增益与相位裕量

G( jc ) c
2 n
1
2 c
4
2n 2
() 90 arctg
2 n c n (4 4 1 2 2
arctg
2
4 4 1 2 2
18
5.7.4截止频率与带宽(Cutoff frequency and bandwidth)
参看图5-53，当闭环频率 响应的幅值下降到零频率
dB L()
4K
1 K
Re
图5-45表明 H (s)G(s)
轨迹逆时针方向包围-1+j0一次 R 1
0
Z RP0
图5-45 H ( j)G( j) 极坐标图
说明
1 H(s)G(s)
没有零点位于右半s平面内，闭环系统是 稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是
回路闭合后，变成稳定系统的例子。 3
例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
(6-10)
1 M r 1.8
25
6.1.2系统带宽的选择
带宽频率是一项重要指标。 选择要求
既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信 号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号， 而噪声信号是高频信号。
如果输入信号的带宽为 0 ~ M
则 b (5 ~ 10)M
(6-11)
请看系统带宽的选择的示意图
0
h(dB) 0
180 G( jc )H( jc )
h 20log G( jx )H( jx )
7
相位裕度、相角裕度(Phase Margin)
设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c
A( jc ) G( jc )H( jc ) 1
定义相角裕度为 180 G( jc )H( jc ) 当 0 时，相位裕量为正值；
图5-44中的奈奎斯特图表明，
H (s)G(s) 轨迹顺时针方向包围-1+0点一次
R 1
Z RP2
这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，
因此系统是不稳定的。
2
例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传 递函数试确定该闭环系统的稳定性。
0
Im GH平面
3
在右半s平面内有一个极渐点近线s 1
P 1 因此开环系统是不稳定的
8
Positive
dB
Gain Margin
c
x
0 Log
Negative
dB
Gain Margin
cLog
0
x
90 180 270
Log
Positive Phase Margin
Stable System
90 180 270
Log
Negative Phase Margin
Unstable System
第15讲
程向红
控制系统的校正
系统的设计与校正问题 常用校正装置及其特性 串联校正
1
例5-6 设一个闭环系统具有下列 开环传递函数 G(s)H (s) K
s(Ts 1)
Im 0
GH平面
试确定该闭环系统的稳定性。
Re
解
H (s)G(s)
1
在右半s平面内有一个极点 s 1
T
P 1
0
图5-44 H ( j)G( j) 极坐标图
性如果系统是稳定的，则求 r(t) t 时的稳态误差。
解：由图得
K (1 j )
G( j)
j(1 j
0.1
)(1 j )
0.01
5
看对数幅频特性
15
L()
80
dB
60
40
-20dB/dec
K (1 j )
G( j)
j(1 j
0.1
)(1 j )
0.01
5
-40dB/dec
23
(1)二阶系统频域指标与时域指标的关系
谐振峰值 谐振频率
Mr 2
1 1 2
0 2 0.707 2
r n 1 2 2
(6-1) (6-2)
带宽频率 b n 1 2 2 (1 2 2 )2 1 (6-3)
截止频率 相位裕度
c n
arctg
(4 4 1 2 2
2 4 4 1 2 2
180 (c ) 180 104 76
12
Magnitude (dB)
K 1 K 2.5
K 5.2
Bode Diagram 20
10
0 -10
-20
-30
-40 -90
h(dB) h(dB) h(dB)
Phase (deg)
-135
-180
-225
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
10
例5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
K
s(1 0.2s)(1 0.05s)
K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调
整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40
解：
增益裕度
相位穿越频率 x
(x ) G( jx )H( jx ) 180
(x ) 90 arctg0.2x arctg0.05x 180
100 1
G(s) 10(1 10s) s(1 100 s)(1 0.2s)
由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度
是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知 c 1
在 c 处
(c
)
90
arctg
1 0.1
arctg
1 0.01
arctg
1 5
106.4
则得 180 (c ) 73.6 >>0 系统稳定
G(s)
(T1T2 s 2
K T2s 1)(T3s
1)
式中 K ,T1,T 2和T3
均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数
T1,T 2和T3 之间满足什么关系？
解 ： G( j)
K
[T1T2 ( j)2 T2 j 1](T3 j 1)
频率特性
G( j)
K
e j()
[(1 T1T2 2 )2 (T2)2 ][1 (T3)2 ]
20
-20dB/dec
0
5
0.01 0.1
1
rad/s
-20
-40dB/dec
-40
10-3
10-2
10-1
100
101
102
16
20 lg K 20 lg 1 ( 1 )2 20 lg 1 ( 1 )2 20 lg 1 (1)2 20 lg1
0.1
0.01
5
K 10 1 K 10
单位斜坡输入时，系统的稳态误差为
ess
1 Kv
1 10
0.1
17
5.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬 R(s)
态响应与频率响应之间的关系
_
书上例5-13p203
ωn2
C(s)
S(S+2ξωn)
G(s)
n2
s(s 2n )
图3-8 标准形式的二阶系统方块图
G( j)
n2
j( j 2n )
设截止频率 c 则有
相位பைடு நூலகம்度
增益穿越频率 c 截止频率
根据K=1时的开环传递函数
G( jc )H( jc ) 1
G( jc )
1
jc (1 j0.2c )(1 j0.05c )
1
1
