第 i, j 两列后得 −B ∗ .