c (1 0.04c2 )(1 0.0025c2 )
c 1
(c ) 90 arctg0.2c arctg0.05c 104
工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。
22
6.1 系统的设计与校正问题 6.1.1 控制系统的性能指标
时域指标 稳态 型别、静态误差系数 动态 超调、调整时间
频域指标
增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度 开环频率、闭环带宽、谐振峰值、谐振频率
目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式 进行两种指标的互换。参见书p220
(6-4) (6-5)
超调量
% e 1 2 100 %
(6-6)
调节时间
tS
3.5
n
ctS
7
tg
(6-7)
24
(2)高阶系统频域指标与时域指标
谐振峰值
Mr
1
sin
(6-8)
超调量 0.16 0.4(M r 1) 1 M r 1.8 (6-9)
调节时间
ts
K c
K 2 1.5(M r 1) 2.5(M r 1)2
本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能 指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。
基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组 成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制 器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。
21
输入量
为 为改 改善善系系统统性性能能
补 串串 偿 联联 元 补件 偿 主反馈
当 0 时，相位裕度为负值。
增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h
设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency)x
(x ) G( jx )H( jx ) (2k 1)
k 0,1,
定义幅值裕度为
h
1
G( jx )H ( jx )
若以分贝表示，则有 h 20log G( jx )H( jx )
即
arctg0.2x arctg0.05 0.2x 0.05x
1 0.2x 0.05x
x
90 1
0.2 x
tg(1
0.05x
2)
0
tg1 tg2 1 tg1tg2
x 10
在 x 处的开环对数幅值为
h(dB) 20log G( jx )H( jx )
11
20 7 1 28dB
9
Positive Im
Gain Margin
1 h
-1
G( j)
Positive Phase Margin
G Plane Negative
Phase Margin
1
Re
G( j) -1
1 h
Im G Plane
1
Re
Negative Gain Margin
Stable System
Unstable System
jc
)
1
T2
K (T1
T3
)
2
c
K
1
T2
(T1
T3
)
T2 T3 T2T1T3
K
1
1
(T1
T3
)
T2 T3 T1T3
(T1
T3
)
T2 T3 T1T3
K
1
6
5.7相对稳定性 5.7.1相位裕度和增益裕度
G平面
Im
1
0 Re
判断系统稳定 的又一方法
K大时 K小时
图5-46 G( j) 的极坐标图
K c
c
13
由题意知 h 10
G( jx ) 0.1
K
0.1
x
(1
0.04
2 x
)(1
0.0025
2 x
)
K 0.110 1 4 1 0.25 2.5
验证是否满足相位裕度的要求。
根据 40 的要求，则得：
(c ) 90 arctg0.2c arctg0.05c 180 40 140
值以下3分贝时，对应的
频率称为截止频率。
0
3
20lg C( j) 20lg C( j0) 3dB
R( j)
R( j0)
3 带宽
对于的
20 lg
C( j0)
0dB
b
b
R( j0)
系统
20lg C( j) 3dB R( j)
b
图5-53 截止频率与系统带宽
一阶系统的带宽 为其时间常数的倒
()
arctg T2 1 T1T2 2
arctgT3
G( j0) K j0
G( j) 0 j0
4
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T1 1,T2 2,T3 3, K 2
0
0.5
1
Real Axis
1.5
2
5
G( j)
K
[T1T2 ( j)2 T2 j 1](T3 j 1)
26
dB L()
( j0) 0 0.707 ( j0) 3
( j) 3
带宽
R( j)
b
输入 信号
噪声
N( j)
0
M
1
图6-1 系统带宽的选择
arctg0.2c arctg0.05c 50
0.2c 0.05c 1.2 1 0.2c 0.05c
c 4
K 41.281.02 5.2
K
1
c (1 0.04c2 )(1 0.0025c2 )
不难看出，K 2.5 就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 14
例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小 相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定
(1
b2
2 n
)2
(2
b )2 n
( j) 2
1
(1 2 )2 (2 )2
n2
n
数。二阶系统，闭 环传递函数为
b n 1 2 2 (1 2 2 )2 1 19
开始
20
第六章 控制系统的校正
Design and Compensation Techniques
前面几章讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基 本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。
放大元件
执执行行元元件件
局局部部反反馈馈 反补馈反 偿补馈 元偿件
测量量元元件件
输输出出量量 被被控控对对象象
在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还 要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加 入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整 个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。
展开
？与负实
轴的交点
K
T1T2T3 ( j)3 (T1T2 T2T3 )( j)2 (T2 T3 ) j 1
K
1 T2 (T1 T3 ) 2 (T2 T3 T1T2T3 2 ) j
令虚部为零即可 T2 T3 T1T2T32 0
c
T2 T3 T1T2T3
与负实轴相交于
G(